Номер 176, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 176, страница 28.

Условие.

176. Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произведению:

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15 \cdot 16;$

2) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 26?$

Решение.

Решение 2.

Количество нулей, на которое оканчивается запись числа, определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении, так как $2 \cdot 5 = 10$. В произведении последовательных натуральных чисел (факториале) количество множителей 2 всегда больше, чем количество множителей 5. Поэтому задача сводится к подсчету количества множителей 5 в разложении данного произведения на простые множители.

1) Произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15 \cdot 16$ является факториалом числа 16, то есть $16!$.
Чтобы найти количество нулей на конце этого числа, подсчитаем, сколько раз множитель 5 встречается в разложении чисел от 1 до 16 на простые множители.
Числа, кратные 5, в этом диапазоне: 5, 10, 15.
Число 5 дает один множитель 5 ($5 = 5^1$).
Число 10 дает один множитель 5 ($10 = 2 \cdot 5^1$).
Число 15 дает один множитель 5 ($15 = 3 \cdot 5^1$).
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 = 3$.
Можно также использовать формулу Лежандра для определения показателя степени простого числа $p$ в каноническом разложении числа $n!$: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
Для $n=16$ и $p=5$:
$E_5(16!) = \lfloor \frac{16}{5} \rfloor + \lfloor \frac{16}{5^2} \rfloor + \ldots = \lfloor 3.2 \rfloor + \lfloor 0.64 \rfloor + \ldots = 3 + 0 = 3$.
Следовательно, запись числа $16!$ оканчивается тремя нулями.
Ответ: 3.

2) Произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 25 \cdot 26$ является факториалом числа 26, то есть $26!$.
Подсчитаем количество множителей 5 в разложении чисел от 1 до 26.
Числа, кратные 5, в этом диапазоне: 5, 10, 15, 20, 25.
Числа 5, 10, 15, 20 дают по одному множителю 5.
Число 25 дает два множителя 5, так как $25 = 5^2$.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$.
По формуле Лежандра для $n=26$ и $p=5$:
$E_5(26!) = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{5^2} \rfloor + \lfloor \frac{26}{5^3} \rfloor + \ldots = \lfloor 5.2 \rfloor + \lfloor 1.04 \rfloor + \lfloor 0.208 \rfloor + \ldots = 5 + 1 + 0 = 6$.
Следовательно, запись числа $26!$ оканчивается шестью нулями.
Ответ: 6.