Номер 191, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 191, страница 29.

Условие.

191. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую – Дима, третью – снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы число было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр была кратна 3. Рома и Дима по очереди записывают цифры 19-значного числа. Рома хочет, чтобы сумма всех 19 цифр была кратна 3, а Дима стремится ему помешать.

Проанализируем ходы игроков и доступные им цифры:

Игроки могут использовать только цифры 1, 2 и 4. Рассмотрим их остатки от деления на 3:

• $1 \pmod{3} = 1$
• $2 \pmod{3} = 2$
• $4 \pmod{3} = 1$

Таким образом, на каждом ходу игрок может добавить к общей сумме цифр число, которое сравнимо с 1 или 2 по модулю 3. Добавить число, сравнимое с 0 по модулю 3, невозможно.

Всего в числе 19 позиций. Рома делает ходы на нечетных позициях (1, 3, ..., 19), всего 10 ходов. Дима делает ходы на четных позициях (2, 4, ..., 18), всего 9 ходов. Последнее слово остается за Ромой.

Дима может помешать Роме, если сможет применить выигрышную стратегию. Стратегия Димы заключается в том, чтобы после каждого своего хода сумма всех написанных цифр была кратна 3.

Рассмотрим, как это работает:

1. Ход 1 (Рома): Рома записывает первую цифру $d_1$. Сумма $S_1 = d_1$. Так как $d_1 \in \{1, 2, 4\}$, то $S_1 \pmod{3}$ равно 1 или 2. В любом случае, $S_1$ не делится на 3.
2. Ход 2 (Дима): Диме нужно выбрать цифру $d_2$ так, чтобы сумма $S_2 = S_1 + d_2$ стала кратна 3.
   • Если $S_1 \equiv 1 \pmod{3}$ (Рома выбрал 1 или 4), Дима выбирает цифру 2. Тогда $S_2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$.
   • Если $S_1 \equiv 2 \pmod{3}$ (Рома выбрал 2), Дима выбирает цифру 1 или 4. Тогда $S_2 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}$.
   Таким образом, Дима всегда может сделать сумму $S_2$ кратной 3.
3. Ход 3 (Рома): Рома видит, что текущая сумма $S_2$ кратна 3. Он добавляет свою цифру $d_3$. Новая сумма $S_3 = S_2 + d_3 \equiv 0 + d_3 \pmod{3}$. Так как $d_3 \not\equiv 0 \pmod{3}$, то и $S_3$ не будет кратна 3.

Эта закономерность сохраняется. После каждого хода Ромы сумма цифр не будет кратна 3. После каждого хода Димы, он, реагируя на ход Ромы, может сделать так, чтобы сумма цифр стала кратной 3.

Последний ход Димы — 18-й. Придерживаясь своей стратегии, он сделает так, что сумма первых 18 цифр, $S_{18}$, будет кратна 3, то есть $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$.

Последний, 19-й ход, делает Рома. Он должен выбрать цифру $d_{19}$. Итоговая сумма всех цифр будет $S_{19} = S_{18} + d_{19}$. Так как $S_{18} \equiv 0 \pmod{3}$, то $S_{19} \equiv d_{19} \pmod{3}$. Рома может выбрать $d_{19}$ из набора {1, 2, 4}.

• Если он выберет 1 или 4, то $S_{19} \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если он выберет 2, то $S_{19} \equiv 2 \pmod{3}$.

Ни при каком выборе Ромы итоговая сумма цифр не будет кратна 3. Следовательно, Рома не сможет добиться своей цели.

Ответ: Да, Дима может помешать Роме.