Номер 163, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 163, страница 27.

Условие.

163. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 – взаимно простые;

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

Решение.

Решение 2.

1) числа 364 и 495 – взаимно простые;

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы это доказать, найдем НОД чисел 364 и 495. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложим на множители число 364:
$364 = 2 \cdot 182 = 2 \cdot 2 \cdot 91 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$

Разложим на множители число 495:
$495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$

Сравнивая полученные разложения, мы видим, что у чисел 364 и 495 нет общих простых множителей. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(364, 495) = 1.

Следовательно, числа 364 и 495 являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что числа 364 и 495 являются взаимно простыми.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

Числа не являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) больше 1. Это значит, что у них есть хотя бы один общий делитель, отличный от 1. Чтобы это доказать, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Разложим на множители число 380:
$380 = 10 \cdot 38 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 19) = 2^2 \cdot 5 \cdot 19$

Разложим на множители число 399:
Сумма цифр числа 399 равна $3+9+9=21$, что делится на 3. Значит, и само число делится на 3.
$399 = 3 \cdot 133$
Теперь разложим 133. Проверим делимость на 7: $133 : 7 = 19$. 19 — простое число.
$399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$

Сравнивая разложения, мы видим, что у чисел 380 и 399 есть общий простой множитель — 19.

Их наибольший общий делитель равен этому общему множителю:

НОД(380, 399) = 19.

Поскольку НОД(380, 399) = 19, а $19 > 1$, числа 380 и 399 не являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.