Номер 177, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 177, страница 28.

Условие.

177. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы число, которое получится, было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое число имеет вид $\overline{a15b}$, где $a$ — цифра, которую дописывают слева, а $b$ — цифра, которую дописывают справа. Поскольку $a$ является первой цифрой четырехзначного числа, она не может быть нулем: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$ может быть любой: $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы число, которое получится, было кратно 15.
Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 и на 5 (поскольку $15 = 3 \cdot 5$, и числа 3 и 5 взаимно простые).
1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, $b$ может быть равно 0 или 5.
2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: $b = 0$.
Число имеет вид $\overline{a150}$. Сумма его цифр равна $a + 1 + 5 + 0 = a + 6$. Эта сумма должна делиться на 3. Так как 6 делится на 3, то и $a$ должно делиться на 3. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$, подходящие значения для $a$: 3, 6, 9. В этом случае мы получаем три числа: 3150, 6150, 9150.
Случай 2: $b = 5$.
Число имеет вид $\overline{a155}$. Сумма его цифр равна $a + 1 + 5 + 5 = a + 11$. Эта сумма должна делиться на 3. Переберем возможные значения для $a$:
- если $a=1$, то сумма $1+11=12$ (делится на 3).
- если $a=4$, то сумма $4+11=15$ (делится на 3).
- если $a=7$, то сумма $7+11=18$ (делится на 3).
Другие цифры для $a$ не подходят. Таким образом, подходящие значения для $a$: 1, 4, 7. В этом случае мы получаем еще три числа: 1155, 4155, 7155.
Ответ: Возможные числа, которые можно получить: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

Сколько решений имеет задача?
В первом случае ($b=0$) было найдено 3 решения. Во втором случае ($b=5$) было найдено еще 3 решения. Общее количество решений равно сумме решений в этих двух случаях: $3 + 3 = 6$.
Ответ: Задача имеет 6 решений.