Страница 11 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

57. Упростите выражение:

1) $(72 + b) + 38;$

2) $256 + (c + 159);$

3) $47 + m + 96;$

4) $p + 457 + 243.$

1) Чтобы упростить выражение $(72 + b) + 38$, мы можем использовать сочетательное свойство сложения. Это свойство позволяет нам группировать слагаемые в любом порядке: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Перегруппируем слагаемые так, чтобы числа стояли рядом:

$(72 + b) + 38 = (72 + 38) + b$

Теперь выполним сложение чисел:

$72 + 38 = 110$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $110 + b$.

Ответ: $110 + b$

2) Для упрощения выражения $256 + (c + 159)$ также воспользуемся сочетательным свойством сложения. Раскроем скобки и сгруппируем числа:

$256 + (c + 159) = (256 + 159) + c$

Вычислим сумму чисел:

$256 + 159 = 415$

В результате получаем упрощенное выражение $415 + c$.

Ответ: $415 + c$

3) В выражении $47 + m + 96$ мы можем использовать переместительное свойство сложения ($a + b = b + a$), чтобы поменять слагаемые местами, и сочетательное свойство, чтобы сгруппировать числа.

$47 + m + 96 = 47 + 96 + m = (47 + 96) + m$

Сложим числа:

$47 + 96 = 143$

Упрощенное выражение имеет вид $143 + m$.

Ответ: $143 + m$

4) Аналогично предыдущему примеру, в выражении $p + 457 + 243$ сгруппируем числовые слагаемые для упрощения вычислений.

$p + 457 + 243 = p + (457 + 243)$

Найдем сумму чисел в скобках:

$457 + 243 = 700$

Следовательно, итоговое упрощенное выражение равно $p + 700$.

Ответ: $p + 700$

58. Упростите выражение:

1) $36 + (24 + a);$

2) $212 + b + 188.$

1) Чтобы упростить выражение $36 + (24 + a)$, мы можем использовать сочетательное свойство сложения, которое гласит, что $(x+y)+z = x+(y+z)$. Это позволяет нам убрать скобки, так как все операции в выражении являются сложением.

$36 + (24 + a) = 36 + 24 + a$

Теперь сложим числовые значения:

$36 + 24 = 60$

В результате получаем упрощенное выражение:

$60 + a$

Ответ: $60 + a$

2) Чтобы упростить выражение $212 + b + 188$, мы можем использовать переместительное свойство сложения, которое позволяет менять слагаемые местами: $x+y=y+x$. Это удобно сделать для того, чтобы сложить числа вместе.

$212 + b + 188 = 212 + 188 + b$

Теперь выполним сложение чисел:

$212 + 188 = 400$

В результате получаем упрощенное выражение:

$400 + b$

Ответ: $400 + b$

59. Вычислите:

1) $16 \text{ м } 59 \text{ см } + 21 \text{ м } 63 \text{ см};$

2) $3 \text{ ч } 29 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 54 \text{ мин};$

3) $43 \text{ мин } 50 \text{ с } + 30 \text{ мин } 45 \text{ с};$

4) $2 \text{ дм } 3 \text{ см } - 1 \text{ дм } 8 \text{ см};$

5) $6 \text{ кг } 28 \text{ г } - 4 \text{ кг } 235 \text{ г};$

6) $12 \text{ мин } 6 \text{ с } - 8 \text{ мин } 20 \text{ с};$

7) $3 \text{ м } 7 \text{ см } \cdot 40;$

8) $24 \text{ мин } 12 \text{ с } \cdot 8.$

1) Чтобы сложить именованные числа, сложим отдельно метры с метрами и сантиметры с сантиметрами:
$16 \text{ м} + 21 \text{ м} = 37 \text{ м}$
$59 \text{ см} + 63 \text{ см} = 122 \text{ см}$
Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, преобразуем $122 \text{ см}$ в метры и сантиметры: $122 \text{ см} = 1 \text{ м } 22 \text{ см}$.
Теперь сложим полученные значения: $37 \text{ м} + 1 \text{ м } 22 \text{ см} = 38 \text{ м } 22 \text{ см}$.
Ответ: 38 м 22 см.

2) Сложим отдельно часы с часами и минуты с минутами:
$3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$
$29 \text{ мин} + 54 \text{ мин} = 83 \text{ мин}$
Поскольку $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$, преобразуем $83 \text{ мин}$ в часы и минуты: $83 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 23 \text{ мин}$.
Сложим полученные значения: $5 \text{ ч} + 1 \text{ ч } 23 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 23 \text{ мин}$.
Ответ: 6 ч 23 мин.

3) Сложим отдельно минуты с минутами и секунды с секундами:
$43 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 73 \text{ мин}$
$50 \text{ с} + 45 \text{ с} = 95 \text{ с}$
Преобразуем секунды в минуты ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$): $95 \text{ с} = 1 \text{ мин } 35 \text{ с}$.
Сложим полученные минуты: $73 \text{ мин} + 1 \text{ мин } 35 \text{ с} = 74 \text{ мин } 35 \text{ с}$.
Преобразуем минуты в часы ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$): $74 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 14 \text{ мин}$.
Итоговый результат: $1 \text{ ч } 14 \text{ мин } 35 \text{ с}$.
Ответ: 1 ч 14 мин 35 с.

4) Для удобства вычитания переведем обе величины в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$:
$2 \text{ дм } 3 \text{ см} = 2 \cdot 10 \text{ см} + 3 \text{ см} = 23 \text{ см}$
$1 \text{ дм } 8 \text{ см} = 1 \cdot 10 \text{ см} + 8 \text{ см} = 18 \text{ см}$
Выполним вычитание: $23 \text{ см} - 18 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.

5) При вычитании видим, что из $28 \text{ г}$ нельзя вычесть $235 \text{ г}$. Поэтому "займем" $1 \text{ кг}$ у $6 \text{ кг}$ и переведем его в граммы ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$):
$6 \text{ кг } 28 \text{ г} = 5 \text{ кг } (1000 + 28) \text{ г} = 5 \text{ кг } 1028 \text{ г}$
Теперь выполним вычитание:
$5 \text{ кг } 1028 \text{ г} - 4 \text{ кг } 235 \text{ г} = (5-4) \text{ кг } (1028-235) \text{ г} = 1 \text{ кг } 793 \text{ г}$.
Ответ: 1 кг 793 г.

6) Из $6 \text{ с}$ нельзя вычесть $20 \text{ с}$. "Займем" $1 \text{ мин}$ у $12 \text{ мин}$ и переведем ее в секунды ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$):
$12 \text{ мин } 6 \text{ с} = 11 \text{ мин } (60 + 6) \text{ с} = 11 \text{ мин } 66 \text{ с}$
Теперь выполним вычитание:
$11 \text{ мин } 66 \text{ с} - 8 \text{ мин } 20 \text{ с} = (11-8) \text{ мин } (66-20) \text{ с} = 3 \text{ мин } 46 \text{ с}$.
Ответ: 3 мин 46 с.

7) Чтобы выполнить умножение, умножим каждую единицу измерения на число:
$3 \text{ м} \cdot 40 = 120 \text{ м}$
$7 \text{ см} \cdot 40 = 280 \text{ см}$
Преобразуем сантиметры в метры: $280 \text{ см} = 2 \text{ м } 80 \text{ см}$.
Сложим результаты: $120 \text{ м} + 2 \text{ м } 80 \text{ см} = 122 \text{ м } 80 \text{ см}$.
Ответ: 122 м 80 см.

8) Умножим каждую единицу измерения на число:
$24 \text{ мин} \cdot 8 = 192 \text{ мин}$
$12 \text{ с} \cdot 8 = 96 \text{ с}$
Получаем $192 \text{ мин } 96 \text{ с}$. Преобразуем секунды в минуты: $96 \text{ с} = 1 \text{ мин } 36 \text{ с}$.
Добавим эту минуту к остальным: $192 \text{ мин} + 1 \text{ мин } 36 \text{ с} = 193 \text{ мин } 36 \text{ с}$.
Теперь преобразуем минуты в часы: $193 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ мин} + 13 \text{ мин} = 3 \text{ ч } 13 \text{ мин}$.
Итоговый результат: $3 \text{ ч } 13 \text{ мин } 36 \text{ с}$.
Ответ: 3 ч 13 мин 36 с.

60. Вычислите:

1) 3 дм 7 см + 4 дм 9 см;

2) 7 кг 870 г + 5 кг 435 г;

3) 6 ч 38 мин + 2 ч 27 мин;

4) 54 м 18 см – 27 м 45 см;

5) $5 \text{ ц } 14 \text{ кг} \cdot 30$;

6) $8 \text{ ч } 28 \text{ мин} \cdot 6$.

1) Для решения сложим отдельно дециметры и сантиметры: $3 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 7 \text{ дм}$ и $7 \text{ см} + 9 \text{ см} = 16 \text{ см}$. В результате получаем $7 \text{ дм} \ 16 \text{ см}$. Так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $16 \text{ см}$ можно представить как $1 \text{ дм} \ 6 \text{ см}$. Добавим этот $1 \text{ дм}$ к имеющимся $7 \text{ дм}$: $7 \text{ дм} + 1 \text{ дм} \ 6 \text{ см} = 8 \text{ дм} \ 6 \text{ см}$.

Ответ: 8 дм 6 см.

2) Сложим килограммы с килограммами и граммы с граммами: $7 \text{ кг} + 5 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$ и $870 \text{ г} + 435 \text{ г} = 1305 \text{ г}$. В результате получаем $12 \text{ кг} \ 1305 \text{ г}$. Так как $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, то $1305 \text{ г}$ можно представить как $1 \text{ кг} \ 305 \text{ г}$. Добавим этот $1 \text{ кг}$ к имеющимся $12 \text{ кг}$: $12 \text{ кг} + 1 \text{ кг} \ 305 \text{ г} = 13 \text{ кг} \ 305 \text{ г}$.

Ответ: 13 кг 305 г.

3) Сложим отдельно часы и минуты: $6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$ и $38 \text{ мин} + 27 \text{ мин} = 65 \text{ мин}$. В результате получаем $8 \text{ ч} \ 65 \text{ мин}$. Так как $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$, то $65 \text{ мин}$ можно представить как $1 \text{ ч} \ 5 \text{ мин}$. Добавим этот $1 \text{ ч}$ к имеющимся $8 \text{ ч}$: $8 \text{ ч} + 1 \text{ ч} \ 5 \text{ мин} = 9 \text{ ч} \ 5 \text{ мин}$.

Ответ: 9 ч 5 мин.

4) Для вычитания $27 \text{ м} \ 45 \text{ см}$ из $54 \text{ м} \ 18 \text{ см}$ необходимо преобразовать уменьшаемое, так как $18 \text{ см} < 45 \text{ см}$. "Займем" 1 метр из 54 метров и переведем его в сантиметры ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$): $54 \text{ м} \ 18 \text{ см} = 53 \text{ м} \ 118 \text{ см}$. Теперь выполним вычитание по частям: $53 \text{ м} - 27 \text{ м} = 26 \text{ м}$ и $118 \text{ см} - 45 \text{ см} = 73 \text{ см}$.

Ответ: 26 м 73 см.

5) Для выполнения умножения переведем $5 \text{ ц} \ 14 \text{ кг}$ в килограммы. Так как $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, то $5 \text{ ц} \ 14 \text{ кг} = 5 \cdot 100 \text{ кг} + 14 \text{ кг} = 514 \text{ кг}$. Теперь умножим полученное значение на 30: $514 \text{ кг} \cdot 30 = 15420 \text{ кг}$. Преобразуем результат обратно в центнеры и килограммы, разделив 15420 на 100: $15420 : 100 = 154$ с остатком 20. Следовательно, $15420 \text{ кг} = 154 \text{ ц} \ 20 \text{ кг}$.

Ответ: 154 ц 20 кг.

6) Чтобы умножить $8 \text{ ч} \ 28 \text{ мин}$ на 6, умножим каждую единицу измерения отдельно: $8 \text{ ч} \cdot 6 = 48 \text{ ч}$ и $28 \text{ мин} \cdot 6 = 168 \text{ мин}$. В результате получаем $48 \text{ ч} \ 168 \text{ мин}$. Так как $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$, преобразуем 168 минут в часы и минуты: $168 \text{ мин} = 2 \cdot 60 \text{ мин} + 48 \text{ мин} = 2 \text{ ч} \ 48 \text{ мин}$. Теперь добавим эти часы к результату: $48 \text{ ч} + 2 \text{ ч} \ 48 \text{ мин} = 50 \text{ ч} \ 48 \text{ мин}$.

Ответ: 50 ч 48 мин.

61. Часы спешат и в 17 ч 56 мин 48 с показывают 18 ч 8 мин 12 с. Определите, на сколько спешат часы.

Чтобы определить, на сколько спешат часы, необходимо найти разницу между временем, которое они показывают (неверное время), и реальным (точным) временем.

Неверное время: 18 ч 8 мин 12 с

Точное время: 17 ч 56 мин 48 с

Выполним вычитание: $18 \text{ ч } 8 \text{ мин } 12 \text{ с } - 17 \text{ ч } 56 \text{ мин } 48 \text{ с }$.

Для удобства вычислений представим это в столбик:

$18 \text{ ч } 08 \text{ мин } 12 \text{ с }$
- $17 \text{ ч } 56 \text{ мин } 48 \text{ с }$
--------------------

1. Вычитаем секунды. Так как из $12$ секунд нельзя вычесть $48$ секунд, мы "занимаем" 1 минуту из 8 минут. 1 минута равна 60 секундам. Таким образом, у нас получается $12 + 60 = 72$ секунды, а в минутах остается $8 - 1 = 7$ минут.

$72 \text{ с } - 48 \text{ с } = 24 \text{ с }$

2. Вычитаем минуты. Теперь у нас 7 минут, и из них нужно вычесть 56 минут. Поскольку 7 меньше 56, мы "занимаем" 1 час из 18 часов. 1 час равен 60 минутам. Таким образом, у нас получается $7 + 60 = 67$ минут, а в часах остается $18 - 1 = 17$ часов.

$67 \text{ мин } - 56 \text{ мин } = 11 \text{ мин }$

3. Вычитаем часы. У нас осталось 17 часов.

$17 \text{ ч } - 17 \text{ ч } = 0 \text{ ч }$

Собрав все вместе, получаем разницу в 0 часов, 11 минут и 24 секунды.

Ответ: часы спешат на 11 минут 24 секунды.

62. Часы отстают и в 11 ч 4 мин 24 с показывают 10 ч 55 мин 36 с. Определите, на сколько отстают часы.

Чтобы определить, на сколько отстают часы, необходимо вычесть из правильного времени то время, которое они показывают. Для удобства вычислений будем действовать по разрядам (секунды, минуты, часы).

Правильное время: $11$ ч $4$ мин $24$ с

Время на часах: $10$ ч $55$ мин $36$ с

Произведем вычитание: $(11$ ч $4$ мин $24$ с) $–$ ($10$ ч $55$ мин $36$ с).

1. Вычитаем секунды. От $24$ секунд нельзя отнять $36$ секунд. Поэтому мы "занимаем" $1$ минуту из разряда минут. $1$ минута = $60$ секунд. Получаем:

$(4 - 1)$ мин и $(24 + 60)$ с $\rightarrow$ $3$ мин $84$ с.

Теперь вычитаем секунды: $84$ с $–$ $36$ с $=$ $48$ с.

2. Вычитаем минуты. После того как мы "заняли" одну минуту, у нас осталось $3$ минуты. От $3$ минут нельзя отнять $55$ минут. Поэтому мы "занимаем" $1$ час из разряда часов. $1$ час = $60$ минут. Получаем:

$(11 - 1)$ ч и $(3 + 60)$ мин $\rightarrow$ $10$ ч $63$ мин.

Теперь вычитаем минуты: $63$ мин $–$ $55$ мин $=$ $8$ мин.

3. Вычитаем часы. После того как мы "заняли" один час, у нас осталось $10$ часов.

Вычитаем часы: $10$ ч $–$ $10$ ч $=$ $0$ ч.

Собираем полученные значения вместе: часы отстают на $0$ часов, $8$ минут и $48$ секунд.

Ответ: Часы отстают на 8 минут 48 секунд.

63. Дорогу из деревни Берёзовка в деревню Дубки построили за три месяца. За первый месяц построили часть дороги длиной 21 км, за второй – на 8 км меньше, чем за первый. Всего за первые два месяца было построено на 13 км дороги больше, чем за третий. Какова длина дороги из Берёзовки в Дубки?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку.

1. Найдем, какую часть дороги построили за второй месяц.

По условию, за первый месяц построили 21 км, а за второй — на 8 км меньше. Чтобы найти длину дороги, построенную во второй месяц, вычтем 8 из 21:

$21 - 8 = 13$ (км)

2. Найдем, какую часть дороги построили за первые два месяца вместе.

Для этого сложим длину дороги, построенную за первый и второй месяцы:

$21 + 13 = 34$ (км)

3. Найдем, какую часть дороги построили за третий месяц.

Известно, что за первые два месяца было построено на 13 км дороги больше, чем за третий. Это значит, что за третий месяц построили на 13 км меньше, чем за первые два. Вычтем 13 из общей длины за первые два месяца:

$34 - 13 = 21$ (км)

4. Найдем общую длину дороги.

Чтобы найти общую длину дороги из Берёзовки в Дубки, сложим длину участков, построенных за все три месяца:

$21 + 13 + 21 = 55$ (км)

Ответ: 55 км.

64. Фермеры Денис, Дмитрий и Николай сдали на завод урожай сахарной свёклы. Денис сдал 56 ц свёклы, что на 18 ц больше, чем сдал Дмитрий. Вместе они сдали на 28 ц свёклы больше, чем сдал Николай. Сколько всего центнеров сахарной свёклы они сдали?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов, чтобы найти урожай каждого фермера, а затем их общий урожай.

1. Сначала найдём, сколько центнеров свёклы сдал Дмитрий. Известно, что Денис сдал 56 ц, и это на 18 ц больше, чем урожай Дмитрия. Следовательно, чтобы найти урожай Дмитрия, нужно из урожая Дениса вычесть 18 ц.
$56 - 18 = 38$ (ц) — столько свёклы сдал Дмитрий.

2. Далее найдём, сколько свёклы сдал Николай. Для этого сначала нужно узнать, сколько сдали Денис и Дмитрий вместе.
$56 + 38 = 94$ (ц) — столько свёклы сдали Денис и Дмитрий вместе.
По условию, их совместный урожай на 28 ц больше, чем урожай Николая. Значит, Николай сдал на 28 ц меньше.
$94 - 28 = 66$ (ц) — столько свёклы сдал Николай.

3. Теперь, зная урожай каждого фермера, мы можем найти, сколько всего центнеров сахарной свёклы они сдали. Для этого сложим их результаты.
$56 (\text{Денис}) + 38 (\text{Дмитрий}) + 66 (\text{Николай}) = 160$ (ц).

Ответ: всего фермеры сдали 160 центнеров сахарной свёклы.

65. В школу завезли апельсины, мандарины и лимоны. Апельсинов – 94 кг, что в 7 раз меньше, чем мандаринов, и на 16 кг больше, чем лимонов. Сколько всего килограммов цитрусовых завезли в школу?

Для того чтобы найти общее количество килограммов цитрусовых, необходимо сначала вычислить массу мандаринов и лимонов, а затем сложить массу всех трех видов фруктов.

Вычислим массу мандаринов. Из условия известно, что апельсинов (94 кг) завезли в 7 раз меньше, чем мандаринов. Следовательно, масса мандаринов в 7 раз больше массы апельсинов:
$94 \text{ кг} \times 7 = 658 \text{ кг}$.

Вычислим массу лимонов. Также известно, что апельсинов на 16 кг больше, чем лимонов. Это означает, что масса лимонов на 16 кг меньше массы апельсинов:
$94 \text{ кг} - 16 \text{ кг} = 78 \text{ кг}$.

Найдем общую массу всех цитрусовых. Теперь сложим массу апельсинов, мандаринов и лимонов:
$94 \text{ кг} + 658 \text{ кг} + 78 \text{ кг} = 830 \text{ кг}$.

Ответ: 830 кг.

66. Школе для кабинета музыки выделили 100 000 р. на покупку компьютера, музыкального центра и мультимедиапроектора. Музыкальный центр стоит 7200 р., что в 4 раза меньше стоимости компьютера и на 56 400 р. меньше стоимости мультимедиапроектора. Хватит ли выделенных денег на покупку?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно рассчитать стоимость каждого товара, найти их общую стоимость и сравнить ее с выделенным бюджетом.

1. Найдем стоимость компьютера
В условии сказано, что музыкальный центр стоит 7200 р., и это в 4 раза меньше стоимости компьютера. Следовательно, компьютер стоит в 4 раза дороже. Чтобы найти его стоимость, нужно цену музыкального центра умножить на 4.
$7200 \text{ р.} \times 4 = 28800 \text{ р.}$
Ответ: стоимость компьютера – 28800 р.

2. Найдем стоимость мультимедиапроектора
Также известно, что музыкальный центр стоит на 56400 р. меньше, чем мультимедиапроектор. Это означает, что проектор дороже музыкального центра на указанную сумму. Чтобы найти стоимость проектора, нужно к цене музыкального центра прибавить 56400 р.
$7200 \text{ р.} + 56400 \text{ р.} = 63600 \text{ р.}$
Ответ: стоимость мультимедиапроектора – 63600 р.

3. Найдем общую стоимость покупки
Теперь рассчитаем общую сумму, необходимую для покупки всех трех предметов, сложив их стоимости.
$7200 \text{ р. (музыкальный центр)} + 28800 \text{ р. (компьютер)} + 63600 \text{ р. (проектор)} = 99600 \text{ р.}$
Ответ: общая стоимость покупки составляет 99600 р.

4. Сравним общую стоимость с выделенной суммой
Школе было выделено 100000 р. Сравним эту сумму с общей стоимостью покупки.
$99600 \text{ р.} < 100000 \text{ р.}$
Поскольку общая стоимость покупки меньше, чем выделенная сумма, денег на покупку хватит.
Ответ: да, выделенных денег хватит.