Номер 179, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 179, страница 28.

Условие.

179. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число $*74*$ делилось нацело на 18. Найдите все решения.

Решение.

Решение 2.

Обозначим искомое четырёхзначное число как $\overline{A74B}$, где $A$ и $B$ — неизвестные цифры.

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: делиться на 2 и делиться на 9, так как $18 = 2 \times 9$ и числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Следовательно, цифра $B$ может быть одной из следующих: 0, 2, 4, 6 или 8.

2. Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = A + 7 + 4 + B = A + B + 11$. Также необходимо учесть, что $A$ является первой цифрой четырёхзначного числа, поэтому $A \neq 0$, то есть $A$ — это цифра от 1 до 9.

Теперь последовательно рассмотрим каждый возможный случай для цифры $B$ и найдём соответствующее значение $A$.

• Если $B=0$, то сумма цифр $S = A + 0 + 11 = A + 11$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $12 \le S \le 20$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+11 = 18$, откуда $A=7$. Искомое число — 7740.

• Если $B=2$, то сумма цифр $S = A + 2 + 11 = A + 13$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $14 \le S \le 22$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+13 = 18$, откуда $A=5$. Искомое число — 5742.

• Если $B=4$, то сумма цифр $S = A + 4 + 11 = A + 15$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $16 \le S \le 24$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+15 = 18$, откуда $A=3$. Искомое число — 3744.

• Если $B=6$, то сумма цифр $S = A + 6 + 11 = A + 17$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $18 \le S \le 26$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 18. Получаем уравнение $A+17 = 18$, откуда $A=1$. Искомое число — 1746.

• Если $B=8$, то сумма цифр $S = A + 8 + 11 = A + 19$. Поскольку $1 \le A \le 9$, то $20 \le S \le 28$. Единственное кратное 9 в этом диапазоне — это 27. Получаем уравнение $A+19 = 27$, откуда $A=8$. Искомое число — 8748.

Таким образом, мы нашли все пять чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 1746, 3744, 5742, 7740, 8748.