Номер 172, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 172, страница 28.

Условие.

172. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12 345 $ \text{см}^2 $?

Решение.

Решение 2.

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $a$ см. По условию, длины сторон выражены натуральными числами, следовательно, $a$ должно быть натуральным числом ($a \in \mathbb{N}$).

Вторая сторона на 1 см длиннее, значит, ее длина равна $(a+1)$ см.

Площадь $S$ такого прямоугольника равна произведению длин его сторон:
$S = a \cdot (a+1)$

Согласно условию задачи, площадь равна 12 345 см². Таким образом, мы получаем уравнение:
$a(a+1) = 12345$

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выяснить, имеет ли это уравнение решение в натуральных числах.

Проанализируем, на какую цифру может оканчиваться произведение двух последовательных натуральных чисел $a$ и $a+1$. Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа $a$:
- если последняя цифра $a$ - 0, то последняя цифра $a+1$ - 1, их произведение оканчивается на $0 \cdot 1 = 0$.
- если последняя цифра $a$ - 1, то последняя цифра $a+1$ - 2, их произведение оканчивается на $1 \cdot 2 = 2$.
- если последняя цифра $a$ - 2, то последняя цифра $a+1$ - 3, их произведение оканчивается на $2 \cdot 3 = 6$.
- если последняя цифра $a$ - 3, то последняя цифра $a+1$ - 4, их произведение оканчивается на $3 \cdot 4 = 12$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 4, то последняя цифра $a+1$ - 5, их произведение оканчивается на $4 \cdot 5 = 20$, то есть на 0.
- если последняя цифра $a$ - 5, то последняя цифра $a+1$ - 6, их произведение оканчивается на $5 \cdot 6 = 30$, то есть на 0.
- если последняя цифра $a$ - 6, то последняя цифра $a+1$ - 7, их произведение оканчивается на $6 \cdot 7 = 42$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 7, то последняя цифра $a+1$ - 8, их произведение оканчивается на $7 \cdot 8 = 56$, то есть на 6.
- если последняя цифра $a$ - 8, то последняя цифра $a+1$ - 9, их произведение оканчивается на $8 \cdot 9 = 72$, то есть на 2.
- если последняя цифра $a$ - 9, то последняя цифра $a+1$ - 0, их произведение оканчивается на $9 \cdot 0 = 0$.

Из этого следует, что произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 2 или 6.

В условии задачи дано, что площадь равна 12 345. Это число оканчивается на цифру 5.

Так как ни одно произведение двух последовательных натуральных чисел не может оканчиваться на 5, то не существует такого натурального числа $a$, которое удовлетворяло бы уравнению $a(a+1) = 12345$.
Следовательно, прямоугольника с заданными свойствами не существует.

Ответ: такого прямоугольника не существует.