Номер 187, страница 29 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 187, страница 29.

Условие.

187. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000$. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — это число, равное произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000$. Таким образом, $N = 1000!$.

В задаче описан процесс последовательного вычисления суммы цифр числа до тех пор, пока не будет получено однозначное число. Эта итоговая цифра является цифровым корнем исходного числа.

Для решения задачи используется свойство сравнения по модулю 9: любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. Это означает, что число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9. Математически это можно записать так: $n \equiv S(n) \pmod 9$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$.

Поскольку процесс суммирования цифр повторяется, то исходное число $N$ будет иметь тот же остаток при делении на 9, что и конечный однозначный результат. Обозначим этот результат буквой $D$. Следовательно, $N \equiv D \pmod 9$.

Рассмотрим наше число $N = 1000!$. Оно представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 1000:

$N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 1000$

Поскольку в этом произведении одним из множителей является число 9, то всё произведение $N$ делится на 9 без остатка. Это означает, что остаток от деления $N$ на 9 равен 0:

$N \equiv 0 \pmod 9$

Так как $N \equiv D \pmod 9$, то и для искомого однозначного числа $D$ должно выполняться условие:

$D \equiv 0 \pmod 9$

Число $D$ является однозначным, то есть может быть одним из чисел $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Кроме того, число $N=1000!$ является огромным положительным числом, поэтому сумма его цифр, как и все последующие суммы, будет строго больше нуля. Значит, $D > 0$.

Единственное положительное однозначное число, которое делится на 9, — это 9.

Таким образом, искомое число равно 9.

Ответ: 9