Страница 12 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

67. Илья Муромец в 6:00 выехал из Мурома в Киев со скоростью 9 км / ч. В 8:00 из Мурома в Киев выехал Алёша Попович и догнал Илью Муромца в 14:00. С какой скоростью ехал Алёша Попович?

Для того чтобы найти скорость Алёши Поповича, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдём, сколько времени был в пути Илья Муромец до момента встречи. Он выехал в 6:00, а Алёша Попович догнал его в 14:00.

Время в пути Ильи Муромца: $14:00 - 6:00 = 8$ часов.

2. Теперь рассчитаем расстояние, которое проехал Илья Муромец за это время. Его скорость, согласно условию, составляет 9 км/ч.

Расстояние $S = V \times t$.

$S = 9 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 72 \text{ км}$.

3. В момент встречи оба богатыря находились в одной точке, значит, Алёша Попович проехал то же самое расстояние от Мурома, что и Илья Муромец, то есть 72 км.

4. Определим, сколько времени потребовалось Алёше Поповичу, чтобы проехать это расстояние. Он выехал в 8:00 и догнал Илью в 14:00.

Время в пути Алёши Поповича: $14:00 - 8:00 = 6$ часов.

5. Наконец, зная расстояние (72 км) и время (6 часов), мы можем вычислить скорость Алёши Поповича.

Скорость $V = S / t$.

$V_{Алёши} = 72 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: 12 км/ч.

68. В 8 ч 57 мин черепаха Катрина отправилась в путешествие из своего пруда в соседний. В 9 ч 5 мин из этого же пруда в том же направлении отправилась черепаха Алиция и догнала Катрину в 9 ч 29 мин. Найдите, с какой скоростью двигалась Катрина, если известно, что Алиция двигалась со скоростью 8 м/мин.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: определить время в пути для каждой черепахи, найти расстояние, которое они проехали до встречи, и затем вычислить скорость Катрины.

1. Найдём время, которое каждая черепаха была в пути до момента встречи.

Черепаха Катрина отправилась в 8 ч 57 мин, а встреча произошла в 9 ч 29 мин. Её время в пути ($T_К$) составляет:
$T_К = (9 \text{ ч } 29 \text{ мин}) - (8 \text{ ч } 57 \text{ мин}) = 32$ минуты.

Черепаха Алиция отправилась в 9 ч 5 мин, а встреча произошла в 9 ч 29 мин. Её время в пути ($T_А$) составляет:
$T_А = (9 \text{ ч } 29 \text{ мин}) - (9 \text{ ч } 5 \text{ мин}) = 24$ минуты.

2. Вычислим расстояние, которое проехала Алиция до места встречи.

Скорость Алиции ($V_А$) известна и равна 8 м/мин. Чтобы найти расстояние ($S_А$), нужно умножить её скорость на время в пути:
$S_А = V_А \times T_А = 8 \text{ м/мин} \times 24 \text{ мин} = 192$ метра.

3. Найдём скорость движения Катрины.

Так как обе черепахи стартовали из одного и того же места и двигались в одном направлении, к моменту встречи они проехали одинаковое расстояние. Следовательно, расстояние, которое прошла Катрина ($S_К$), также равно 192 метрам.
Зная расстояние и время Катрины в пути, мы можем найти её скорость ($V_К$), разделив расстояние на время:
$V_К = S_К / T_К = 192 \text{ м} / 32 \text{ мин} = 6$ м/мин.

Ответ: Катрина двигалась со скоростью 6 м/мин.

69. Белки Рыженькая и Серенькая собирали орехи. Рыженькая собрала 6 одинаковых мешочков орехов, а Серенькая – 7 таких же мешочков. Вместе они собрали 52 кг орехов. Сколько килограммов орехов собрала Рыженькая и сколько – Серенькая?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько действий.

1. Сначала найдем общее количество мешочков, которые собрали обе белки. Рыженькая собрала 6 мешочков, а Серенькая — 7.
$6 + 7 = 13$ (мешочков) — всего собрали обе белки.

2. Теперь, зная, что 13 мешочков весят 52 кг, мы можем найти вес одного мешочка. Для этого общий вес разделим на общее количество мешочков.
$52 \text{ кг} / 13 \text{ мешочков} = 4$ (кг) — весит один мешочек орехов.

3. Теперь мы можем вычислить, сколько килограммов орехов собрала каждая белка.
Рыженькая собрала 6 мешочков, поэтому умножаем количество её мешочков на вес одного мешочка:
$6 \times 4 = 24$ (кг).

4. Серенькая собрала 7 мешочков. Вычислим вес её орехов:
$7 \times 4 = 28$ (кг).

Для проверки можно сложить вес орехов, собранных обеими белками: $24 + 28 = 52$ кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: Рыженькая собрала 24 кг орехов, а Серенькая — 28 кг орехов.

70. Двигаясь по пустыне в течение трёх дней, караван прошёл 63 км.В первый день караван двигался 6 ч, во второй – 8 ч, а в третий – 7 ч.Сколько километров прошёл караван за третий день, если известно,что он двигался все дни с постоянной скоростью?

Для того чтобы узнать, какое расстояние караван прошел за третий день, необходимо сначала найти его скорость. Так как скорость была постоянной все три дня, мы можем вычислить её, разделив общее расстояние на общее время в пути.

1. Найдём общее время движения каравана.

Сложим время движения за каждый из трёх дней:

$t_{общ} = 6 \text{ ч} + 8 \text{ ч} + 7 \text{ ч} = 21 \text{ ч}$

Общее время каравана в пути составляет 21 час.

2. Вычислим постоянную скорость каравана.

Разделим общее расстояние (63 км) на общее время в пути (21 ч):

$v = S_{общ} / t_{общ} = 63 \text{ км} / 21 \text{ ч} = 3 \text{ км/ч}$

Скорость каравана была 3 км/ч.

3. Найдём расстояние, пройденное караваном за третий день.

Умножим скорость каравана на время его движения в третий день (7 ч):

$S_3 = v \times t_3 = 3 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 21 \text{ км}$

Ответ: за третий день караван прошёл 21 км.

71. Двое техников за 5 ч работы напечатали на 3D-принтерах 340 одинаковых деталей. Первый техник обслуживает 4 принтера, каждый из которых печатает 8 деталей в час. Второй техник обслуживает 3 принтера, которые печатают одинаковое количество деталей в час. Сколько деталей за один час печатает каждый принтер, который обслуживает второй техник?

1. Сначала определим производительность первого техника. Он обслуживает 4 принтера, каждый из которых печатает 8 деталей в час. Найдем их общую производительность в час:

$4 \times 8 = 32$ (детали в час)

2. Теперь рассчитаем, сколько деталей напечатали принтеры первого техника за 5 часов работы:

$32 \times 5 = 160$ (деталей)

3. Всего оба техника напечатали 340 деталей. Вычтем из этого количества детали, напечатанные первым техником, чтобы узнать, сколько напечатал второй:

$340 - 160 = 180$ (деталей)

4. Второй техник напечатал 180 деталей за 5 часов. Найдем общую производительность его принтеров в час:

$180 \div 5 = 36$ (деталей в час)

5. Второй техник обслуживает 3 принтера, которые печатают с одинаковой скоростью. Чтобы найти производительность одного такого принтера, разделим их общую производительность на количество принтеров:

$36 \div 3 = 12$ (деталей в час)

Ответ: 12 деталей.

72. Два экскаватора, работая вместе 6 ч, вырыли котлован объёмом $ 2250 \text{ м}^3 $. Первый экскаватор вынимал в час $ 200 \text{ м}^3 $ земли. Сколько кубических метров земли вынимал в час второй экскаватор?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала найдем общую производительность двух экскаваторов, то есть сколько кубических метров земли они вынимали вместе за один час. Для этого разделим общий объем вырытого котлована на время работы:

$2250 \text{ м}^3 \div 6 \text{ ч} = 375 \text{ м}^3/\text{ч}$

Это совместная производительность двух экскаваторов.

2. Теперь, зная общую производительность ($375 \text{ м}^3/\text{ч}$) и производительность первого экскаватора ($200 \text{ м}^3/\text{ч}$), можно найти производительность второго. Для этого из общей производительности вычтем производительность первого экскаватора:

$375 \text{ м}^3/\text{ч} - 200 \text{ м}^3/\text{ч} = 175 \text{ м}^3/\text{ч}$

Ответ: второй экскаватор вынимал 175 кубических метров земли в час.

73. Упростите выражение:

1) $(a + 435) - 109;$

2) $164 - (137 + b);$

1) $(a + 435) - 109$

Чтобы упростить это выражение, мы можем воспользоваться свойством вычитания числа из суммы. Можно сначала выполнить действие в скобках, а затем вычитание, но для упрощения удобнее изменить порядок действий. Мы можем вычесть 109 из 435, а затем прибавить результат к a.

$(a + 435) - 109 = a + (435 - 109)$

Теперь вычислим разность в скобках:

$435 - 109 = 326$

Таким образом, исходное выражение равно:

$a + 326$

Ответ: $a + 326$

2) $164 - (137 + b)$

Для упрощения этого выражения нам нужно раскрыть скобки. Согласно правилу вычитания суммы из числа, если перед скобками стоит знак "минус", то при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$164 - (137 + b) = 164 - 137 - b$

Теперь выполним вычитание чисел:

$164 - 137 = 27$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$27 - b$

Ответ: $27 - b$

74. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(954 + 518) - 654$

2) $1236 - (726 + 297)$

1) $(954 + 518) - 654$

Для нахождения значения выражения удобным способом, применим сочетательное свойство сложения и вычитания. Мы можем изменить порядок действий, чтобы упростить вычисления. Сгруппируем числа 954 и 654, так как их разность легко найти.

$(954 + 518) - 654 = (954 - 654) + 518$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$954 - 654 = 300$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся число:

$300 + 518 = 818$

Ответ: 818

2) $1236 - (726 + 297)$

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся правилом вычитания суммы из числа. Для этого нужно из числа вычесть каждое слагаемое по очереди. Раскроем скобки, изменив знак перед вторым слагаемым в скобках на минус.

$1236 - (726 + 297) = 1236 - 726 - 297$

Теперь выполним вычисления по порядку слева направо. Сначала выполним первое вычитание:

$1236 - 726 = 510$

Затем из полученного результата вычтем второе число:

$510 - 297 = 213$

Ответ: 213

75. В коробке лежат красные, белые, синие и зелёные шары. Красных шаров на 6 меньше, чем белых, но на 3 больше, чем синих. Зелёных шаров на 4 больше, чем красных. Шаров какого цвета наименьшее количество? наибольшее количество?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество шаров каждого цвета переменными, выразив их все через количество красных шаров. Пусть $К$ — это количество красных шаров.

Исходя из условий задачи:

1. «Красных шаров на 6 меньше, чем белых». Это значит, что белых шаров на 6 больше, чем красных. Количество белых шаров ($Б$) равно:$Б = К + 6$

2. Красных шаров «на 3 больше, чем синих». Это значит, что синих шаров на 3 меньше, чем красных. Количество синих шаров ($С$) равно:$С = К - 3$

3. «Зелёных шаров на 4 больше, чем красных». Количество зелёных шаров ($З$) равно:$З = К + 4$

Теперь у нас есть количество шаров каждого цвета, выраженное через одну переменную $К$:

• Красные: $К$
• Белые: $К + 6$
• Синие: $К - 3$
• Зелёные: $К + 4$

Чтобы определить, шаров какого цвета меньше или больше всего, сравним эти выражения. Для этого достаточно сравнить числа, которые прибавляются к $К$ или вычитаются из него:

$ -3 < 0 < 4 < 6$

Это означает, что количество шаров разных цветов находится в следующем соотношении:

$К - 3 < К < К + 4 < К + 6$

То есть, $С < К < З < Б$.

Таким образом, меньше всего синих шаров, затем идут красные, потом зелёные, и больше всего белых шаров.

Шаров какого цвета наименьшее количество?

Согласно полученному неравенству, наименьшее значение ($К - 3$) соответствует количеству синих шаров.
Ответ: наименьшее количество у синих шаров.

Шаров какого цвета наибольшее количество?

Наибольшее значение ($К + 6$) соответствует количеству белых шаров.
Ответ: наибольшее количество у белых шаров.

76. В саду растут вишни, груши, сливы и яблони. Слив растёт больше, чем груш, но меньше, чем вишен, а яблонь – больше, чем вишен. Известно, что деревьев одного из этих видов растёт 17 штук, другого – 22, третьего – 23, четвёртого – 20. Определите, сколько в саду деревьев каждого вида.

Для решения задачи сначала установим соотношение между количеством деревьев каждого вида. Введем следующие обозначения: Г — количество груш, С — количество слив, В — количество вишен, Я — количество яблонь.

Из условий задачи составим неравенства:

1. Слив растёт больше, чем груш: $С > Г$
2. Слив растёт меньше, чем вишен: $С < В$
3. Яблонь растёт больше, чем вишен: $Я > В$

Объединив эти неравенства, мы можем выстроить все виды деревьев в порядке возрастания их количества. Из первых двух неравенств следует, что $Г < С < В$. Добавив третье неравенство, получаем итоговую последовательность: $Г < С < В < Я$.

Таким образом, меньше всего в саду груш, затем по возрастанию количества идут сливы, вишни, и больше всего — яблонь.

Теперь упорядочим по возрастанию числовые значения, данные в задаче: 17, 20, 22, 23. Получаем ряд: $17 < 20 < 22 < 23$.

Сопоставив последовательность видов деревьев с числовой последовательностью, определим точное количество деревьев каждого вида.

Количество груш
Согласно установленной последовательности $Г < С < В < Я$, груш в саду меньше всего. Их количество соответствует наименьшему числу из предложенного ряда (17, 20, 22, 23).Ответ: в саду растёт 17 груш.

Количество слив
Сливы (С) в ряду $Г < С < В < Я$ идут следующими после груш. Их количество соответствует второму по возрастанию числу.Ответ: в саду растёт 20 слив.

Количество вишен
Вишни (В) по количеству превосходят груши и сливы, но уступают яблоням. Их число соответствует третьему значению в упорядоченном числовом ряду.Ответ: в саду растёт 22 вишни.

Количество яблонь
Яблонь (Я) в саду больше всего, они замыкают нашу последовательность. Их количество соответствует наибольшему из предложенных чисел.Ответ: в саду растёт 23 яблони.

77. На торговой базе сахарный песок расфасован в килограммовые, трёх- килограммовые и десятикилограммовые пакеты. Стоимость килограммового пакета составляет 45 р., трёхкилограммового – 126 р. и десятикилограммового – 405 р. Требуется приобрести 45 кг сахарного песка. Найдите самый выгодный вариант покупки и вычислите её стоимость.

Для того чтобы найти самый выгодный вариант покупки, сначала определим стоимость одного килограмма сахарного песка в каждом виде упаковки.

Стоимость 1 кг сахара в килограммовом пакете:

$45 \text{ р.} \div 1 \text{ кг} = 45 \text{ р./кг}$

Стоимость 1 кг сахара в трёхкилограммовом пакете:

$126 \text{ р.} \div 3 \text{ кг} = 42 \text{ р./кг}$

Стоимость 1 кг сахара в десятикилограммовом пакете:

$405 \text{ р.} \div 10 \text{ кг} = 40.5 \text{ р./кг}$

Сравнив цены за килограмм, видим, что выгоднее всего покупать сахар в десятикилограммовых пакетах, затем в трёхкилограммовых, и самый дорогой вариант – в килограммовых.

Найдем самый выгодный вариант покупки и вычислим её стоимость:

Чтобы минимизировать стоимость, нужно купить максимально возможное количество самых выгодных, десятикилограммовых, пакетов. Всего требуется приобрести 45 кг сахара.

1. Покупаем максимальное целое число десятикилограммовых пакетов:

$45 \div 10 = 4$ (остаток 5 кг)

Таким образом, покупаем 4 пакета по 10 кг. Их стоимость составит:

$4 \times 405 = 1620 \text{ р.}$

2. Осталось купить 5 кг сахара. Для этого используем следующий по выгодности (трёхкилограммовый) пакет:

$5 \div 3 = 1$ (остаток 2 кг)

Покупаем 1 пакет весом 3 кг. Его стоимость:

$1 \times 126 = 126 \text{ р.}$

3. Оставшиеся 2 кг можно купить только в килограммовых пакетах. Потребуется 2 таких пакета. Их стоимость:

$2 \times 45 = 90 \text{ р.}$

4. Теперь сложим стоимость всех купленных пакетов, чтобы найти общую стоимость покупки:

$1620 \text{ р.} + 126 \text{ р.} + 90 \text{ р.} = 1836 \text{ р.}$

Таким образом, самый выгодный вариант – купить 4 десятикилограммовых пакета, 1 трёхкилограммовый и 2 килограммовых.

Ответ: самый выгодный вариант покупки обойдется в 1836 рублей.