Страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

157. Запишите все двузначные числа, в разложении которых на простые множители один из множителей равен:

1) $7$;

2) $17$;

3) $23$.

Для решения этой задачи нам нужно найти все двузначные числа (от 10 до 99), которые делятся на указанное простое число. Если число делится на простое число, то это простое число обязательно будет одним из его простых множителей.

1) 7
Ищем все двузначные числа, кратные 7. Эти числа можно представить в виде $7 \cdot k$, где $k$ — натуральное число, а само число находится в пределах от 10 до 99.
Запишем неравенство: $10 \le 7 \cdot k \le 99$.
Чтобы найти возможные значения $k$, разделим все части неравенства на 7:
$\frac{10}{7} \le k \le \frac{99}{7}$
$1.42... \le k \le 14.14...$
Следовательно, $k$ может быть любым целым числом от 2 до 14.
Перечислим все такие числа:
$7 \cdot 2 = 14$
$7 \cdot 3 = 21$
$7 \cdot 4 = 28$
$7 \cdot 5 = 35$
$7 \cdot 6 = 42$
$7 \cdot 7 = 49$
$7 \cdot 8 = 56$
$7 \cdot 9 = 63$
$7 \cdot 10 = 70$
$7 \cdot 11 = 77$
$7 \cdot 12 = 84$
$7 \cdot 13 = 91$
$7 \cdot 14 = 98$
Ответ: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

2) 17
Ищем все двузначные числа, кратные 17. Эти числа можно представить в виде $17 \cdot k$.
Запишем неравенство: $10 \le 17 \cdot k \le 99$.
Разделим неравенство на 17:
$\frac{10}{17} \le k \le \frac{99}{17}$
$0.58... \le k \le 5.82...$
Следовательно, $k$ может быть любым целым числом от 1 до 5.
Перечислим все такие числа:
$17 \cdot 1 = 17$
$17 \cdot 2 = 34$
$17 \cdot 3 = 51$
$17 \cdot 4 = 68$
$17 \cdot 5 = 85$
Ответ: 17, 34, 51, 68, 85.

3) 23
Ищем все двузначные числа, кратные 23. Эти числа можно представить в виде $23 \cdot k$.
Запишем неравенство: $10 \le 23 \cdot k \le 99$.
Разделим неравенство на 23:
$\frac{10}{23} \le k \le \frac{99}{23}$
$0.43... \le k \le 4.3...$
Следовательно, $k$ может быть любым целым числом от 1 до 4.
Перечислим все такие числа:
$23 \cdot 1 = 23$
$23 \cdot 2 = 46$
$23 \cdot 3 = 69$
$23 \cdot 4 = 92$
Ответ: 23, 46, 69, 92.

158. Запишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит:

1) из двух одинаковых множителей;

2) из трёх одинаковых множителей.

Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99. Найдём среди них те, чьё разложение на простые множители соответствует заданным условиям.

1) из двух одинаковых множителей;

Число, разложение которого на простые множители состоит из двух одинаковых множителей, имеет вид $p^2$, где $p$ — простое число. Нам нужно найти такие двузначные числа.
Переберём квадраты простых чисел:
$2^2 = 4$ (это однозначное число, не подходит).
$3^2 = 9$ (это однозначное число, не подходит).
$5^2 = 25$ (это двузначное число. Его разложение на простые множители: $5 \times 5$).
$7^2 = 49$ (это двузначное число. Его разложение на простые множители: $7 \times 7$).
$11^2 = 121$ (это трёхзначное число, не подходит).
Квадраты последующих простых чисел будут ещё больше. Таким образом, условию удовлетворяют два числа.
Ответ: 25, 49.

2) из трёх одинаковых множителей.

Число, разложение которого на простые множители состоит из трёх одинаковых множителей, имеет вид $p^3$, где $p$ — простое число. Нам нужно найти такие двузначные числа.
Переберём кубы простых чисел:
$2^3 = 8$ (это однозначное число, не подходит).
$3^3 = 27$ (это двузначное число. Его разложение на простые множители: $3 \times 3 \times 3$).
$5^3 = 125$ (это трёхзначное число, не подходит).
Кубы последующих простых чисел будут ещё больше. Таким образом, условию удовлетворяет только одно число.
Ответ: 27.

159. Может ли быть простым числом произведение двух различных чисел? Ответ обоснуйте.

Да, произведение двух различных чисел может быть простым числом. Чтобы это доказать, обратимся к определению простого числа.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Пусть у нас есть простое число $p$. По определению, его можно представить в виде произведения $p = 1 \times p$.

В этом произведении участвуют два числа: 1 и $p$. Проверим, являются ли они различными.

По определению, любое простое число $p$ строго больше 1, то есть $p > 1$. Следовательно, число 1 и число $p$ всегда будут различными ($1 \neq p$).

Таким образом, любое простое число можно представить как произведение двух различных чисел: единицы и самого этого простого числа.

Например, простое число 17 можно записать как произведение $1 \times 17$. Множители 1 и 17 — это два различных числа.

Ответ: Да, может. Любое простое число является произведением двух различных чисел: самого себя и единицы.

160. Может ли сумма двух составных чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите примеры.

Да, сумма двух составных чисел может быть простым числом.

Для начала вспомним определения. Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Чтобы ответить на вопрос утвердительно, достаточно привести хотя бы один пример.

Пример 1

Возьмем два составных числа: 4 и 9.

Число 4 является составным, так как его можно представить в виде произведения $4 = 2 \cdot 2$.

Число 9 также является составным, так как его можно представить в виде произведения $9 = 3 \cdot 3$.

Найдем их сумму:

$4 + 9 = 13$

Число 13 является простым, так как оно делится только на 1 и на 13.

Пример 2

Возьмем составные числа 8 и 9.

Число 8 является составным ($8 = 2 \cdot 4$), и число 9 является составным ($9 = 3 \cdot 3$).

Их сумма:

$8 + 9 = 17$

Число 17 является простым.

Пример 3

Возьмем составные числа 14 и 15.

Число 14 является составным ($14 = 2 \cdot 7$), и число 15 является составным ($15 = 3 \cdot 5$).

Их сумма:

$14 + 15 = 29$

Число 29 является простым.

Таким образом, существует множество пар составных чисел, сумма которых является простым числом.

Ответ: да, может. Например, $4 + 9 = 13$.

161. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом? Ответ обоснуйте.

Предположим, что такой прямоугольник существует. Пусть длины его сторон равны $a$ и $b$. По условию задачи, $a$ и $b$ являются натуральными числами, то есть $a \geq 1$ и $b \geq 1$.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2a + 2b$. Эту формулу можно представить в виде $P = 2(a + b)$.

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $(a + b)$ также является натуральным числом. Так как $a \geq 1$ и $b \geq 1$, то их сумма $a + b \geq 1 + 1 = 2$.

Из формулы $P = 2(a + b)$ видно, что периметр $P$ является произведением двух множителей: 2 и $(a + b)$. Это означает, что периметр $P$ всегда является четным числом, так как он делится на 2.

По условию, периметр $P$ должен быть простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Единственное простое число, которое является четным, — это число 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, 11 и т.д.) — нечетные.

Следовательно, если периметр $P$ одновременно является и четным, и простым, то он может быть равен только 2.

Проверим, возможно ли это. Если $P = 2$, то, подставив это значение в формулу периметра, получим: $2(a + b) = 2$ $a + b = 1$

Однако мы ранее установили, что для натуральных чисел $a$ и $b$ их сумма должна быть не меньше 2 ($a + b \geq 2$). Равенство $a + b = 1$ не имеет решений в натуральных числах.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Прямоугольника с длинами сторон, выраженными натуральными числами, и периметром, равным простому числу, не существует.

Ответ: нет, такой прямоугольник не существует.

162. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться нацело:

1) на $3$;

2) на $9$?

1) на 3
Пусть $P$ — это произведение ста различных простых чисел: $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_{100}$, где все $p_i$ — различные простые числа.
Согласно основному свойству делимости, для того чтобы число $P$ делилось нацело на простое число 3, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из сомножителей в произведении $P$ делился на 3. Поскольку все сомножители $p_i$ являются простыми числами, делимость $p_i$ на 3 возможна только в том случае, если $p_i = 3$.
Таким образом, произведение $P$ будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда одно из ста различных простых чисел, взятых для произведения, будет равно 3.
Число 3 является простым. Так как существует бесконечное множество простых чисел, мы можем составить набор из ста различных простых чисел, включив в него число 3. Например, можно взять первые 100 простых чисел: 2, 3, 5, 7, ... . Их произведение будет делиться на 3.
Следовательно, произведение ста различных простых чисел может делиться на 3.
Ответ: да, может.

2) на 9
Для того чтобы число $P$ делилось нацело на 9, необходимо и достаточно, чтобы в его разложении на простые множители содержался множитель $9 = 3^2$. Это означает, что простой множитель 3 должен входить в разложение как минимум два раза.
Рассмотрим произведение ста различных простых чисел $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_{100}$. Его разложение на простые множители и есть это самое произведение, где каждый простой множитель $p_i$ встречается ровно один раз.
Чтобы в этом разложении множитель 3 встретился дважды, нужно, чтобы как минимум два числа из набора $\{p_1, p_2, \dots, p_{100}\}$ были равны 3. Например, $p_1 = 3$ и $p_2 = 3$.
Однако по условию задачи все сто простых чисел должны быть различными. Это означает, что число 3 может быть в списке сомножителей не более одного раза. Если число 3 присутствует в списке, то произведение $P$ будет делиться на 3, но не на $3^2=9$. Если числа 3 в списке нет, то произведение не делится даже на 3.
Таким образом, произведение ста различных простых чисел не может делиться на 9.
Ответ: нет, не может.

163. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 – взаимно простые;

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

1) числа 364 и 495 – взаимно простые;

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы это доказать, найдем НОД чисел 364 и 495. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложим на множители число 364:
$364 = 2 \cdot 182 = 2 \cdot 2 \cdot 91 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$

Разложим на множители число 495:
$495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$

Сравнивая полученные разложения, мы видим, что у чисел 364 и 495 нет общих простых множителей. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(364, 495) = 1.

Следовательно, числа 364 и 495 являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что числа 364 и 495 являются взаимно простыми.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

Числа не являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) больше 1. Это значит, что у них есть хотя бы один общий делитель, отличный от 1. Чтобы это доказать, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Разложим на множители число 380:
$380 = 10 \cdot 38 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 19) = 2^2 \cdot 5 \cdot 19$

Разложим на множители число 399:
Сумма цифр числа 399 равна $3+9+9=21$, что делится на 3. Значит, и само число делится на 3.
$399 = 3 \cdot 133$
Теперь разложим 133. Проверим делимость на 7: $133 : 7 = 19$. 19 — простое число.
$399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$

Сравнивая разложения, мы видим, что у чисел 380 и 399 есть общий простой множитель — 19.

Их наибольший общий делитель равен этому общему множителю:

НОД(380, 399) = 19.

Поскольку НОД(380, 399) = 19, а $19 > 1$, числа 380 и 399 не являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

164. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 — взаимно простые;

2) числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

1) числа 945 и 572 — взаимно простые;

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 945 и 572 являются взаимно простыми, найдем их НОД. Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложим на множители число 945:
Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. $945 : 5 = 189$.
Сумма цифр числа 189 равна $1 + 8 + 9 = 18$. Число 18 делится на 9, значит, 189 делится на 9. $189 : 9 = 21$.
Число 21 раскладывается как $3 \times 7$.
Таким образом, разложение числа 945 на простые множители: $945 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3^3 \times 5 \times 7$.

Разложим на множители число 572:
Число четное, значит, оно делится на 2. $572 : 2 = 286$.
Число 286 также четное. $286 : 2 = 143$.
Проверим делимость 143 на простые числа. $143 = 11 \times 13$.
Таким образом, разложение числа 572 на простые множители: $572 = 2 \times 2 \times 11 \times 13 = 2^2 \times 11 \times 13$.

Сравним разложения на множители:
$945 = 3^3 \times 5 \times 7$
$572 = 2^2 \times 11 \times 13$
У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1. Так как $НОД(945, 572) = 1$, числа являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Числа 945 и 572 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($945 = 3^3 \times 5 \times 7$ и $572 = 2^2 \times 11 \times 13$) не имеют общих множителей, а значит, их $НОД = 1$.

2) числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что два числа не являются взаимно простыми, достаточно найти у них хотя бы один общий делитель, который больше 1. Воспользуемся признаками делимости.

Проверим число 1095 на делимость на 3. Сумма его цифр равна $1 + 0 + 9 + 5 = 15$. Поскольку 15 делится на 3, то и само число 1095 делится на 3.

Проверим число 738 на делимость на 3. Сумма его цифр равна $7 + 3 + 8 = 18$. Поскольку 18 делится на 3, то и само число 738 делится на 3.

Так как оба числа, 1095 и 738, делятся на 3, у них есть общий делитель 3, который больше 1. Это означает, что их наибольший общий делитель не равен 1 ($НОД(1095, 738) \ge 3$). Следовательно, числа не являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми, так как оба имеют общий делитель 3 (согласно признаку делимости на 3), а значит их НОД больше 1.

165. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел;

2) первых пяти нечётных чисел;

3) первых пяти простых чисел.

1) первых пяти натуральных чисел;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) первых пяти натуральных чисел, сначала определим эти числа. Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5.
Для нахождения НОК разложим каждое число (кроме 1, так как на него делится любое число) на простые множители:
$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$
Теперь, чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В нашем случае это $2^2$ (из разложения числа 4), 3 и 5.
$НОК(1, 2, 3, 4, 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60.

2) первых пяти нечетных чисел;

Первыми пятью нечетными натуральными числами являются 1, 3, 5, 7, 9.
Найдем их наименьшее общее кратное, разложив на простые множители:
$3 = 3$
$5 = 5$
$7 = 7$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Выбираем каждый простой множитель в наибольшей степени: $3^2$ (из разложения числа 9), 5 и 7.
$НОК(1, 3, 5, 7, 9) = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 9 \cdot 5 \cdot 7 = 315$.
Ответ: 315.

3) первых пяти простых чисел.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11.
Так как все эти числа являются простыми (и, следовательно, взаимно простыми), их наименьшее общее кратное равно их произведению.
$НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$.
Вычислим произведение:
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$30 \cdot 7 = 210$
$210 \cdot 11 = 2310$
Таким образом, $НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2310$.
Ответ: 2310.

166. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти чётных чисел;

2) первых четырёх составных чисел.

1) первых пяти чётных чисел

Первые пять чётных натуральных чисел — это 2, 4, 6, 8, 10.
Для того чтобы найти их наименьшее общее кратное (НОК), необходимо разложить каждое число на простые множители:
$2 = 2$
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$10 = 2 \cdot 5$
Далее, для нахождения НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В нашем случае это $2^3$, $3^1$ и $5^1$.
$НОК(2, 4, 6, 8, 10) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.
Ответ: 120

2) первых четырёх составных чисел

Составное число — это натуральное число, которое имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Первые четыре составных числа — это 4, 6, 8, 9.
Разложим эти числа на простые множители, чтобы найти их НОК:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
Теперь выберем каждый простой множитель в наибольшей степени из всех разложений. Для множителя 2 это $2^3$, а для множителя 3 это $3^2$. Перемножим их:
$НОК(4, 6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72

167. Число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Назовите ещё несколько чисел, которым кратно это число?

По условию, число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Обозначим это число как $N$.

Если число делится на несколько попарно взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение. Числа 2, 5 и 9 являются попарно взаимно простыми (то есть не имеют общих делителей, кроме 1).

Следовательно, число $N$ будет кратно различным произведениям этих чисел:

- Так как $N$ делится на 2 и на 5, оно также делится на их произведение: $2 \times 5 = 10$.

- Так как $N$ делится на 2 и на 9, оно также делится на их произведение: $2 \times 9 = 18$.

- Так как $N$ делится на 5 и на 9, оно также делится на их произведение: $5 \times 9 = 45$.

- Так как $N$ делится на 2, 5 и 9, оно также делится на их общее произведение, которое является их наименьшим общим кратным (НОК): $2 \times 5 \times 9 = 90$.

Также можно заметить, что если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3. Это позволяет найти еще несколько чисел, которым кратно $N$:

- Произведение $2 \times 3 = 6$.

- Произведение $5 \times 3 = 15$.

- Произведение $2 \times 5 \times 3 = 30$.

Таким образом, мы можем назвать несколько чисел, которым будет кратно исходное число.

Ответ: 6, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

168. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чётным или нечётным числом будет их произведение?

2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обязательно ли их произведение будет чётным числом?

1) Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $a$ и $b$. По условию задачи, их сумма $a+b$ является нечётным числом. Сумма двух натуральных чисел является нечётной только в том случае, если одно из чисел чётное, а другое нечётное.
Докажем это:
- Чётное + Чётное = $2k + 2m = 2(k+m)$ — чётное.
- Нечётное + Нечётное = $(2k+1) + (2m+1) = 2k+2m+2 = 2(k+m+1)$ — чётное.
- Чётное + Нечётное = $2k + (2m+1) = 2(k+m)+1$ — нечётное.
Следовательно, одно из чисел, $a$ или $b$, является чётным.
Теперь рассмотрим их произведение $a \times b$. Произведение любого натурального числа на чётное число всегда является чётным. Если, например, $a$ — чётное число, то $a = 2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда произведение $a \times b = (2k) \times b = 2(kb)$. Так как результат имеет множитель 2, он является чётным числом.
Таким образом, произведение этих двух чисел всегда будет чётным.
Ответ: Чётным.

2) Пусть даны два натуральных числа, $a$ и $b$, и их сумма $a+b$ является чётным числом. Это возможно в двух случаях:
1. Оба числа, $a$ и $b$, являются чётными.
2. Оба числа, $a$ и $b$, являются нечётными.
Рассмотрим произведение $a \times b$ для каждого из этих случаев.
- В первом случае, если оба числа чётные ($a=2k$, $b=2m$), их произведение $a \times b = (2k) \times (2m) = 4km = 2(2km)$ будет чётным. Например, $4+6=10$ (чётное), и их произведение $4 \times 6 = 24$ (чётное).
- Во втором случае, если оба числа нечётные ($a=2k+1$, $b=2m+1$), их произведение $a \times b = (2k+1) \times (2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m)+1$ будет нечётным. Например, $3+5=8$ (чётное), но их произведение $3 \times 5 = 15$ (нечётное).
Поскольку существует случай, когда произведение является нечётным числом, то нельзя утверждать, что произведение обязательно будет чётным.
Ответ: Не обязательно.

169. Чётной или нечётной будет сумма семи натуральных слагаемых, если:

1) четыре слагаемых чётные, а остальные — нечётные;

2) четыре слагаемых нечётные, а остальные — чётные?

Для решения задачи необходимо использовать свойства чётности чисел при сложении:

• сумма двух чётных чисел — чётное число ($Ч + Ч = Ч$);
• сумма двух нечётных чисел — чётное число ($Н + Н = Ч$);
• сумма чётного и нечётного числа — нечётное число ($Ч + Н = Н$).

Из этих свойств следует, что чётность суммы зависит только от количества нечётных слагаемых:

• если количество нечётных слагаемых чётно, то их сумма будет чётной;
• если количество нечётных слагаемых нечётно, то их сумма будет нечётной.

Сумма любого количества чётных слагаемых всегда будет чётным числом.

1) четыре слагаемых чётные, а остальные — нечётные;

Всего имеется семь слагаемых. Если четыре из них чётные, то количество нечётных слагаемых составляет $7 - 4 = 3$.

Сумма четырёх чётных слагаемых является чётным числом.

Количество нечётных слагаемых равно трём (нечётное число). Сумма нечётного числа нечётных слагаемых является нечётным числом.Например: $Н + Н + Н = (Н + Н) + Н = Ч + Н = Н$.

Таким образом, общая сумма является суммой чётного числа (от чётных слагаемых) и нечётного числа (от нечётных слагаемых). Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.

Ответ: нечётной.

2) четыре слагаемых нечётные, а остальные — чётные?

Всего имеется семь слагаемых. Если четыре из них нечётные, то количество чётных слагаемых составляет $7 - 4 = 3$.

Количество нечётных слагаемых равно четырём (чётное число). Сумма чётного числа нечётных слагаемых является чётным числом.Например: $Н + Н + Н + Н = (Н + Н) + (Н + Н) = Ч + Ч = Ч$.

Сумма трёх чётных слагаемых также является чётным числом.

Таким образом, общая сумма является суммой чётного числа (от нечётных слагаемых) и чётного числа (от чётных слагаемых). Сумма двух чётных чисел всегда чётна.

Ответ: чётной.

170. Сумма девяти натуральных слагаемых равна 1000. Можно ли утверждать, что их произведение – чётное число? Ответ объясните.

Обозначим данные девять натуральных слагаемых как $a_1, a_2, \dots, a_9$. Из условия задачи мы знаем, что их сумма равна 1000: $a_1 + a_2 + \dots + a_9 = 1000$.

Произведение нескольких натуральных чисел является чётным, если хотя бы одно из этих чисел чётно. Произведение будет нечётным тогда и только тогда, когда все сомножители являются нечётными числами.

Чтобы определить, будет ли произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_9$ чётным, нам нужно выяснить, есть ли среди слагаемых хотя бы одно чётное число. Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что произведение этих чисел нечётное. Это означает, что все девять слагаемых ($a_1, a_2, \dots, a_9$) должны быть нечётными числами.

Теперь рассмотрим сумму этих девяти нечётных чисел. Сумма нечётного количества (в данном случае, 9) нечётных слагаемых всегда является нечётным числом.

Однако по условию задачи, сумма этих чисел равна 1000, что является чётным числом. Таким образом, мы приходим к противоречию: сумма девяти нечётных чисел должна быть нечётной, но она равна чётному числу 1000.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все девять слагаемых нечётные, неверно. Это означает, что среди них обязательно есть как минимум одно чётное число.

А поскольку среди девяти чисел есть хотя бы одно чётное, их произведение гарантированно будет чётным числом.

Ответ: Да, можно утверждать, что их произведение — чётное число. Сумма девяти нечётных чисел всегда нечётна. Так как сумма данных девяти слагаемых равна 1000 (чётное число), то не все слагаемые могут быть нечётными. Значит, среди них есть хотя бы одно чётное число, и поэтому их произведение также будет чётным.

171. Можно ли разложить 50 яблок на пять кучек, каждая из которых содержит нечётное количество яблок? Ответ объясните.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами чётных и нечётных чисел. Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка.

По условию, необходимо разложить 50 яблок на пять кучек. Количество яблок в каждой кучке должно быть нечётным. Обозначим количество яблок в этих пяти кучках как $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$. Таким образом, каждое из этих чисел является нечётным, а их сумма должна быть равна 50:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 50$

Рассмотрим, какой будет чётность суммы пяти нечётных чисел, используя следующие правила:

• Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом (например, $3 + 5 = 8$).
• Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом (например, $8 + 3 = 11$).

Проанализируем сумму наших пяти слагаемых пошагово:

1. $n_1 + n_2$ (нечётное + нечётное) = чётное число.
2. $(n_1 + n_2) + n_3$ (чётное + нечётное) = нечётное число.
3. $(n_1 + n_2 + n_3) + n_4$ (нечётное + нечётное) = чётное число.
4. $(n_1 + n_2 + n_3 + n_4) + n_5$ (чётное + нечётное) = нечётное число.

Таким образом, сумма пяти нечётных чисел всегда будет нечётным числом. Однако по условию задачи общее количество яблок равно 50, а 50 — это чётное число. Мы получили противоречие: сумма яблок в пяти кучках должна быть нечётной, но она равна чётному числу 50. Следовательно, такое разложение невозможно.

Ответ: Нет, нельзя. Сумма пяти нечётных чисел всегда является нечётным числом, а 50 — число чётное.