Номер 164, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 164, страница 27.

Условие.

164. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 — взаимно простые;

2) числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

Решение.

Решение 2.

1) числа 945 и 572 — взаимно простые;

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 945 и 572 являются взаимно простыми, найдем их НОД. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложим на множители число 945:
Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. $945 : 5 = 189$.
Сумма цифр числа 189 равна $1 + 8 + 9 = 18$. Число 18 делится на 9, значит, 189 делится на 9. $189 : 9 = 21$.
Число 21 раскладывается как $3 \times 7$.
Таким образом, разложение числа 945 на простые множители: $945 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3^3 \times 5 \times 7$.

Разложим на множители число 572:
Число четное, значит, оно делится на 2. $572 : 2 = 286$.
Число 286 также четное. $286 : 2 = 143$.
Проверим делимость 143 на простые числа. $143 = 11 \times 13$.
Таким образом, разложение числа 572 на простые множители: $572 = 2 \times 2 \times 11 \times 13 = 2^2 \times 11 \times 13$.

Сравним разложения на множители:
$945 = 3^3 \times 5 \times 7$
$572 = 2^2 \times 11 \times 13$
У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1. Так как $НОД(945, 572) = 1$, числа являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Числа 945 и 572 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($945 = 3^3 \times 5 \times 7$ и $572 = 2^2 \times 11 \times 13$) не имеют общих множителей, а значит, их $НОД = 1$.

2) числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что два числа не являются взаимно простыми, достаточно найти у них хотя бы один общий делитель, который больше 1. Воспользуемся признаками делимости.

Проверим число 1095 на делимость на 3. Сумма его цифр равна $1 + 0 + 9 + 5 = 15$. Поскольку 15 делится на 3, то и само число 1095 делится на 3.

Проверим число 738 на делимость на 3. Сумма его цифр равна $7 + 3 + 8 = 18$. Поскольку 18 делится на 3, то и само число 738 делится на 3.

Так как оба числа, 1095 и 738, делятся на 3, у них есть общий делитель 3, который больше 1. Это означает, что их наибольший общий делитель не равен 1 ($НОД(1095, 738) \ge 3$). Следовательно, числа не являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми, так как оба имеют общий делитель 3 (согласно признаку делимости на 3), а значит их НОД больше 1.