Номер 182, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 182, страница 28.

Условие.

182. При каком натуральном значении n будет простым числом значение выражения:

1) $2n$;

2) $n^2$;

3) $n(n+1)$?

Решение.

Решение 2.

1) 2n;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Выражение $2n$ представляет собой произведение двух натуральных чисел: $2$ и $n$ (по условию $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$). Чтобы произведение двух натуральных чисел было простым, один из множителей должен быть равен 1, а второй — самому простому числу.

Рассмотрим множители $2$ и $n$. Так как $2 \ne 1$, то для того, чтобы выражение $2n$ было простым числом, необходимо, чтобы другой множитель, $n$, был равен 1.

Проверим это предположение. Если $n=1$, то значение выражения равно $2 \cdot 1 = 2$. Число 2 является простым. Если $n > 1$, то число $2n$ будет составным, так как оно будет иметь как минимум три делителя: $1$, $2$ и $2n$. Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором $2n$ является простым числом, это $n=1$.

Ответ: $n=1$.

2) n²;

Выражение $n^2$ можно записать как произведение $n \cdot n$. Мы ищем такое натуральное $n$, чтобы $n^2$ было простым числом.

Если $n=1$, то $n^2 = 1^2 = 1$. Число 1 не является простым по определению (простое число должно быть больше 1). Если $n > 1$, то число $n^2$ имеет как минимум три различных делителя: $1$, $n$ и $n^2$. Поскольку $n>1$, то $1 < n < n^2$. Простое число имеет ровно два делителя. Так как при $n>1$ у числа $n^2$ больше двух делителей, оно является составным. Следовательно, не существует такого натурального значения $n$, при котором $n^2$ было бы простым числом.

Ответ: таких значений нет.

3) n(n+1)?

Выражение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Чтобы это произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу.

Рассмотрим множители $n$ и $n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Это означает, что $n+1 \ge 2$. Таким образом, множитель $n+1$ не может быть равен 1. Единственная возможность — это $n=1$.

Проверим этот случай. Если $n=1$, то значение выражения равно $1 \cdot (1+1) = 2$. Число 2 является простым. Если $n > 1$, то оба множителя, $n$ и $n+1$, будут больше 1. Их произведение будет составным числом, так как оно будет делиться на $1$, $n$, $n+1$ и на само себя. Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором $n(n+1)$ является простым числом, это $n=1$.

Ответ: $n=1$.