Номер 165, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 165, страница 27.

Условие.

165. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел;

2) первых пяти нечётных чисел;

3) первых пяти простых чисел.

Решение.

Решение 2.

1) первых пяти натуральных чисел;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) первых пяти натуральных чисел, сначала определим эти числа. Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5.
Для нахождения НОК разложим каждое число (кроме 1, так как на него делится любое число) на простые множители:
$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$
Теперь, чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В нашем случае это $2^2$ (из разложения числа 4), 3 и 5.
$НОК(1, 2, 3, 4, 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60.

2) первых пяти нечетных чисел;

Первыми пятью нечетными натуральными числами являются 1, 3, 5, 7, 9.
Найдем их наименьшее общее кратное, разложив на простые множители:
$3 = 3$
$5 = 5$
$7 = 7$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Выбираем каждый простой множитель в наибольшей степени: $3^2$ (из разложения числа 9), 5 и 7.
$НОК(1, 3, 5, 7, 9) = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 9 \cdot 5 \cdot 7 = 315$.
Ответ: 315.

3) первых пяти простых чисел.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11.
Так как все эти числа являются простыми (и, следовательно, взаимно простыми), их наименьшее общее кратное равно их произведению.
$НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$.
Вычислим произведение:
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$30 \cdot 7 = 210$
$210 \cdot 11 = 2310$
Таким образом, $НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2310$.
Ответ: 2310.