Номер 188, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 188, страница 29.

Условие.

188. Простое число, большее 1000, поделили на 6. Чему может быть равен остаток?

Решение.

Решение 2.

Пусть $p$ — простое число, большее 1000. При делении любого целого числа на 6 возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим каждый из этих случаев для числа $p$.

Представим число $p$ в виде $p = 6k + r$, где $k$ — некоторое натуральное число, а $r$ — остаток от деления.

• Если остаток $r = 0$, то число имеет вид $p = 6k$. Такое число делится на 6, а значит, делится на 2 и на 3. Поскольку по условию $p > 1000$, оно не может быть простым.
• Если остаток $r = 2$, то число имеет вид $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$. Такое число является чётным и делится на 2. Единственное простое чётное число — это 2, но по условию $p > 1000$. Следовательно, такое число не может быть простым.
• Если остаток $r = 3$, то число имеет вид $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$. Такое число делится на 3. Единственное простое число, делящееся на 3, — это 3, но по условию $p > 1000$. Следовательно, такое число не может быть простым.
• Если остаток $r = 4$, то число имеет вид $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$. Такое число является чётным и делится на 2. Так как $p > 1000$, оно не может быть простым.

Таким образом, мы исключили остатки 0, 2, 3 и 4. Остаются возможными только два варианта:

• Остаток $r = 1$. Число имеет вид $p = 6k + 1$. Такие числа могут быть простыми. Например, первое простое число больше 1000 — это 1009. При делении на 6 оно даёт: $1009 = 6 \cdot 168 + 1$. Остаток равен 1.
• Остаток $r = 5$. Число имеет вид $p = 6k + 5$. Такие числа также могут быть простыми. Например, простое число 1013. При делении на 6 оно даёт: $1013 = 6 \cdot 168 + 5$. Остаток равен 5.

Следовательно, остаток от деления простого числа, большего 1000, на 6 может быть равен только 1 или 5.
Ответ: 1 или 5.