Номер 190, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 190, страница 29.

Условие.

190. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:

1) $2^3$;

2) $2^4$. Выскажите гипотезу, о количестве делителей значения выражения $2^n$, где $n$ — натуральное число. Обсудите вашу гипотезу в классе.

Решение.

Решение 2.

1) 2³;
Сначала вычислим значение выражения: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Теперь найдем все натуральные делители числа 8. Делителями являются числа, на которые 8 делится без остатка. Это числа: 1, 2, 4, 8.
Подсчитаем их количество: всего 4 делителя.
Ответ: 4

2) 2⁴.
Вычислим значение выражения: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Найдем все натуральные делители числа 16. Это числа: 1, 2, 4, 8, 16.
Подсчитаем их количество: всего 5 делителей.
Ответ: 5

Гипотеза о количестве делителей числа 2ⁿ
Проанализируем результаты, полученные в предыдущих пунктах:
- для числа $2^3$ количество делителей равно 4, что можно представить как $3+1$;
- для числа $2^4$ количество делителей равно 5, что можно представить как $4+1$.
На основе этой закономерности можно сформулировать следующую гипотезу.
Гипотеза: Количество натуральных делителей числа, равного значению выражения $2^n$, где $n$ — натуральное число, равно $n+1$.
Обоснование (обсуждение) гипотезы:
Число $2^n$ уже представлено в виде разложения на простые множители. Любой его натуральный делитель должен также состоять только из множителя 2, то есть иметь вид $2^k$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Поскольку делитель не может быть больше самого числа, должно выполняться неравенство $2^k \le 2^n$, что равносильно $k \le n$.
Таким образом, показатель степени $k$ может принимать любые целые значения от 0 до $n$ включительно: $0, 1, 2, \ldots, n$.
Общее число таких возможных значений для $k$ равно $(n - 0) + 1 = n+1$.
Каждому из этих значений $k$ соответствует уникальный делитель ($2^0, 2^1, \ldots, 2^n$). Следовательно, у числа $2^n$ ровно $n+1$ натуральных делителей. Гипотеза верна.
Ответ: Количество делителей числа $2^n$ равно $n+1$.