Номер 178, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 178, страница 28.

Условие.

178. К числу 34 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть слева к числу 34 приписана цифра $x$, а справа — цифра $y$. Таким образом, мы получаем четырехзначное число вида $\overline{x34y}$. По условию задачи, это число должно быть кратно 45.

Число делится на 45, если оно делится и на 5, и на 9, так как $45 = 5 \cdot 9$, а числа 5 и 9 взаимно простые.

Применим признаки делимости:

1. Делимость на 5.
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Значит, $y$ может быть равен 0 или 5.

2. Делимость на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа: $x + 3 + 4 + y = x + y + 7$. Также необходимо учесть, что $x$ — первая цифра числа, поэтому $x \neq 0$, то есть $x \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Теперь рассмотрим два возможных случая, основанных на значении $y$.

Случай 1: $y = 0$
Подставим $y=0$ в сумму цифр: $x + 0 + 7 = x + 7$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $1 \le x \le 9$, то $8 \le x + 7 \le 16$. В этом диапазоне единственное число, кратное 9, — это 9. Получаем уравнение: $x + 7 = 9$, откуда $x = 2$. Первое найденное число — 2340.

Случай 2: $y = 5$
Подставим $y=5$ в сумму цифр: $x + 5 + 7 = x + 12$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $1 \le x \le 9$, то $13 \le x + 12 \le 21$. В этом диапазоне единственное число, кратное 9, — это 18. Получаем уравнение: $x + 12 = 18$, откуда $x = 6$. Второе найденное число — 6345.

Итак, мы нашли два числа, удовлетворяющих условию. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения: числа 2340 и 6345.