Номер 185, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 185, страница 29.

Условие.

185. Заполните таблицу.

Число

Квадрат числа

Остаток от деления квадрата числа на 3

4

7

9

13

15

16

17

25

Проанализируйте полученные данные и выскажите гипотезу, какие значения может принимать остаток от деления квадрата натурального числа на 3. Обсудите высказанное предположение в классе.

Решение.

Решение 2.

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо для каждого числа из первого столбца найти его квадрат, а затем — остаток от деления этого квадрата на 3.

Число	Квадрат числа	Остаток от деления квадрата числа на 3
4	$4^2 = 16$	$16 = 3 \cdot 5 + 1 \implies 1$
7	$7^2 = 49$	$49 = 3 \cdot 16 + 1 \implies 1$
9	$9^2 = 81$	$81 = 3 \cdot 27 + 0 \implies 0$
13	$13^2 = 169$	$169 = 3 \cdot 56 + 1 \implies 1$
15	$15^2 = 225$	$225 = 3 \cdot 75 + 0 \implies 0$
16	$16^2 = 256$	$256 = 3 \cdot 85 + 1 \implies 1$
17	$17^2 = 289$	$289 = 3 \cdot 96 + 1 \implies 1$
25	$25^2 = 625$	$625 = 3 \cdot 208 + 1 \implies 1$

Ответ: Таблица заполнена выше.

Проанализируйте полученные данные и выскажите гипотезу, какие значения может принимать остаток от деления квадрата натурального числа на 3. Обсудите высказанное предположение в классе.

Анализируя третий столбец заполненной таблицы, можно заметить, что все полученные остатки равны либо 0, либо 1. Это позволяет выдвинуть следующую гипотезу.

Гипотеза: Квадрат любого натурального числа при делении на 3 дает в остатке либо 0, либо 1. Остаток от такого деления никогда не может быть равен 2.

Обсуждение (доказательство) гипотезы:

Любое натуральное число n при делении на 3 может давать один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Следовательно, любое натуральное число можно представить в одном из трех видов:

1. Число n делится на 3 нацело.
   В этом случае $n = 3k$, где $k$ — натуральное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$.
   Полученное выражение делится на 3 без остатка. Остаток равен 0.

2. Число n при делении на 3 дает в остатке 1.
   В этом случае $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
   При делении этого выражения на 3 в остатке получается 1. Остаток равен 1.

3. Число n при делении на 3 дает в остатке 2.
   В этом случае $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.
   Возведем в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$.
   Представим число 4 как $3 + 1$: $n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
   При делении этого выражения на 3 также в остатке получается 1. Остаток равен 1.

Мы рассмотрели все возможные случаи для натурального числа n и показали, что квадрат этого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Таким образом, гипотеза верна.

Ответ: Остаток от деления квадрата натурального числа на 3 может принимать только два значения: 0 и 1.