Страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

20. Найдите разность и выполните проверку с помощью сложения:

1) $43 604 - 7289;$

2) $700 402 - 29 634.$

1) Сначала найдем разность чисел, выполнив вычитание:

$43604 - 7289 = 36315$.

Теперь выполним проверку с помощью сложения. Для этого к полученной разности (36 315) прибавим вычитаемое (7 289). Результат должен быть равен уменьшаемому (43 604).

$36315 + 7289 = 43604$.

Так как результат проверки совпадает с уменьшаемым, разность найдена верно.

Ответ: $36315$.

2) Найдем разность чисел, выполнив вычитание:

$700402 - 29634 = 670768$.

Теперь выполним проверку с помощью сложения. Для этого к полученной разности (670 768) прибавим вычитаемое (29 634). Результат должен быть равен уменьшаемому (700 402).

$670768 + 29634 = 700402$.

Так как результат проверки совпадает с уменьшаемым, разность найдена верно.

Ответ: $670768$.

21. На сколько:

1) число 85 341 больше числа 46 527;

2) число 3459 меньше числа 102 145?

1) Чтобы узнать, на сколько число 85 341 больше числа 46 527, необходимо найти их разность. Для этого нужно из большего числа вычесть меньшее.

Выполним вычитание:

$85341 - 46527 = 38814$

Таким образом, число 85 341 больше числа 46 527 на 38 814.

Ответ: на 38 814.

2) Чтобы узнать, на сколько число 3459 меньше числа 102 145, необходимо также найти их разность. Для этого из большего числа вычтем меньшее.

Выполним вычитание:

$102145 - 3459 = 98686$

Таким образом, число 3459 меньше числа 102 145 на 98 686.

Ответ: на 98 686.

22. На сколько:

1) число $5843$ меньше числа $81 927$?

2) число $180 001$ больше числа $87 654$?

1) число 5843 меньше числа 81 927;

Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее. В данном случае, нужно из 81 927 вычесть 5843.

$81927 - 5843 = 76084$

Следовательно, число 5843 меньше числа 81 927 на 76 084.

Ответ: на 76 084.

2) число 180 001 больше числа 87 654?

Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее. В данном случае, нужно из 180 001 вычесть 87 654.

$180001 - 87654 = 92347$

Следовательно, число 180 001 больше числа 87 654 на 92 347.

Ответ: на 92 347.

23. В одном микрорайоне проживает $86380$ человек, что на $9570$ человек больше, чем в другом. Сколько человек проживает в этих двух микрорайонах?

Для того чтобы найти общее количество жителей в двух микрорайонах, необходимо сначала определить, сколько человек проживает во втором микрорайоне, а затем сложить количество жителей обоих микрорайонов.

1. В первом микрорайоне проживает 86 380 человек, и это на 9 570 человек больше, чем во втором. Чтобы найти количество жителей во втором микрорайоне, нужно вычесть эту разницу из числа жителей первого микрорайона.

$86380 - 9570 = 76810$ (человек) - проживает во втором микрорайоне.

2. Теперь, зная количество жителей в каждом из двух микрорайонов, найдем их общую численность, сложив эти два значения.

$86380 + 76810 = 163190$ (человек) - проживает в двух микрорайонах вместе.

Ответ: 163190 человек.

24. Одна школа израсходовала на покупку новых компьютеров 4 120 000 р., а другая — на 305 000 р. меньше. Сколько рублей израсходовали обе школы?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти сумму, которую израсходовала вторая школа, а затем сложить расходы обеих школ.

1. Найдём, сколько рублей израсходовала вторая школа.

Известно, что первая школа израсходовала $4\,120\,000$ рублей, а вторая — на $305\,000$ рублей меньше. Чтобы найти расходы второй школы, нужно из суммы, потраченной первой школой, вычесть $305\,000$ рублей.

$4\,120\,000 - 305\,000 = 3\,815\,000$ (рублей)

Таким образом, вторая школа израсходовала $3\,815\,000$ рублей.

2. Найдём, сколько рублей израсходовали обе школы вместе.

Чтобы найти общую сумму, сложим расходы первой и второй школы:

$4\,120\,000 + 3\,815\,000 = 7\,935\,000$ (рублей)

Ответ: обе школы израсходовали $7\,935\,000$ рублей.

25. Выполните умножение:

1) $418 \cdot 46$;

2) $133 \cdot 908$;

3) $626 \cdot 480$;

4) $8604 \cdot 248$.

1) $418 \cdot 46$

Чтобы умножить 418 на 46, выполним умножение в столбик. Сначала умножим 418 на 6 (единицы числа 46), затем умножим 418 на 4 (десятки числа 46) и сложим полученные результаты (неполные произведения).

• $418 \cdot 6 = 2508$ (первое неполное произведение).
• $418 \cdot 4 = 1672$ (второе неполное произведение). Записываем его под первым, сдвинув на один разряд влево, так как мы умножали на десятки.

Складываем неполные произведения:

$\begin{array}{@{}r} \phantom{\times}418 \\ \times\phantom{0}46 \\ \hline \phantom{+}2508 \\ +1672\phantom{0} \\ \hline 19228 \end{array}$

Ответ: 19228.

2) $133 \cdot 908$

Для умножения 133 на 908 в столбик, умножим 133 последовательно на каждую цифру второго множителя (8, 0, 9), начиная справа налево, и затем сложим полученные неполные произведения.

• $133 \cdot 8 = 1064$ (первое неполное произведение).
• $133 \cdot 0 = 0$ (второе неполное произведение).
• $133 \cdot 9 = 1197$ (третье неполное произведение). Записываем его со сдвигом на два разряда влево, так как 9 — это сотни.

Складываем неполные произведения:

$\begin{array}{@{}r} \phantom{\times}133 \\ \times908 \\ \hline 1064 \\ \phantom{+}000\phantom{0} \\ +1197\phantom{00} \\ \hline 120764 \end{array}$

Ответ: 120764.

3) $626 \cdot 480$

Чтобы умножить 626 на 480, можно сначала умножить 626 на 48, а затем к полученному результату приписать справа ноль.

Умножим 626 на 48:

• $626 \cdot 8 = 5008$.
• $626 \cdot 4 = 2504$. Записываем со сдвигом на один разряд влево.

Складываем полученные числа:

$\begin{array}{@{}r} \phantom{\times}626 \\ \times\phantom{0}48 \\ \hline \phantom{+}5008 \\ +2504\phantom{0} \\ \hline 30048 \end{array}$

Теперь припишем к результату 30048 ноль справа: 300480.

Ответ: 300480.

4) $8604 \cdot 248$

Выполним умножение 8604 на 248 в столбик. Для этого умножим 8604 последовательно на 8, 4 и 2, а затем сложим результаты.

• $8604 \cdot 8 = 68832$ (первое неполное произведение).
• $8604 \cdot 4 = 34416$ (второе неполное произведение). Записываем со сдвигом на один разряд влево.
• $8604 \cdot 2 = 17208$ (третье неполное произведение). Записываем со сдвигом на два разряда влево.

Складываем неполные произведения:

$\begin{array}{@{}r} \phantom{\times}8604 \\ \times\phantom{0}248 \\ \hline \phantom{+}68832 \\ \phantom{+}34416\phantom{0} \\ +17208\phantom{00} \\ \hline 2133792 \end{array}$

Ответ: 2133792.

26. Найдите произведение:

1) $304 \cdot 29;$

2) $268 \cdot 405;$

3) $934 \cdot 260;$

4) $7056 \cdot 182.$

1) Чтобы найти произведение $304 \cdot 29$, можно использовать метод умножения в столбик или разложить один из множителей на разрядные слагаемые. Разложим число $29$ как $20 + 9$.
$304 \cdot 29 = 304 \cdot (20 + 9) = 304 \cdot 20 + 304 \cdot 9$.
Вычислим каждое произведение отдельно:
$304 \cdot 9 = 2736$.
$304 \cdot 20 = 6080$.
Теперь сложим полученные результаты:
$2736 + 6080 = 8816$.
Ответ: 8816

2) Для вычисления произведения $268 \cdot 405$ разложим число $405$ на слагаемые $400 + 5$.
$268 \cdot 405 = 268 \cdot (400 + 5) = 268 \cdot 400 + 268 \cdot 5$.
Вычислим каждое произведение:
$268 \cdot 5 = 1340$.
$268 \cdot 400 = 107200$.
Сложим полученные значения:
$1340 + 107200 = 108540$.
При умножении в столбик это соответствует сложению частичных произведений: от умножения на $5$ единиц ($1340$) и от умножения на $4$ сотни ($107200$).
Ответ: 108540

3) Чтобы найти произведение $934 \cdot 260$, удобно представить множитель $260$ в виде $26 \cdot 10$.
$934 \cdot 260 = 934 \cdot (26 \cdot 10) = (934 \cdot 26) \cdot 10$.
Сначала вычислим $934 \cdot 26$. Разложим $26$ на $20 + 6$.
$934 \cdot 26 = 934 \cdot (20 + 6) = 934 \cdot 20 + 934 \cdot 6$.
$934 \cdot 6 = 5604$.
$934 \cdot 20 = 18680$.
$5604 + 18680 = 24284$.
Теперь умножим полученный результат на $10$:
$24284 \cdot 10 = 242840$.
Ответ: 242840

4) Для вычисления произведения $7056 \cdot 182$ используем разложение числа $182$ на разрядные слагаемые: $100 + 80 + 2$.
$7056 \cdot 182 = 7056 \cdot (100 + 80 + 2) = 7056 \cdot 100 + 7056 \cdot 80 + 7056 \cdot 2$.
Вычислим каждое частичное произведение:
$7056 \cdot 2 = 14112$.
$7056 \cdot 80 = 564480$.
$7056 \cdot 100 = 705600$.
Теперь сложим все три результата:
$14112 + 564480 + 705600 = 1284192$.
Ответ: 1284192

27. В кинотеатре 18 рядов, в каждом из которых 24 места. Сколько всего мест в кинотеатре?

Для того чтобы определить общее количество мест в кинотеатре, необходимо умножить количество рядов на количество мест в каждом ряду.
Согласно условию задачи, в кинотеатре имеется 18 рядов, и в каждом из них по 24 места.
Выполним операцию умножения:
$18 \times 24 = 432$
Таким образом, общее количество мест в кинотеатре составляет 432.
Ответ: 432

28. Масса коробки с пряниками составляет 2 кг 800 г. Какова масса четырёх таких же коробок с пряниками?

Для того чтобы найти общую массу четырех коробок с пряниками, необходимо массу одной коробки умножить на количество коробок, то есть на 4.

Масса одной коробки составляет 2 кг 800 г.

Способ 1: Умножение по частям

1. Сначала умножим килограммы на 4:
$2 \text{ кг} \times 4 = 8 \text{ кг}$

2. Затем умножим граммы на 4:
$800 \text{ г} \times 4 = 3200 \text{ г}$

3. Так как 1 кг = 1000 г, преобразуем 3200 г в килограммы и граммы:
$3200 \text{ г} = 3000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 3 \text{ кг} \; 200 \text{ г}$

4. Теперь сложим полученные значения килограммов:
$8 \text{ кг} + 3 \text{ кг} \; 200 \text{ г} = 11 \text{ кг} \; 200 \text{ г}$

Способ 2: Перевод в граммы

1. Сначала переведем массу одной коробки в граммы:
$2 \text{ кг} \; 800 \text{ г} = 2 \times 1000 \text{ г} + 800 \text{ г} = 2800 \text{ г}$

2. Умножим полученное значение на 4:
$2800 \text{ г} \times 4 = 11200 \text{ г}$

3. Переведем результат обратно в килограммы и граммы:
$11200 \text{ г} = 11 \text{ кг} \; 200 \text{ г}$

Ответ: масса четырёх коробок с пряниками составляет 11 кг 200 г.

29. Забор состоит из 7 деревянных секций, длина каждой из которых составляет 4 м 30 см. Какова длина всего забора?

Для того чтобы найти общую длину забора, необходимо умножить длину одной деревянной секции на их общее количество.

Исходные данные:

• Количество секций: 7
• Длина одной секции: 4 м 30 см

Существует два способа решения этой задачи.

Способ 1: Перевод в одну единицу измерения

Сначала переведем длину одной секции в сантиметры для удобства вычислений. В одном метре содержится 100 сантиметров.

$4 \text{ м } 30 \text{ см} = (4 \times 100) \text{ см} + 30 \text{ см} = 400 \text{ см} + 30 \text{ см} = 430 \text{ см}$

Теперь умножим длину одной секции в сантиметрах на количество секций, чтобы найти общую длину забора:

$430 \text{ см} \times 7 = 3010 \text{ см}$

Наконец, преобразуем полученный результат обратно в метры и сантиметры. Для этого разделим общее количество сантиметров на 100:

$3010 \text{ см} = 3000 \text{ см} + 10 \text{ см} = 30 \text{ м } 10 \text{ см}$

Способ 2: Раздельное умножение

Можно умножить метры и сантиметры на количество секций по отдельности, а затем сложить результаты.

1. Умножаем метры: $4 \text{ м} \times 7 = 28 \text{ м}$

2. Умножаем сантиметры: $30 \text{ см} \times 7 = 210 \text{ см}$

3. Складываем полученные значения, предварительно преобразовав 210 см в метры и сантиметры ($210 \text{ см} = 2 \text{ м } 10 \text{ см}$):

$28 \text{ м} + 2 \text{ м } 10 \text{ см} = 30 \text{ м } 10 \text{ см}$

Ответ: 30 м 10 см.

30. (Домашняя практическая работа) В подъезде многоэтажного дома на каждом этаже горит лампочка. За 15 ч одна такая лампочка потребляет 1 кВт · ч электроэнергии. В октябре свет в подъезде горит с 17:00 до 8:00. Узнайте, сколько стоит потребление электроэнергии в вашем регионе, и рассчитайте, сколько в октябре будет стоить освещение подъезда, в котором вы живёте. Если вы живёте не в многоэтажном доме, то выполните расчёты для подъезда двенадцатиэтажного дома.

Для решения этой задачи необходимо выполнить расчеты в несколько этапов. Поскольку информация о вашем регионе и этажности дома неизвестна, расчеты будут выполнены для двенадцатиэтажного дома, как указано в условии, с использованием среднего тарифа на электроэнергию в качестве примера.

1. Определение суточного времени работы освещения

Свет в подъезде горит с 17:00 до 8:00 следующего дня. Рассчитаем общее количество часов работы в сутки.

Время с 17:00 до полуночи (24:00): $24 - 17 = 7$ часов.

Время с полуночи (00:00) до 8:00: 8 часов.

Суммарное время работы в сутки: $7 + 8 = 15$ часов.

Ответ: Освещение в подъезде работает 15 часов в сутки.

2. Расчет суточного и месячного энергопотребления

По условию, за 15 часов одна лампочка потребляет 1 кВт·ч электроэнергии. Так как освещение работает ровно 15 часов в сутки, каждая лампочка потребляет 1 кВт·ч в сутки.

В октябре 31 день. Рассчитаем потребление одной лампочки за весь октябрь:

$1 \text{ кВт·ч/сутки} \times 31 \text{ сутки} = 31 \text{ кВт·ч}$

В подъезде двенадцатиэтажного дома 12 лампочек (по одной на каждом этаже). Найдем общее потребление электроэнергии всеми лампочками за октябрь:

$31 \text{ кВт·ч/лампочка} \times 12 \text{ лампочек} = 372 \text{ кВт·ч}$

Ответ: Общее потребление электроэнергии в подъезде за октябрь составит 372 кВт·ч.

3. Расчет стоимости потребленной электроэнергии

Стоимость электроэнергии (тариф) различается в зависимости от региона. В качестве примера для расчета возьмем условный тариф для населения, который составляет 5,50 рублей за 1 кВт·ч. Вам следует уточнить актуальный тариф для вашего региона и подставить его в расчеты.

Рассчитаем итоговую стоимость освещения подъезда за октябрь:

$\text{Общее потребление} \times \text{Тариф} = \text{Стоимость}$

$372 \text{ кВт·ч} \times 5,50 \text{ руб/кВт·ч} = 2046 \text{ рублей}$

Ответ: При тарифе 5,50 руб/кВт·ч стоимость освещения двенадцатиэтажного подъезда в октябре составит 2046 рублей.

31. Вычислите удобным способом:

1) $5 \cdot 957 \cdot 2$;

2) $4 \cdot 49 \cdot 5$;

3) $8 \cdot 53 \cdot 125$.

1) Для удобства вычислений воспользуемся переместительным свойством умножения. Сгруппируем множители 5 и 2, так как их произведение равно 10, а умножать на 10 очень просто.
$5 \cdot 957 \cdot 2 = (5 \cdot 2) \cdot 957 = 10 \cdot 957 = 9570$
Ответ: 9570

2) В этом примере удобно сначала перемножить 4 и 5, так как их произведение равно 20.
$4 \cdot 49 \cdot 5 = (4 \cdot 5) \cdot 49 = 20 \cdot 49$
Далее, умножить 20 на 49 можно, умножив 2 на 49 и приписав ноль в конце:
$2 \cdot 49 = 98$, значит $20 \cdot 49 = 980$.
$20 \cdot 49 = 980$
Ответ: 980

3) Здесь наиболее удобным будет умножить 8 на 125. Это полезно запомнить: их произведение — круглое число 1000.
$8 \cdot 53 \cdot 125 = (8 \cdot 125) \cdot 53 = 1000 \cdot 53 = 53000$
Ответ: 53000

32. Вычислите удобным способом:

1) $25 \cdot 33 \cdot 4;$

2) $50 \cdot 818 \cdot 2;$

3) $200 \cdot 19 \cdot 5.$

1) Чтобы вычислить произведение удобным способом, воспользуемся переместительным свойством умножения (от перемены мест множителей произведение не меняется) и сгруппируем множители $25$ и $4$. Их произведение дает "круглое" число $100$, на которое легко умножать.
$25 \cdot 33 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 33 = 100 \cdot 33 = 3300$.
Ответ: 3300

2) Аналогично первому примеру, сгруппируем множители $50$ и $2$. Их произведение также равно $100$, что упрощает дальнейшие вычисления.
$50 \cdot 818 \cdot 2 = (50 \cdot 2) \cdot 818 = 100 \cdot 818 = 81800$.
Ответ: 81800

3) В этом примере удобнее всего сначала умножить $200$ на $5$. Это даст в результате $1000$.
$200 \cdot 19 \cdot 5 = (200 \cdot 5) \cdot 19 = 1000 \cdot 19 = 19000$.
Ответ: 19000

33. Упростите выражение:

1) $9a \cdot 8;$

2) $14 \cdot x \cdot 6;$

3) $3a \cdot 7b \cdot 4c.$

Чтобы упростить выражение $9a \cdot 8$, мы используем переместительное свойство умножения, которое позволяет нам менять множители местами, а затем перемножаем числовые коэффициенты:
$9a \cdot 8 = 9 \cdot a \cdot 8 = (9 \cdot 8) \cdot a = 72a$.
Ответ: $72a$

Для упрощения выражения $14 \cdot x \cdot 6$, мы группируем числовые множители и перемножаем их:
$14 \cdot x \cdot 6 = (14 \cdot 6) \cdot x = 84x$.
Ответ: $84x$

Чтобы упростить выражение $3a \cdot 7b \cdot 4c$, мы отдельно группируем и перемножаем числовые коэффициенты и отдельно буквенные множители:
$3a \cdot 7b \cdot 4c = (3 \cdot 7 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c)$.
Сначала вычисляем произведение числовых коэффициентов:
$3 \cdot 7 \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84$.
Затем перемножаем буквенные множители:
$a \cdot b \cdot c = abc$.
Объединяем результаты:
$84abc$.
Ответ: $84abc$

34. Упростите выражение:

1) $5 \cdot 17p;$

2) $10m \cdot 13n;$

3) $2x \cdot 12y \cdot 25z.$

1) Чтобы упростить выражение $5 \cdot 17p$, нужно перемножить числовые коэффициенты. Согласно сочетательному закону умножения, мы можем сгруппировать числа:

$(5 \cdot 17) \cdot p$

Выполним умножение чисел:

$5 \cdot 17 = 85$

Теперь допишем буквенный множитель $p$ к полученному результату:

$85p$

Ответ: $85p$

2) Для упрощения выражения $10m \cdot 13n$ воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Сначала перемножим числовые коэффициенты, а затем буквенные множители.

$10m \cdot 13n = (10 \cdot 13) \cdot (m \cdot n)$

Вычислим произведение чисел:

$10 \cdot 13 = 130$

Вычислим произведение переменных:

$m \cdot n = mn$

Объединим результаты:

$130mn$

Ответ: $130mn$

3) Чтобы упростить выражение $2x \cdot 12y \cdot 25z$, сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные.

$2x \cdot 12y \cdot 25z = (2 \cdot 12 \cdot 25) \cdot (x \cdot y \cdot z)$

Для удобства вычисления произведения чисел, можно поменять множители местами. Удобно умножить 2 на 25:

$(2 \cdot 25) \cdot 12 = 50 \cdot 12 = 600$

Теперь перемножим переменные:

$x \cdot y \cdot z = xyz$

Соединим числовой результат с буквенным:

$600xyz$

Ответ: $600xyz$

35. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $398 \cdot 36 + 36 \cdot 602$;

2) $986 \cdot 83 - 86 \cdot 83$.

1) $398 \cdot 36 + 36 \cdot 602$

Для вычисления значения этого выражения наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения. Мы видим, что в обоих произведениях есть общий множитель — 36. Вынесем его за скобки, используя формулу $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

$398 \cdot 36 + 36 \cdot 602 = (398 + 602) \cdot 36$

Сначала выполним сложение в скобках:

$398 + 602 = 1000$

Теперь умножим полученную сумму на общий множитель:

$1000 \cdot 36 = 36000$

Ответ: 36000

2) $986 \cdot 83 - 86 \cdot 83$

В этом выражении также можно применить распределительное свойство умножения, но уже относительно вычитания. Общим множителем является число 83. Вынесем его за скобки, используя формулу $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

$986 \cdot 83 - 86 \cdot 83 = (986 - 86) \cdot 83$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$986 - 86 = 900$

Теперь умножим полученную разность на общий множитель:

$900 \cdot 83 = 74700$

Ответ: 74700