Номер 168, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 168, страница 27.

Условие.

168. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чётным или нечётным числом будет их произведение?

2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обязательно ли их произведение будет чётным числом?

Решение.

Решение 2.

1) Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $a$ и $b$. По условию задачи, их сумма $a+b$ является нечётным числом. Сумма двух натуральных чисел является нечётной только в том случае, если одно из чисел чётное, а другое нечётное.
Докажем это:
- Чётное + Чётное = $2k + 2m = 2(k+m)$ — чётное.
- Нечётное + Нечётное = $(2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)$ — чётное.
- Чётное + Нечётное = $2k + (2m+1) = 2(k+m)+1$ — нечётное.
Следовательно, одно из чисел, $a$ или $b$, является чётным.
Теперь рассмотрим их произведение $a \times b$. Произведение любого натурального числа на чётное число всегда является чётным. Если, например, $a$ — чётное число, то $a = 2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда произведение $a \times b = (2k) \times b = 2(kb)$. Так как результат имеет множитель 2, он является чётным числом.
Таким образом, произведение этих двух чисел всегда будет чётным.
Ответ: Чётным.

2) Пусть даны два натуральных числа, $a$ и $b$, и их сумма $a+b$ является чётным числом. Это возможно в двух случаях:
1. Оба числа, $a$ и $b$, являются чётными.
2. Оба числа, $a$ и $b$, являются нечётными.
Рассмотрим произведение $a \times b$ для каждого из этих случаев.
- В первом случае, если оба числа чётные ($a=2k$, $b=2m$), их произведение $a \times b = (2k) \times (2m) = 4km = 2(2km)$ будет чётным. Например, $4+6=10$ (чётное), и их произведение $4 \times 6 = 24$ (чётное).
- Во втором случае, если оба числа нечётные ($a=2k+1$, $b=2m+1$), их произведение $a \times b = (2k+1) \times (2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m)+1$ будет нечётным. Например, $3+5=8$ (чётное), но их произведение $3 \times 5 = 15$ (нечётное).
Поскольку существует случай, когда произведение является нечётным числом, то нельзя утверждать, что произведение обязательно будет чётным.
Ответ: Не обязательно.