Номер 162, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 162, страница 27.

Условие.

162. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться нацело:

1) на $3$;

2) на $9$?

Решение.

Решение 2.

1) на 3
Пусть $P$ — это произведение ста различных простых чисел: $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_{100}$, где все $p_i$ — различные простые числа.
Согласно основному свойству делимости, для того чтобы число $P$ делилось нацело на простое число 3, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из сомножителей в произведении $P$ делился на 3. Поскольку все сомножители $p_i$ являются простыми числами, делимость $p_i$ на 3 возможна только в том случае, если $p_i = 3$.
Таким образом, произведение $P$ будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда одно из ста различных простых чисел, взятых для произведения, будет равно 3.
Число 3 является простым. Так как существует бесконечное множество простых чисел, мы можем составить набор из ста различных простых чисел, включив в него число 3. Например, можно взять первые 100 простых чисел: 2, 3, 5, 7, ... . Их произведение будет делиться на 3.
Следовательно, произведение ста различных простых чисел может делиться на 3.
Ответ: да, может.

2) на 9
Для того чтобы число $P$ делилось нацело на 9, необходимо и достаточно, чтобы в его разложении на простые множители содержался множитель $9 = 3^2$. Это означает, что простой множитель 3 должен входить в разложение как минимум два раза.
Рассмотрим произведение ста различных простых чисел $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_{100}$. Его разложение на простые множители и есть это самое произведение, где каждый простой множитель $p_i$ встречается ровно один раз.
Чтобы в этом разложении множитель 3 встретился дважды, нужно, чтобы как минимум два числа из набора $\{p_1, p_2, \dots, p_{100}\}$ были равны 3. Например, $p_1 = 3$ и $p_2 = 3$.
Однако по условию задачи все сто простых чисел должны быть различными. Это означает, что число 3 может быть в списке сомножителей не более одного раза. Если число 3 присутствует в списке, то произведение $P$ будет делиться на 3, но не на $3^2=9$. Если числа 3 в списке нет, то произведение не делится даже на 3.
Таким образом, произведение ста различных простых чисел не может делиться на 9.
Ответ: нет, не может.