Номер 186, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 186, страница 29.

Условие.

186. Можно ли в выражении $1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9$ заменить некоторые знаки «+» на знаки «-» так, чтобы значение полученного числового выражения было равным 18?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи рассмотрим свойства четности чисел.

Сначала найдем значение выражения, когда все знаки — плюсы. Это сумма чисел от 1 до 9. Для ее вычисления можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии:$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \times (1 + 9)}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Исходная сумма равна 45 — это нечетное число.

Теперь посмотрим, как изменится сумма, если заменить знак «+» на «-» перед некоторым числом $k$. Вместо того чтобы прибавлять $k$, мы будем его вычитать. Это значит, что общая сумма уменьшится на величину $k - (-k) = 2k$.

Для любого целого числа $k$ произведение $2k$ всегда является четным числом. Следовательно, каждая замена знака «+» на «-» изменяет общую сумму на четное число. Если мы сделаем несколько таких замен, то итоговое изменение суммы будет равно сумме нескольких четных чисел, что также является четным числом.

Таким образом, новое значение выражения будет равно исходной нечетной сумме (45) минус некоторое четное число. Разность нечетного и четного чисел всегда является нечетным числом. Это означает, что при любой комбинации знаков «+» и «-» итоговая сумма всегда будет нечетной.

В условии задачи требуется получить значение, равное 18. Число 18 — четное.

Поскольку в результате любых замен знаков мы можем получить только нечетное число, достичь четного значения 18 невозможно.

К этому же выводу можно прийти и другим путем. Разница между исходной суммой (45) и желаемым результатом (18) составляет $45 - 18 = 27$. Эта разница должна быть равна сумме удвоенных чисел, перед которыми знаки были изменены на «-». Пусть $K$ — это множество чисел, перед которыми поменяли знак. Тогда $\sum_{k \in K} 2k = 27$, что означает $\sum_{k \in K} k = \frac{27}{2} = 13.5$. Сумма целых чисел не может быть нецелым числом, что также доказывает невозможность получения суммы 18.

Ответ: Нет, нельзя.