Страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

172. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12 345 $ \text{см}^2 $?

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $a$ см. По условию, длины сторон выражены натуральными числами, следовательно, $a$ должно быть натуральным числом ($a \in \mathbb{N}$).

Вторая сторона на 1 см длиннее, значит, ее длина равна $(a+1)$ см.

Площадь $S$ такого прямоугольника равна произведению длин его сторон:
$S = a \cdot (a+1)$

Согласно условию задачи, площадь равна 12 345 см². Таким образом, мы получаем уравнение:
$a(a+1) = 12345$

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выяснить, имеет ли это уравнение решение в натуральных числах.

Проанализируем, на какую цифру может оканчиваться произведение двух последовательных натуральных чисел $a$ и $a+1$. Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа $a$:
- если последняя цифра $a$ - 0, то последняя цифра $a+1$ - 1, их произведение оканчивается на $0 \cdot 1 = 0$.
- если последняя цифра $a$ - 1, то последняя цифра $a+1$ - 2, их произведение оканчивается на $1 \cdot 2 = 2$.
- если последняя цифра $a$ - 2, то последняя цифра $a+1$ - 3, их произведение оканчивается на $2 \cdot 3 = 6$.
- если последняя цифра $a$ - 3, то последняя цифра $a+1$ - 4, их произведение оканчивается на $3 \cdot 4 = 12$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 4, то последняя цифра $a+1$ - 5, их произведение оканчивается на $4 \cdot 5 = 20$, то есть на 0.
- если последняя цифра $a$ - 5, то последняя цифра $a+1$ - 6, их произведение оканчивается на $5 \cdot 6 = 30$, то есть на 0.
- если последняя цифра $a$ - 6, то последняя цифра $a+1$ - 7, их произведение оканчивается на $6 \cdot 7 = 42$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 7, то последняя цифра $a+1$ - 8, их произведение оканчивается на $7 \cdot 8 = 56$, то есть на 6.
- если последняя цифра $a$ - 8, то последняя цифра $a+1$ - 9, их произведение оканчивается на $8 \cdot 9 = 72$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 9, то последняя цифра $a+1$ - 0, их произведение оканчивается на $9 \cdot 0 = 0$.

Из этого следует, что произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 2 или 6.

В условии задачи дано, что площадь равна 12 345. Это число оканчивается на цифру 5.

Так как ни одно произведение двух последовательных натуральных чисел не может оканчиваться на 5, то не существует такого натурального числа $a$, которое удовлетворяло бы уравнению $a(a+1) = 12345$.
Следовательно, прямоугольника с заданными свойствами не существует.

Ответ: такого прямоугольника не существует.

173. Известно, что $n$ – натуральное число. Является ли чётным числом

значение выражения:

1) $2n$;

2) $2n + 1$;

3) $n(n + 1)$;

4) $(2n - 1)(2n + 3)$?

1) $2n$

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. В выражении $2n$ число $n$ является натуральным числом (а значит, и целым). Произведение любого целого числа на 2 всегда является чётным числом. Следовательно, значение выражения $2n$ всегда является чётным числом при любом натуральном $n$.

Ответ: да, является.

2) $2n+1$

Мы уже установили, что выражение $2n$ всегда является чётным числом. Выражение $2n+1$ представляет собой сумму чётного числа ($2n$) и нечётного числа (1). Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом. Таким образом, значение выражения $2n+1$ никогда не является чётным числом, оно всегда нечётное.

Ответ: нет, не является.

3) $n(n+1)$

Это выражение представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$:

1. Если $n$ — чётное число, то произведение $n(n+1)$ будет чётным, так как один из множителей ($n$) является чётным.
2. Если $n$ — нечётное число, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным. В этом случае произведение $n(n+1)$ также будет чётным, так как один из множителей ($n+1$) является чётным.

В любом случае, один из двух последовательных множителей ($n$ или $n+1$) обязательно будет чётным. Произведение любого числа на чётное число всегда даёт в результате чётное число. Следовательно, значение выражения $n(n+1)$ всегда является чётным.

Ответ: да, является.

4) $(2n-1)(2n+3)$

Рассмотрим каждый множитель в этом выражении.
Первый множитель: $2n-1$. Так как $2n$ — это всегда чётное число, то $2n-1$ (разность чётного числа и единицы) — это всегда нечётное число.
Второй множитель: $2n+3$. Так как $2n$ — это всегда чётное число, то $2n+3$ (сумма чётного числа и нечётного числа 3) — это всегда нечётное число.
Выражение представляет собой произведение двух нечётных чисел. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом. Следовательно, значение выражения $(2n-1)(2n+3)$ никогда не является чётным, оно всегда нечётное.

Ответ: нет, не является.

174. В школе работают два ночных охранника – Иван Иванович и Пётр Петрович. Они дежурят по очереди с вечера до утра. Иван Иванович заступил на дежурство 1 сентября, а Пётр Петрович – 2 сентября. Кто из них заступит на дежурство 18 сентября? 29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября? По каким числам – чётным или нечётным – будет дежурить Иван Иванович в ноябре? Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год?

В задаче описана система дежурств двух охранников, которые сменяют друг друга каждый день. Иван Иванович начал дежурить 1 сентября, а Пётр Петрович — 2 сентября. Это означает, что Иван Иванович дежурит в дни с нечётным порядковым номером, если считать с 1 сентября, а Пётр Петрович — в дни с чётным порядковым номером.

Кто из них заступит на дежурство 18 сентября? 29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября?

Чтобы определить, кто дежурит в конкретный день, нужно найти порядковый номер этого дня, считая с 1 сентября, и проверить его на чётность.

18 сентября:
Это 18-й день от начала отсчёта. Число 18 чётное, значит, дежурит Пётр Петрович.

29 сентября:
Это 29-й день от начала отсчёта. Число 29 нечётное, значит, дежурит Иван Иванович.

1 октября:
В сентябре 30 дней. Следовательно, 1 октября является $30 + 1 = 31$-м днём. Число 31 нечётное, значит, дежурит Иван Иванович.

30 октября:
Порядковый номер дня равен сумме дней в сентябре и 30 дней октября: $30 + 30 = 60$. Число 60 чётное, значит, дежурит Пётр Петрович.

31 октября:
Порядковый номер дня равен сумме дней в сентябре и 31 дня октября: $30 + 31 = 61$. Число 61 нечётное, значит, дежурит Иван Иванович.

Ответ: 18 сентября — Пётр Петрович, 29 сентября — Иван Иванович, 1 октября — Иван Иванович, 30 октября — Пётр Петрович, 31 октября — Иван Иванович.

По каким числам — чётным или нечётным — будет дежурить Иван Иванович в ноябре?

Сначала определим, кто дежурит 1 ноября. Мы уже выяснили, что 31 октября был 61-й день (нечётный), и дежурил Иван Иванович. Значит, 1 ноября будет 62-й день (чётный), и дежурить будет Пётр Петрович.
График на начало ноября:
1 ноября (62-й день) — Пётр Петрович
2 ноября (63-й день) — Иван Иванович
3 ноября (64-й день) — Пётр Петрович
4 ноября (65-й день) — Иван Иванович
Таким образом, в ноябре Иван Иванович будет дежурить по чётным числам (2, 4, 6, ...).

Ответ: В ноябре Иван Иванович будет дежурить по чётным числам.

Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год?

Дежурство в ночь на Новый год выпадает на 31 декабря. Нам нужно найти порядковый номер этого дня с 1 сентября.
Посчитаем количество дней в месяцах с сентября по декабрь:
Сентябрь: 30 дней
Октябрь: 31 день
Ноябрь: 30 дней
Декабрь: 31 день
Общее количество дней: $30 + 31 + 30 + 31 = 122$ дня.
Число 122 является чётным, следовательно, в этот день будет дежурить Пётр Петрович.

Ответ: В ночь на Новый год будет дежурить Пётр Петрович.

175. Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2?

Да, это утверждение верно.

Для доказательства этого факта воспользуемся понятием чётности чисел. Любое натуральное число является либо чётным (делится на 2 без остатка), либо нечётным (при делении на 2 даёт в остатке 1).

Рассмотрим, какой будет чётность суммы двух чисел в зависимости от их чётности:

• Чётное + Чётное = Чётное
• Нечётное + Нечётное = Чётное
• Чётное + Нечётное = Нечётное

Сумма двух чисел делится нацело на 2 тогда и только тогда, когда эта сумма является чётной. Из приведённых выше правил следует, что сумма будет чётной, если оба слагаемых имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

Теперь рассмотрим любые три натуральных числа. Каждое из этих трёх чисел может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь можно применить принцип Дирихле. У нас есть три числа («голубя») и два возможных свойства чётности («ящика»): «чётное» и «нечётное».

Поскольку чисел больше, чем вариантов чётности (3 > 2), как минимум два числа из трёх обязательно будут иметь одинаковую чётность.

Возможны два случая:

1. Среди трёх чисел есть как минимум два чётных числа. Сумма этих двух чётных чисел будет чётной, а значит, будет делиться на 2.
2. Среди трёх чисел есть как минимум два нечётных числа. Сумма этих двух нечётных чисел также будет чётной, а значит, будет делиться на 2.

Так как других вариантов распределения чётности для трёх чисел нет, в любой тройке натуральных чисел всегда найдутся два числа, сумма которых делится нацело на 2.

Ответ: Да, верно.

176. Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произведению:

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15 \cdot 16;$

2) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 26?$

Количество нулей, на которое оканчивается запись числа, определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении, так как $2 \cdot 5 = 10$. В произведении последовательных натуральных чисел (факториале) количество множителей 2 всегда больше, чем количество множителей 5. Поэтому задача сводится к подсчету количества множителей 5 в разложении данного произведения на простые множители.

1) Произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15 \cdot 16$ является факториалом числа 16, то есть $16!$.
Чтобы найти количество нулей на конце этого числа, подсчитаем, сколько раз множитель 5 встречается в разложении чисел от 1 до 16 на простые множители.
Числа, кратные 5, в этом диапазоне: 5, 10, 15.
Число 5 дает один множитель 5 ($5 = 5^1$).
Число 10 дает один множитель 5 ($10 = 2 \cdot 5^1$).
Число 15 дает один множитель 5 ($15 = 3 \cdot 5^1$).
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 = 3$.
Можно также использовать формулу Лежандра для определения показателя степени простого числа $p$ в каноническом разложении числа $n!$: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
Для $n=16$ и $p=5$:
$E_5(16!) = \lfloor \frac{16}{5} \rfloor + \lfloor \frac{16}{5^2} \rfloor + \ldots = \lfloor 3.2 \rfloor + \lfloor 0.64 \rfloor + \ldots = 3 + 0 = 3$.
Следовательно, запись числа $16!$ оканчивается тремя нулями.
Ответ: 3.

2) Произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 25 \cdot 26$ является факториалом числа 26, то есть $26!$.
Подсчитаем количество множителей 5 в разложении чисел от 1 до 26.
Числа, кратные 5, в этом диапазоне: 5, 10, 15, 20, 25.
Числа 5, 10, 15, 20 дают по одному множителю 5.
Число 25 дает два множителя 5, так как $25 = 5^2$.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$.
По формуле Лежандра для $n=26$ и $p=5$:
$E_5(26!) = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{5^2} \rfloor + \lfloor \frac{26}{5^3} \rfloor + \ldots = \lfloor 5.2 \rfloor + \lfloor 1.04 \rfloor + \lfloor 0.208 \rfloor + \ldots = 5 + 1 + 0 = 6$.
Следовательно, запись числа $26!$ оканчивается шестью нулями.
Ответ: 6.

177. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы число, которое получится, было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Пусть искомое число имеет вид $\overline{a15b}$, где $a$ — цифра, которую дописывают слева, а $b$ — цифра, которую дописывают справа. Поскольку $a$ является первой цифрой четырехзначного числа, она не может быть нулем: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$ может быть любой: $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы число, которое получится, было кратно 15.
Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 и на 5 (поскольку $15 = 3 \cdot 5$, и числа 3 и 5 взаимно простые).
1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, $b$ может быть равно 0 или 5.
2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: $b = 0$.
Число имеет вид $\overline{a150}$. Сумма его цифр равна $a + 1 + 5 + 0 = a + 6$. Эта сумма должна делиться на 3. Так как 6 делится на 3, то и $a$ должно делиться на 3. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$, подходящие значения для $a$: 3, 6, 9. В этом случае мы получаем три числа: 3150, 6150, 9150.
Случай 2: $b = 5$.
Число имеет вид $\overline{a155}$. Сумма его цифр равна $a + 1 + 5 + 5 = a + 11$. Эта сумма должна делиться на 3. Переберем возможные значения для $a$:
- если $a=1$, то сумма $1+11=12$ (делится на 3).
- если $a=4$, то сумма $4+11=15$ (делится на 3).
- если $a=7$, то сумма $7+11=18$ (делится на 3).
Другие цифры для $a$ не подходят. Таким образом, подходящие значения для $a$: 1, 4, 7. В этом случае мы получаем еще три числа: 1155, 4155, 7155.
Ответ: Возможные числа, которые можно получить: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

Сколько решений имеет задача?
В первом случае ($b=0$) было найдено 3 решения. Во втором случае ($b=5$) было найдено еще 3 решения. Общее количество решений равно сумме решений в этих двух случаях: $3 + 3 = 6$.
Ответ: Задача имеет 6 решений.

178. К числу 34 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Пусть слева к числу 34 приписана цифра $x$, а справа — цифра $y$. Таким образом, мы получаем четырехзначное число вида $\overline{x34y}$. По условию задачи, это число должно быть кратно 45.

Число делится на 45, если оно делится и на 5, и на 9, так как $45 = 5 \cdot 9$, а числа 5 и 9 взаимно простые.

Применим признаки делимости:

1. Делимость на 5.
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Значит, $y$ может быть равен 0 или 5.

2. Делимость на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа: $x + 3 + 4 + y = x + y + 7$. Также необходимо учесть, что $x$ — первая цифра числа, поэтому $x \neq 0$, то есть $x \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Теперь рассмотрим два возможных случая, основанных на значении $y$.

Случай 1: $y = 0$
Подставим $y=0$ в сумму цифр: $x + 0 + 7 = x + 7$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $1 \le x \le 9$, то $8 \le x + 7 \le 16$. В этом диапазоне единственное число, кратное 9, — это 9. Получаем уравнение: $x + 7 = 9$, откуда $x = 2$. Первое найденное число — 2340.

Случай 2: $y = 5$
Подставим $y=5$ в сумму цифр: $x + 5 + 7 = x + 12$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $1 \le x \le 9$, то $13 \le x + 12 \le 21$. В этом диапазоне единственное число, кратное 9, — это 18. Получаем уравнение: $x + 12 = 18$, откуда $x = 6$. Второе найденное число — 6345.

Итак, мы нашли два числа, удовлетворяющих условию. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения: числа 2340 и 6345.

179. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $*74*$ делилось нацело на 18. Найдите все решения.

Обозначим искомое четырёхзначное число как $\overline{A74B}$, где $A$ и $B$ — неизвестные цифры.

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: делиться на 2 и делиться на 9, так как $18 = 2 \times 9$ и числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Следовательно, цифра $B$ может быть одной из следующих: 0, 2, 4, 6 или 8.

2. Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = A + 7 + 4 + B = A + B + 11$. Также необходимо учесть, что $A$ является первой цифрой четырёхзначного числа, поэтому $A \neq 0$, то есть $A$ — это цифра от 1 до 9.

Теперь последовательно рассмотрим каждый возможный случай для цифры $B$ и найдём соответствующее значение $A$.

• Если $B=0$, то сумма цифр $S = A + 0 + 11 = A + 11$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $12 \le S \le 20$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+11 = 18$, откуда $A=7$. Искомое число — 7740.

• Если $B=2$, то сумма цифр $S = A + 2 + 11 = A + 13$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $14 \le S \le 22$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+13 = 18$, откуда $A=5$. Искомое число — 5742.

• Если $B=4$, то сумма цифр $S = A + 4 + 11 = A + 15$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $16 \le S \le 24$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+15 = 18$, откуда $A=3$. Искомое число — 3744.

• Если $B=6$, то сумма цифр $S = A + 6 + 11 = A + 17$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $18 \le S \le 26$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+17 = 18$, откуда $A=1$. Искомое число — 1746.

• Если $B=8$, то сумма цифр $S = A + 8 + 11 = A + 19$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $20 \le S \le 28$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 27. Получаем уравнение $A+19 = 27$, откуда $A=8$. Искомое число — 8748.

Таким образом, мы нашли все пять чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 1746, 3744, 5742, 7740, 8748.

180. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $3\*4\*$ делилось нацело на 9. Найдите все решения.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Заданное четырёхзначное число имеет вид $3*4*$. Обозначим неизвестные цифры, стоящие на месте звёздочек, как $a$ и $b$. Тогда число можно записать в виде $3a4b$.

Сумма цифр этого числа равна: $S = 3 + a + 4 + b = 7 + a + b$.

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами, их значения могут быть любыми целыми числами от 0 до 9. Следовательно, их сумма $a+b$ может принимать значения от $0+0=0$ до $9+9=18$. $0 \le a+b \le 18$.

Тогда общая сумма цифр $S = 7 + a + b$ находится в пределах от $7 + 0 = 7$ до $7 + 18 = 25$. Таким образом, $7 \le S \le 25$.

Чтобы число $3a4b$ делилось на 9, сумма его цифр $S$ должна быть кратна 9. В найденном диапазоне $[7, 25]$ есть два числа, кратных 9: это 9 и 18. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9

В этом случае $7 + a + b = 9$, откуда следует, что $a + b = 2$. Найдём все пары цифр $(a, b)$, сумма которых равна 2:

• Если $a=0$, то $b=2$. Получаем число 3042.
• Если $a=1$, то $b=1$. Получаем число 3141.
• Если $a=2$, то $b=0$. Получаем число 3240.

Случай 2: Сумма цифр равна 18

В этом случае $7 + a + b = 18$, откуда следует, что $a + b = 11$. Найдём все пары цифр $(a, b)$, сумма которых равна 11:

• Если $a=2$, то $b=9$. Получаем число 3249.
• Если $a=3$, то $b=8$. Получаем число 3348.
• Если $a=4$, то $b=7$. Получаем число 3447.
• Если $a=5$, то $b=6$. Получаем число 3546.
• Если $a=6$, то $b=5$. Получаем число 3645.
• Если $a=7$, то $b=4$. Получаем число 3744.
• Если $a=8$, то $b=3$. Получаем число 3843.
• Если $a=9$, то $b=2$. Получаем число 3942.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем все возможные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 3042, 3141, 3240, 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.

181. Существуют ли три последовательных натуральных числа:

1) каждое из которых является простым;

2) ни одно из которых не является составным?

Ответ обоснуйте.

1) каждое из которых является простым;

Рассмотрим три произвольных последовательных натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$.

Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 3.

• Если $n$ делится на 3, то это $n$.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2 = 3k+3$, которое делится на 3.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1 = 3k+3$, которое делится на 3.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3.

Следовательно, если такая тройка простых чисел существует, одно из них должно быть числом 3. Рассмотрим все возможные случаи:

• Последовательность 1, 2, 3. Число 1 не является простым.
• Последовательность 2, 3, 4. Число 4 не является простым, так как $4 = 2 \cdot 2$.
• Последовательность 3, 4, 5. Число 4 не является простым.

Во всех случаях, включающих число 3, одно из чисел в последовательности не является простым. Если же рассматривать тройку последовательных чисел, где каждое число больше 3, то одно из них будет делиться на 3 и будет больше 3, а значит, оно будет составным.

Таким образом, не существует трёх последовательных натуральных чисел, каждое из которых является простым.
Ответ: нет, не существуют.

2) ни одно из которых не является составным?

Натуральное число не является составным, если оно является простым числом или числом 1. Следовательно, нам нужно выяснить, существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых — либо простое, либо 1.

Рассмотрим первую тройку последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3.

• 1 — не является ни простым, ни составным. Значит, оно не является составным.
• 2 — является простым числом. Значит, оно не является составным.
• 3 — является простым числом. Значит, оно не является составным.

Все три числа в последовательности 1, 2, 3 не являются составными. Поскольку мы нашли такой пример, мы можем утверждать, что такие три числа существуют.
Ответ: да, существуют. Это числа 1, 2 и 3.

182. При каком натуральном значении n будет простым числом значение выражения:

1) $2n$;

2) $n^2$;

3) $n(n+1)$?

1) 2n;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Выражение $2n$ представляет собой произведение двух натуральных чисел: $2$ и $n$ (по условию $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$). Чтобы произведение двух натуральных чисел было простым, один из множителей должен быть равен 1, а второй — самому простому числу.

Рассмотрим множители $2$ и $n$. Так как $2 \ne 1$, то для того, чтобы выражение $2n$ было простым числом, необходимо, чтобы другой множитель, $n$, был равен 1.

Проверим это предположение. Если $n=1$, то значение выражения равно $2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является простым. Если $n > 1$, то число $2n$ будет составным, так как оно будет иметь как минимум три делителя: $1$, $2$ и $2n$. Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором $2n$ является простым числом, это $n=1$.

Ответ: $n=1$.

2) n²;

Выражение $n^2$ можно записать как произведение $n \cdot n$. Мы ищем такое натуральное $n$, чтобы $n^2$ было простым числом.

Если $n=1$, то $n^2 = 1^2 = 1$. Число 1 не является простым по определению (простое число должно быть больше 1). Если $n > 1$, то число $n^2$ имеет как минимум три различных делителя: $1$, $n$ и $n^2$. Поскольку $n>1$, то $1 < n < n^2$. Простое число имеет ровно два делителя. Так как при $n>1$ у числа $n^2$ больше двух делителей, оно является составным. Следовательно, не существует такого натурального значения $n$, при котором $n^2$ было бы простым числом.

Ответ: таких значений нет.

3) n(n+1)?

Выражение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Чтобы это произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу.

Рассмотрим множители $n$ и $n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Это означает, что $n+1 \ge 2$. Таким образом, множитель $n+1$ не может быть равен 1. Единственная возможность — это $n=1$.

Проверим этот случай. Если $n=1$, то значение выражения равно $1 \cdot (1+1) = 2$. Число 2 является простым. Если $n > 1$, то оба множителя, $n$ и $n+1$, будут больше 1. Их произведение будет составным числом, так как оно будет делиться на $1$, $n$, $n+1$ и на само себя. Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором $n(n+1)$ является простым числом, это $n=1$.

Ответ: $n=1$.

183. Валя разделила число 180 на некоторое число и получила в остатке 10. На какое число делила Валя?

Пусть $x$ — это число, на которое Валя делила 180. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать это соотношение в виде уравнения:

$180 = q \cdot x + 10$

где $q$ — это неполное частное (целое число), а $10$ — остаток от деления.

Важное правило деления с остатком гласит, что делитель всегда должен быть строго больше остатка. В нашем случае это означает, что $x > 10$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, чтобы найти, чему равно произведение частного на делитель:

$q \cdot x = 180 - 10$

$q \cdot x = 170$

Из этого уравнения следует, что искомое число $x$ является одним из натуральных делителей числа 170. Найдем все делители числа 170. Для этого можно разложить 170 на простые множители:

$170 = 17 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 17$

Всеми натуральными делителями числа 170 являются: 1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170.

Теперь из этого списка нам нужно выбрать только те числа, которые удовлетворяют ранее установленному условию $x > 10$. Этому условию соответствуют следующие делители:

17, 34, 85, 170.

Таким образом, Валя могла разделить число 180 на любое из этих четырех чисел.

Ответ: 17, 34, 85 или 170.

184. У Расула было 68 слив, которые он хотел разложить поровну на несколько тарелок. Когда он попытался это сделать, то у него осталось 8 слив. Сколько слив положил Расул на каждую тарелку?

Для начала определим, какое количество слив было разложено по тарелкам. Изначально было 68 слив, а 8 осталось. Значит, было разложено:
$68 - 8 = 60$ слив.

Эти 60 слив были разложены поровну на несколько тарелок. Обозначим количество тарелок как $N$, а количество слив на каждой тарелке как $S$. Тогда их произведение равно 60:
$N \times S = 60$

Данная ситуация представляет собой деление с остатком: при делении 68 слив на $N$ тарелок получается $S$ слив на каждой и 8 слив в остатке.
Важным правилом деления с остатком является то, что делитель всегда должен быть больше остатка. В этой задаче делителем является количество тарелок $N$, а остаток равен 8. Следовательно, количество тарелок должно быть строго больше 8:
$N > 8$

Теперь найдем все возможные пары чисел $N$ и $S$, для которых выполняется условие $N \times S = 60$ и $N > 8$. Мы должны найти все делители числа 60, которые больше 8. Это и будут возможные значения для количества тарелок $N$.
Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Выберем те, что больше 8: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Для каждого возможного количества тарелок ($N$) найдем соответствующее количество слив на каждой тарелке ($S$):
- Если тарелок было 10, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 10 = 6$ слив.
- Если тарелок было 12, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 12 = 5$ слив.
- Если тарелок было 15, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 15 = 4$ слив.
- Если тарелок было 20, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 20 = 3$ слив.
- Если тарелок было 30, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 30 = 2$ слив.
- Если тарелок было 60, то на каждой тарелке: $S = 60 \div 60 = 1$ слив.

Таким образом, задача имеет несколько возможных ответов.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.