Номер 180, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 180, страница 28.

Условие.

180. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $3\*4\*$ делилось нацело на 9. Найдите все решения.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Заданное четырёхзначное число имеет вид $3*4*$. Обозначим неизвестные цифры, стоящие на месте звёздочек, как $a$ и $b$. Тогда число можно записать в виде $3a4b$.

Сумма цифр этого числа равна: $S = 3 + a + 4 + b = 7 + a + b$.

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами, их значения могут быть любыми целыми числами от 0 до 9. Следовательно, их сумма $a+b$ может принимать значения от $0+0=0$ до $9+9=18$. $0 \le a+b \le 18$.

Тогда общая сумма цифр $S = 7 + a + b$ находится в пределах от $7 + 0 = 7$ до $7 + 18 = 25$. Таким образом, $7 \le S \le 25$.

Чтобы число $3a4b$ делилось на 9, сумма его цифр $S$ должна быть кратна 9. В найденном диапазоне $[7, 25]$ есть два числа, кратных 9: это 9 и 18. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9

В этом случае $7 + a + b = 9$, откуда следует, что $a + b = 2$. Найдём все пары цифр $(a, b)$, сумма которых равна 2:

• Если $a=0$, то $b=2$. Получаем число 3042.
• Если $a=1$, то $b=1$. Получаем число 3141.
• Если $a=2$, то $b=0$. Получаем число 3240.

Случай 2: Сумма цифр равна 18

В этом случае $7 + a + b = 18$, откуда следует, что $a + b = 11$. Найдём все пары цифр $(a, b)$, сумма которых равна 11:

• Если $a=2$, то $b=9$. Получаем число 3249.
• Если $a=3$, то $b=8$. Получаем число 3348.
• Если $a=4$, то $b=7$. Получаем число 3447.
• Если $a=5$, то $b=6$. Получаем число 3546.
• Если $a=6$, то $b=5$. Получаем число 3645.
• Если $a=7$, то $b=4$. Получаем число 3744.
• Если $a=8$, то $b=3$. Получаем число 3843.
• Если $a=9$, то $b=2$. Получаем число 3942.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем все возможные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 3042, 3141, 3240, 3249, 3348, 3447, 3546, 3645, 3744, 3843, 3942.