Номер 181, страница 28 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 181, страница 28.

Условие.

181. Существуют ли три последовательных натуральных числа:

1) каждое из которых является простым;

2) ни одно из которых не является составным?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

1) каждое из которых является простым;

Рассмотрим три произвольных последовательных натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$.

Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 3.

• Если $n$ делится на 3, то это $n$.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2 = 3k+3$, которое делится на 3.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1 = 3k+3$, которое делится на 3.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3.

Следовательно, если такая тройка простых чисел существует, одно из них должно быть числом 3. Рассмотрим все возможные случаи:

• Последовательность 1, 2, 3. Число 1 не является простым.
• Последовательность 2, 3, 4. Число 4 не является простым, так как $4 = 2 \cdot 2$.
• Последовательность 3, 4, 5. Число 4 не является простым.

Во всех случаях, включающих число 3, одно из чисел в последовательности не является простым. Если же рассматривать тройку последовательных чисел, где каждое число больше 3, то одно из них будет делиться на 3 и будет больше 3, а значит, оно будет составным.

Таким образом, не существует трёх последовательных натуральных чисел, каждое из которых является простым.
Ответ: нет, не существуют.

2) ни одно из которых не является составным?

Натуральное число не является составным, если оно является простым числом или числом 1. Следовательно, нам нужно выяснить, существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых — либо простое, либо 1.

Рассмотрим первую тройку последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3.

• 1 — не является ни простым, ни составным. Значит, оно не является составным.
• 2 — является простым числом. Значит, оно не является составным.
• 3 — является простым числом. Значит, оно не является составным.

Все три числа в последовательности 1, 2, 3 не являются составными. Поскольку мы нашли такой пример, мы можем утверждать, что такие три числа существуют.
Ответ: да, существуют. Это числа 1, 2 и 3.