Страница 17 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

102. Прямолинейная дорога проходит через деревню Светлая. Велосипедист, находясь на расстоянии 8 км от деревни, начал двигаться по этой дороге со скоростью 14 км/ч, удаляясь от деревни. Составьте формулу для определения расстояния велосипедиста от деревни Светлая через $t$ ч после начала движения и вычислите это расстояние, если:

1) $t=2$;

2) $t=3$.

Для решения задачи сначала составим общую формулу для определения расстояния велосипедиста от деревни Светлая через $t$ часов после начала движения.

Пусть $S$ - искомое расстояние от деревни в километрах, а $t$ - время в часах.

Начальное расстояние велосипедиста от деревни составляет 8 км.

Скорость, с которой велосипедист движется, удаляясь от деревни, равна 14 км/ч.

Расстояние, которое велосипедист проедет за время $t$, можно вычислить по формуле: расстояние = скорость × время. В нашем случае это будет $14t$ км.

Поскольку велосипедист удаляется от деревни, его итоговое расстояние от нее будет суммой начального расстояния и расстояния, которое он проехал.

Таким образом, формула для определения расстояния $S$ через $t$ часов имеет вид:
$S = 8 + 14t$

Теперь, используя эту формулу, вычислим расстояние для указанных значений времени.

1) t = 2;
Подставим в формулу значение $t = 2$:
$S = 8 + 14 \cdot 2 = 8 + 28 = 36$ (км).
Через 2 часа велосипедист будет находиться на расстоянии 36 км от деревни.
Ответ: 36 км.

2) t = 3;
Подставим в формулу значение $t = 3$:
$S = 8 + 14 \cdot 3 = 8 + 42 = 50$ (км).
Через 3 часа велосипедист будет находиться на расстоянии 50 км от деревни.
Ответ: 50 км.

103. На складе было $m$ т угля. Ежедневно со склада вывозили по $6$ т угля. Составьте формулу для определения массы угля, оставшегося на складе через $n$ дней после начала его вывоза, и вычислите эту массу, если $m = 1200$, $n = 15$.

Составьте формулу для определения массы угля, оставшегося на складе через n дней после начала его вывоза

Пусть $M$ — искомая масса угля (в тоннах), оставшегося на складе.
По условию, начальная масса угля на складе равна $m$ тонн.
Ежедневно со склада вывозят 6 тонн угля.
За $n$ дней общее количество вывезенного угля составит произведение дневной нормы на количество дней: $6 \cdot n$ тонн.
Чтобы найти массу угля, оставшегося на складе, нужно из начальной массы вычесть общую массу вывезенного угля.
Таким образом, формула имеет вид:
$M = m - 6n$
Ответ: $M = m - 6n$.

Вычислите эту массу, если m = 1200, n = 15

Подставим заданные значения $m = 1200$ и $n = 15$ в выведенную формулу:
$M = 1200 - 6 \cdot 15$
Выполним вычисления по порядку действий:
1. Сначала выполним умножение:
$6 \cdot 15 = 90$ (т) — столько угля вывезли за 15 дней.
2. Затем выполним вычитание:
$M = 1200 - 90 = 1110$ (т) — столько угля осталось на складе.
Ответ: 1110 т.

104. После завершения опыта температура раствора составляла $T$ °С. Раствор начал остывать, и его температура понижалась каждую минуту на 5 °С. Составьте формулу для определения температуры раствора через $t$ мин после завершения опыта и вычислите эту температуру, если $T=90, t=8$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $T$ — это начальная температура раствора в градусах Цельсия, а $t$ — это время в минутах, прошедшее с момента завершения опыта. Температуру раствора через $t$ минут обозначим как $T_t$.

Составьте формулу для определения температуры раствора через $t$ мин после завершения опыта

По условию, начальная температура раствора составляет $T$ °C. Каждую минуту температура понижается на 5 °C. Это означает, что за время $t$ минут общее понижение температуры составит $5 \times t$ °C.

Чтобы найти температуру раствора $T_t$ через $t$ минут, необходимо из начальной температуры $T$ вычесть суммарное понижение температуры за это время. Таким образом, получаем формулу:

$T_t = T - 5t$

Ответ: $T_t = T - 5t$

Вычислите эту температуру, если $T=90, t=8$

Используем выведенную формулу и подставим в нее заданные значения: $T = 90$ °C и $t = 8$ мин.

$T_8 = 90 - 5 \times 8$

Выполним вычисления:

$T_8 = 90 - 40$

$T_8 = 50$

Следовательно, через 8 минут температура раствора составит 50 °C.

Ответ: 50 °C.

105. Решите уравнение:

1) $2a + 13a + 97 = 337;$

2) $(3x + 5) : 8 = 13;$

3) $(x - 160) : 7 - 6 = 49;$

4) $13 (126 - 11x) = 208.$

1)

Дано уравнение $2a + 13a + 97 = 337$.

Сначала приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью) в левой части уравнения:

$2a + 13a = (2 + 13)a = 15a$.

Уравнение принимает вид:

$15a + 97 = 337$.

Теперь $15a$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$15a = 337 - 97$.

$15a = 240$.

В получившемся уравнении $a$ — неизвестный множитель. Чтобы найти его, нужно произведение разделить на известный множитель:

$a = 240 : 15$.

$a = 16$.

Проверка:

$2 \cdot 16 + 13 \cdot 16 + 97 = 32 + 208 + 97 = 240 + 97 = 337$.

$337 = 337$.

Ответ: 16.

2)

Дано уравнение $(3x + 5) : 8 = 13$.

В этом уравнении выражение в скобках $(3x + 5)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

$3x + 5 = 13 \cdot 8$.

$3x + 5 = 104$.

Теперь $3x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, вычтем из суммы известное слагаемое:

$3x = 104 - 5$.

$3x = 99$.

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение на известный множитель:

$x = 99 : 3$.

$x = 33$.

Проверка:

$(3 \cdot 33 + 5) : 8 = (99 + 5) : 8 = 104 : 8 = 13$.

$13 = 13$.

Ответ: 33.

3)

Дано уравнение $(x - 160) : 7 - 6 = 49$.

В этом уравнении выражение $(x - 160) : 7$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$(x - 160) : 7 = 49 + 6$.

$(x - 160) : 7 = 55$.

Теперь выражение $(x - 160)$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное умножить на делитель:

$x - 160 = 55 \cdot 7$.

$x - 160 = 385$.

Наконец, $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = 385 + 160$.

$x = 545$.

Проверка:

$(545 - 160) : 7 - 6 = 385 : 7 - 6 = 55 - 6 = 49$.

$49 = 49$.

Ответ: 545.

4)

Дано уравнение $13 \cdot (126 - 11x) = 208$.

Здесь выражение в скобках $(126 - 11x)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

$126 - 11x = 208 : 13$.

$126 - 11x = 16$.

В получившемся уравнении $11x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$11x = 126 - 16$.

$11x = 110$.

Теперь $x$ — неизвестный множитель. Найдём его, разделив произведение на известный множитель:

$x = 110 : 11$.

$x = 10$.

Проверка:

$13 \cdot (126 - 11 \cdot 10) = 13 \cdot (126 - 110) = 13 \cdot 16 = 208$.

$208 = 208$.

Ответ: 10.

106. Решите уравнение:

1) $73y - y - 22y + 40 = 190;$

2) $56 + 72 : (x - 12) = 60.$

1) $73y - y - 22y + 40 = 190$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (члены, содержащие переменную $y$):

$(73 - 1 - 22)y + 40 = 190$

$50y + 40 = 190$

Теперь перенесем число 40 из левой части в правую с противоположным знаком, чтобы изолировать слагаемое с переменной:

$50y = 190 - 40$

$50y = 150$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 50:

$y = 150 : 50$

$y = 3$

Ответ: 3

2) $56 + 72 : (x - 12) = 60$

В этом уравнении неизвестное $x$ находится в делителе. Рассмотрим выражение $72 : (x - 12)$ как одно неизвестное слагаемое.

Чтобы найти это слагаемое, вычтем из суммы (60) известное слагаемое (56):

$72 : (x - 12) = 60 - 56$

$72 : (x - 12) = 4$

Теперь у нас есть уравнение, где неизвестное выражение $(x-12)$ является делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (72) разделить на частное (4):

$x - 12 = 72 : 4$

$x - 12 = 18$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности (18) прибавить вычитаемое (12):

$x = 18 + 12$

$x = 30$

Ответ: 30

107. Егор, Саша и Алёша поймали 128 окуней. Егор поймал в 3 раза больше рыб, чем Саша, а Алёша – столько, сколько Егор и Саша поймали вместе. Сколько окуней поймал лучший рыбак?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество окуней, которое поймал Саша.

Исходя из условия, Егор поймал в 3 раза больше рыб, чем Саша. Следовательно, количество окуней, пойманных Егором, равно $3x$.

Алёша поймал столько, сколько Егор и Саша поймали вместе. Значит, улов Алёши составляет $x + 3x = 4x$ окуней.

Всего они поймали 128 окуней. Мы можем составить уравнение, сложив улов каждого рыбака:

$x + 3x + 4x = 128$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$8x = 128$

$x = 128 / 8$

$x = 16$

Таким образом, Саша поймал 16 окуней.

Теперь мы можем найти, сколько окуней поймали Егор и Алёша:

Егор поймал: $3 * 16 = 48$ окуней.

Алёша поймал: $4 * 16 = 64$ окуня.

Чтобы найти лучшего рыбака, сравним количество пойманной рыбы:

Саша — 16 окуней.

Егор — 48 окуней.

Алёша — 64 окуня.

Самое большое количество окуней поймал Алёша.

Ответ: 64

108. Красная Шапочка, Мальвина, Золушка и Дюймовочка слепили 500 пельменей. Красная Шапочка слепила в 2 раза больше пельменей, чем Дюймовочка, Мальвина — столько, сколько Красная Шапочка и Дюймовочка слепили вместе, а Золушка — столько, сколько Мальвина и Дюймовочка слепили вместе. Сколько пельменей слепила Золушка?

Для решения задачи давайте обозначим количество пельменей, которое слепила Дюймовочка, переменной $x$.

Теперь, исходя из условий задачи, выразим количество пельменей, которое слепил каждый персонаж, через $x$:

• Количество пельменей Дюймовочки (Д): $x$

• Красная Шапочка (К) слепила в 2 раза больше, чем Дюймовочка, значит: $2 \cdot x = 2x$

• Мальвина (М) слепила столько, сколько Красная Шапочка и Дюймовочка вместе: $2x + x = 3x$

• Золушка (З) слепила столько, сколько Мальвина и Дюймовочка вместе: $3x + x = 4x$

Всего они слепили 500 пельменей. Мы можем составить уравнение, сложив количество пельменей каждого персонажа и приравняв его к общему количеству:

$Д + К + М + З = 500$

Подставим наши выражения:

$x + 2x + 3x + 4x = 500$

Сложим все слагаемые с $x$:

$10x = 500$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{500}{10}$

$x = 50$

Итак, Дюймовочка слепила 50 пельменей. Нам нужно найти, сколько пельменей слепила Золушка. Мы знаем, что Золушка слепила $4x$ пельменей.

Вычислим это значение:

$4 \cdot 50 = 200$

Таким образом, Золушка слепила 200 пельменей.

Ответ: 200

109. Провод длиной 102 м разрезали на три части. Первая часть в 5 раз короче второй, а третья – на 14 м длиннее второй. Найдите длину каждой части.

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Удобнее всего выразить длины всех частей через одну неизвестную. Поскольку первая и третья части сравниваются со второй, обозначим длину второй части за $x$ метров.

Пусть длина второй части провода равна $x$ м.

Тогда, согласно условию:

• Первая часть в 5 раз короче второй, значит, её длина равна $\frac{x}{5}$ м.
• Третья часть на 14 м длиннее второй, значит, её длина равна $(x + 14)$ м.

Сумма длин всех трех частей равна общей длине провода, то есть 102 м. Составим уравнение:

$\frac{x}{5} + x + (x + 14) = 102$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$\frac{x}{5} + 2x + 14 = 102$

2. Перенесём 14 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{x}{5} + 2x = 102 - 14$

$\frac{x}{5} + 2x = 88$

3. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (\frac{x}{5} + 2x) = 88 \cdot 5$

$x + 10x = 440$

4. Приведем подобные слагаемые:

$11x = 440$

5. Найдем $x$:

$x = \frac{440}{11}$

$x = 40$

Итак, мы нашли длину второй части провода — она равна 40 м.

Теперь можем найти длины первой и третьей частей:

• Длина первой части: $\frac{x}{5} = \frac{40}{5} = 8$ м.
• Длина третьей части: $x + 14 = 40 + 14 = 54$ м.

Проверим правильность решения, сложив длины всех частей: $8 \text{ м} + 40 \text{ м} + 54 \text{ м} = 102 \text{ м}$. Сумма совпадает с исходной длиной провода.

Ответ: длина первой части – 8 м, второй – 40 м, третьей – 54 м.

110. В три школы отправили 552 кг апельсинов, причём в одну школу отправили в 6 раз меньше апельсинов, чем во вторую, и на 136 кг апельсинов меньше, чем в третью. Сколько килограммов апельсинов отправили в каждую школу?

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ количество килограммов апельсинов, отправленных в первую школу.

Исходя из условий задачи, выразим количество апельсинов для второй и третьей школ через $x$:

В первую школу отправили в 6 раз меньше апельсинов, чем во вторую. Это значит, что во вторую школу отправили в 6 раз больше, чем в первую. Таким образом, во вторую школу отправили $6x$ кг апельсинов.

Также в первую школу отправили на 136 кг меньше, чем в третью. Это значит, что в третью школу отправили на 136 кг больше, чем в первую. Таким образом, в третью школу отправили $x + 136$ кг апельсинов.

Суммарно во все три школы отправили 552 кг апельсинов. Составим уравнение, сложив массу апельсинов для каждой школы:

$x + 6x + (x + 136) = 552$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Скомбинируем все слагаемые, содержащие $x$:

$8x + 136 = 552$

2. Перенесём число 136 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$8x = 552 - 136$

$8x = 416$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = 416 / 8$

$x = 52$

Итак, в первую школу отправили 52 кг апельсинов.

Теперь найдём, сколько килограммов апельсинов отправили во вторую и третью школы:

Во вторую школу: $6x = 6 * 52 = 312$ кг.

В третью школу: $x + 136 = 52 + 136 = 188$ кг.

Для проверки сложим полученные значения:

$52 + 312 + 188 = 552$ кг.

Общая масса совпадает с указанной в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: в первую школу отправили 52 кг апельсинов, во вторую — 312 кг, а в третью — 188 кг.

111. Какое число надо подставить вместо a, чтобы корнем уравнения:

1) $25x - ax - 9 = 279$ было число 16;

2) $(x + 14) : a = 13$ было число 103?

1) Чтобы найти значение $a$, нужно подставить известный корень $x = 16$ в уравнение $25x - ax - 9 = 279$ и решить его относительно $a$.

Подставляем $x = 16$:

$25 \cdot 16 - a \cdot 16 - 9 = 279$

Выполняем умножение и упрощаем левую часть:

$400 - 16a - 9 = 279$

$391 - 16a = 279$

Теперь isolating the term with $a$. Перенесем $391$ в правую часть уравнения:

$-16a = 279 - 391$

$-16a = -112$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $-16$:

$a = \frac{-112}{-16}$

$a = 7$

Ответ: 7

2) Аналогично, подставим корень $x = 103$ в уравнение $(x + 14) : a = 13$.

Подставляем $x = 103$:

$(103 + 14) : a = 13$

Выполняем сложение в скобках:

$117 : a = 13$

В этом уравнении $a$ является неизвестным делителем. Чтобы найти его, нужно делимое ($117$) разделить на частное ($13$):

$a = 117 : 13$

$a = 9$

Ответ: 9