Номер 175, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 175, страница 28.

Условие.

175. Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2?

Решение.

Решение 2.

Да, это утверждение верно.

Для доказательства этого факта воспользуемся понятием чётности чисел. Любое натуральное число является либо чётным (делится на 2 без остатка), либо нечётным (при делении на 2 даёт в остатке 1).

Рассмотрим, какой будет чётность суммы двух чисел в зависимости от их чётности:

• Чётное + Чётное = Чётное
• Нечётное + Нечётное = Чётное
• Чётное + Нечётное = Нечётное

Сумма двух чисел делится нацело на 2 тогда и только тогда, когда эта сумма является чётной. Из приведённых выше правил следует, что сумма будет чётной, если оба слагаемых имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

Теперь рассмотрим любые три натуральных числа. Каждое из этих трёх чисел может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь можно применить принцип Дирихле. У нас есть три числа («голубя») и два возможных свойства чётности («ящика»): «чётное» и «нечётное».

Поскольку чисел больше, чем вариантов чётности (3 > 2), как минимум два числа из трёх обязательно будут иметь одинаковую чётность.

Возможны два случая:

1. Среди трёх чисел есть как минимум два чётных числа. Сумма этих двух чётных чисел будет чётной, а значит, будет делиться на 2.
2. Среди трёх чисел есть как минимум два нечётных числа. Сумма этих двух нечётных чисел также будет чётной, а значит, будет делиться на 2.

Так как других вариантов распределения чётности для трёх чисел нет, в любой тройке натуральных чисел всегда найдутся два числа, сумма которых делится нацело на 2.

Ответ: Да, верно.