Номер 161, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 161, страница 27.

Условие.

161. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Предположим, что такой прямоугольник существует. Пусть длины его сторон равны $a$ и $b$. По условию задачи, $a$ и $b$ являются натуральными числами, то есть $a \geq 1$ и $b \geq 1$.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2a + 2b$. Эту формулу можно представить в виде $P = 2(a + b)$.

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $(a + b)$ также является натуральным числом. Так как $a \geq 1$ и $b \geq 1$, то их сумма $a + b \geq 1 + 1 = 2$.

Из формулы $P = 2(a + b)$ видно, что периметр $P$ является произведением двух множителей: 2 и $(a + b)$. Это означает, что периметр $P$ всегда является четным числом, так как он делится на 2.

По условию, периметр $P$ должен быть простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Единственное простое число, которое является четным, — это число 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, 11 и т.д.) — нечетные.

Следовательно, если периметр $P$ одновременно является и четным, и простым, то он может быть равен только 2.

Проверим, возможно ли это. Если $P = 2$, то, подставив это значение в формулу периметра, получим: $2(a + b) = 2$ $a + b = 1$

Однако мы ранее установили, что для натуральных чисел $a$ и $b$ их сумма должна быть не меньше 2 ($a + b \geq 2$). Равенство $a + b = 1$ не имеет решений в натуральных числах.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Прямоугольника с длинами сторон, выраженными натуральными числами, и периметром, равным простому числу, не существует.

Ответ: нет, такой прямоугольник не существует.