Страница 7 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Площадь Австралии составляет 7 692 024 $км^2$. Округлите эту величину:

1) до тысяч;

2) до десятков тысяч;

3) до сотен тысяч;

4) до миллионов.

Для округления числа до определенного разряда необходимо посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все последующие заменяют нулями. Если же справа стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу, а все последующие заменяют нулями.

Площадь Австралии составляет $7\,692\,024$ км².

Округляем до разряда тысяч. Справа от разряда тысяч (цифра $2$) стоит цифра $0$ (в разряде сотен). Так как $0 < 5$, то цифру в разряде тысяч оставляем без изменений, а все цифры правее заменяем нулями.

$7\,69{\underline{2}}\,{\bf 0}24 \approx 7\,692\,000$

Ответ: $7\,692\,000$ км².

Округляем до разряда десятков тысяч. Справа от разряда десятков тысяч (цифра $9$) стоит цифра $2$ (в разряде тысяч). Так как $2 < 5$, то цифру в разряде десятков тысяч оставляем без изменений, а все цифры правее заменяем нулями.

$7\,6{\underline{9}}{\bf 2}\,024 \approx 7\,690\,000$

Ответ: $7\,690\,000$ км².

Округляем до разряда сотен тысяч. Справа от разряда сотен тысяч (цифра $6$) стоит цифра $9$ (в разряде десятков тысяч). Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде сотен тысяч увеличиваем на единицу ($6 + 1 = 7$), а все цифры правее заменяем нулями.

$7\,{\underline{6}}{\bf 9}2\,024 \approx 7\,700\,000$

Ответ: $7\,700\,000$ км².

Округляем до разряда миллионов. Справа от разряда миллионов (цифра $7$) стоит цифра $6$ (в разряде сотен тысяч). Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде миллионов увеличиваем на единицу ($7 + 1 = 8$), а все цифры правее заменяем нулями.

${\underline{7}}\,{\bf 6}92\,024 \approx 8\,000\,000$

Ответ: $8\,000\,000$ км².

11. Округлите:

1) до сотен: 531; 664; 4739; 12 283;

2) до наивысшего разряда данного числа: 493; 1257; 20 972; 163 482.

1) до сотен: 531; 664; 4739; 12 283;

Правило округления: чтобы округлить число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями. Если справа стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на единицу, а все последующие цифры заменяем нулями.

• 531: цифра в разряде сотен — 5. Следующая за ней цифра — 3. Так как $3 < 5$, то разряд сотен не меняем. $531 \approx 500$.

• 664: цифра в разряде сотен — 6. Следующая за ней цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, то разряд сотен увеличиваем на 1 ($6+1=7$). $664 \approx 700$.

• 4739: цифра в разряде сотен — 7. Следующая за ней цифра — 3. Так как $3 < 5$, то разряд сотен не меняем. $4739 \approx 4700$.

• 12 283: цифра в разряде сотен — 2. Следующая за ней цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, то разряд сотен увеличиваем на 1 ($2+1=3$). $12\ 283 \approx 12\ 300$.

Ответ: 500; 700; 4700; 12 300.

2) до наивысшего разряда данного числа: 493; 1257; 20 972; 163 482.

Наивысший разряд числа — это разряд самой левой значащей цифры. Округление производится по тому же правилу.

• 493: наивысший разряд — сотни (цифра 4). Следующая цифра — 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен на 1. $493 \approx 500$.

• 1257: наивысший разряд — тысячи (цифра 1). Следующая цифра — 2. Так как $2 < 5$, оставляем разряд тысяч без изменений. $1257 \approx 1000$.

• 20 972: наивысший разряд — десятки тысяч (цифра 2). Следующая цифра — 0. Так как $0 < 5$, оставляем разряд десятков тысяч без изменений. $20\ 972 \approx 20\ 000$.

• 163 482: наивысший разряд — сотни тысяч (цифра 1). Следующая цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен тысяч на 1. $163\ 482 \approx 200\ 000$.

Ответ: 500; 1000; 20 000; 200 000.

12. Найдите сумму чисел:

1) 74 925 и 47 376;

2) 6247 и 32 953;

3) 128 496 и 51 108;

4) 3 215 891 и 18 765 432.

1) Чтобы найти сумму чисел 74 925 и 47 376, выполним сложение в столбик, двигаясь справа налево от разряда единиц к старшим разрядам.
1. Разряд единиц: $5 + 6 = 11$. Записываем 1, переносим 1 в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $2 + 7 + 1$ (перенос) $= 10$. Записываем 0, переносим 1 в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $9 + 3 + 1$ (перенос) $= 13$. Записываем 3, переносим 1 в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: $4 + 7 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2, переносим 1 в разряд десятков тысяч.
5. Разряд десятков тысяч: $7 + 4 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 12.
Таким образом, $74\,925 + 47\,376 = 122\,301$.
Ответ: 122 301

2) Чтобы найти сумму чисел 6247 и 32 953, выполним сложение в столбик.
1. Разряд единиц: $7 + 3 = 10$. Записываем 0, переносим 1 в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $4 + 5 + 1$ (перенос) $= 10$. Записываем 0, переносим 1 в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $2 + 9 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2, переносим 1 в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: $6 + 2 + 1$ (перенос) $= 9$. Записываем 9.
5. Разряд десятков тысяч: у второго числа есть 3, у первого нет. Записываем 3.
Таким образом, $6\,247 + 32\,953 = 39\,200$.
Ответ: 39 200

3) Чтобы найти сумму чисел 128 496 и 51 108, выполним сложение в столбик.
1. Разряд единиц: $6 + 8 = 14$. Записываем 4, переносим 1 в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $9 + 0 + 1$ (перенос) $= 10$. Записываем 0, переносим 1 в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $4 + 1 + 1$ (перенос) $= 6$. Записываем 6.
4. Разряд тысяч: $8 + 1 = 9$. Записываем 9.
5. Разряд десятков тысяч: $2 + 5 = 7$. Записываем 7.
6. Разряд сотен тысяч: у первого числа есть 1, у второго нет. Записываем 1.
Таким образом, $128\,496 + 51\,108 = 179\,604$.
Ответ: 179 604

4) Чтобы найти сумму чисел 3 215 891 и 18 765 432, выполним сложение в столбик.
1. Разряд единиц: $1 + 2 = 3$. Записываем 3.
2. Разряд десятков: $9 + 3 = 12$. Записываем 2, переносим 1 в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $8 + 4 + 1$ (перенос) $= 13$. Записываем 3, переносим 1 в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: $5 + 5 + 1$ (перенос) $= 11$. Записываем 1, переносим 1 в разряд десятков тысяч.
5. Разряд десятков тысяч: $1 + 6 + 1$ (перенос) $= 8$. Записываем 8.
6. Разряд сотен тысяч: $2 + 7 = 9$. Записываем 9.
7. Разряд миллионов: $3 + 8 = 11$. Записываем 1, переносим 1 в разряд десятков миллионов.
8. Разряд десятков миллионов: $0 + 1 + 1$ (перенос) $= 2$. Записываем 2.
Таким образом, $3\,215\,891 + 18\,765\,432 = 21\,981\,323$.
Ответ: 21 981 323

13. Выполните сложение:

1) $328\ 576 + 498\ 445;$

2) $78\ 005\ 794 + 813\ 095\ 408.$

1) $328 576 + 498 445$

Для выполнения сложения запишем числа столбиком, выравнивая их по правому краю (разряд под разрядом), и сложим их поразрядно, начиная с единиц.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & \overset{1}{3} & \overset{1}{2} & \overset{1}{8} & \overset{1}{5} & \overset{1}{7} & 6 \\ + & 4 & 9 & 8 & 4 & 4 & 5 \\ \hline & 8 & 2 & 7 & 0 & 2 & 1 \\ \end{array} $

Шаг 1: Складываем единицы. $6 + 5 = 11$. Записываем 1 в разряд единиц и 1 переносим в разряд десятков.
Шаг 2: Складываем десятки. $7 + 4 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2 в разряд десятков и 1 переносим в разряд сотен.
Шаг 3: Складываем сотни. $5 + 4 + 1$ (перенос) $= 10$. Записываем 0 в разряд сотен и 1 переносим в разряд тысяч.
Шаг 4: Складываем тысячи. $8 + 8 + 1$ (перенос) $= 17$. Записываем 7 в разряд тысяч и 1 переносим в разряд десятков тысяч.
Шаг 5: Складываем десятки тысяч. $2 + 9 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2 в разряд десятков тысяч и 1 переносим в разряд сотен тысяч.
Шаг 6: Складываем сотни тысяч. $3 + 4 + 1$ (перенос) $= 8$. Записываем 8 в разряд сотен тысяч.
Получаем число 827 021.

Ответ: 827 021.

2) $78 005 794 + 813 095 408$

Запишем числа столбиком, выравнивая их по правому краю, и выполним сложение поразрядно.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & & \overset{1}{7} & \overset{1}{8} & \text{ } & \overset{1}{0} & \overset{1}{0} & \overset{1}{5} & \overset{1}{7} & \overset{1}{9} & 4 \\ + & 8 & 1 & 3 & , & 0 & 9 & 5 & , & 4 & 0 & 8 \\ \hline & 8 & 9 & 1 & , & 1 & 0 & 1 & , & 2 & 0 & 2 \\ \end{array} $

Шаг 1 (Единицы): $4 + 8 = 12$. Пишем 2, 1 переносим.
Шаг 2 (Десятки): $9 + 0 + 1 = 10$. Пишем 0, 1 переносим.
Шаг 3 (Сотни): $7 + 4 + 1 = 12$. Пишем 2, 1 переносим.
Шаг 4 (Тысячи): $5 + 5 + 1 = 11$. Пишем 1, 1 переносим.
Шаг 5 (Десятки тысяч): $0 + 9 + 1 = 10$. Пишем 0, 1 переносим.
Шаг 6 (Сотни тысяч): $0 + 0 + 1 = 1$. Пишем 1.
Шаг 7 (Миллионы): $8 + 3 = 11$. Пишем 1, 1 переносим.
Шаг 8 (Десятки миллионов): $7 + 1 + 1 = 9$. Пишем 9.
Шаг 9 (Сотни миллионов): $0 + 8 = 8$. Пишем 8.
Получаем число 891 101 202.

Ответ: 891 101 202.

14. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(123 + 78) + 177$;

2) $15083 + (4917 + 6542)$.

1) $(123 + 78) + 177$

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся сочетательным свойством сложения, которое позволяет нам группировать слагаемые в любом порядке: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

В данном примере удобнее сначала сложить числа 123 и 177, так как их сумма является круглым числом (сумма последних цифр $3 + 7 = 10$).

$(123 + 78) + 177 = (123 + 177) + 78$

1. Сложим сгруппированные числа:

$123 + 177 = 300$

2. К полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$300 + 78 = 378$

Ответ: 378

2) $15 083 + (4917 + 6542)$

Аналогично первому примеру, применим сочетательное свойство сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглое число.

Удобно сложить 15 083 и 4917, так как сумма их последних цифр ($3 + 7 = 10$) и последующих разрядов дает круглое число.

$15 083 + (4917 + 6542) = (15 083 + 4917) + 6542$

1. Выполним сложение в скобках:

$15 083 + 4917 = 20 000$

2. Теперь к полученной сумме прибавим третье слагаемое:

$20 000 + 6542 = 26 542$

Ответ: 26542

15. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(48 + 93) + 52;$

2) $374 + 491 + 126 + 509.$

1) Чтобы найти значение выражения $(48 + 93) + 52$ удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством сложения. Оно позволяет менять порядок действий, если в выражении есть только сложение. Также применим переместительное свойство, чтобы поменять слагаемые местами.

Сгруппируем слагаемые 48 и 52, так как их сумма является круглым числом, что упрощает вычисления:

$(48 + 93) + 52 = (48 + 52) + 93$

Сначала выполним сложение в скобках:

$48 + 52 = 100$

Затем к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$100 + 93 = 193$

Ответ: 193

2) В выражении $374 + 491 + 126 + 509$ также используем переместительное и сочетательное свойства сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами. Удобно объединить 374 и 126, а также 491 и 509, так как суммы их последних цифр равны 10.

$374 + 491 + 126 + 509 = (374 + 126) + (491 + 509)$

Вычислим сумму в первой паре скобок:

$374 + 126 = 500$

Вычислим сумму во второй паре скобок:

$491 + 509 = 1000$

Теперь сложим полученные результаты:

$500 + 1000 = 1500$

Ответ: 1500

16. На двух клумбах растёт разное количество роз. На первой клумбе растёт 45 роз, а количество роз на второй клумбе можно записать теми же цифрами, что и количество роз на первой. Сколько роз растёт на двух клумбах вместе?

По условию задачи на первой клумбе растёт 45 роз. Цифры, из которых состоит это число, — это 4 и 5.

На второй клумбе растёт разное количество роз, но оно записывается теми же цифрами. Если поменять местами цифры 4 и 5, мы получим число 54. Это число отличается от 45, что соответствует условию задачи.

Следовательно, на второй клумбе растёт 54 розы.

Чтобы найти, сколько всего роз растёт на двух клумбах, нужно сложить количество роз на первой и второй клумбах:

$45 + 54 = 99$ (роз)

Ответ: 99 роз.

17. Максим и Антон собирают различные кулинарные рецепты. У Антона есть 58 рецептов, что на 23 рецепта меньше, чем у Максима. Сколько всего рецептов у мальчиков?

Для того чтобы найти общее количество рецептов у мальчиков, сначала нужно определить, сколько рецептов у Максима.

1. Находим количество рецептов у Максима.
В условии сказано, что у Антона 58 рецептов, что на 23 рецепта меньше, чем у Максима. Это означает, что у Максима на 23 рецепта больше, чем у Антона. Чтобы найти количество рецептов у Максима, нужно к количеству рецептов Антона прибавить 23.
$58 + 23 = 81$ (рецепт) – столько рецептов у Максима.

2. Находим общее количество рецептов.
Теперь, когда мы знаем количество рецептов у каждого мальчика, мы можем найти их общее количество, сложив рецепты Антона и Максима.
$58 + 81 = 139$ (рецептов) – всего у мальчиков.

Ответ: 139 рецептов.

18. Участники соревнований по стрельбе выполняли две серии выстрелов. Победителя определяли по сумме очков, набранных в этих двух сериях. В таблице приведены результаты шести лучших стрелков. Определите, кто занял первое, второе и третье места.

Для того чтобы определить, кто занял первое, второе и третье места, необходимо для каждого участника вычислить общую сумму очков, набранных в двух сериях выстрелов. Победители определяются по наибольшей сумме очков.

Выполним расчеты для каждого участника:

Александров Яков: $92 + 79 = 171$ очко
Вагиев Руслан: $83 + 91 = 174$ очка
Дмитриев Сергей: $94 + 87 = 181$ очко
Иванов Максим: $80 + 98 = 178$ очков
Николаев Олег: $96 + 86 = 182$ очка
Петров Семён: $89 + 87 = 176$ очков

Теперь сравним полученные результаты и расположим участников в порядке убывания набранных очков:

1. Николаев Олег — 182 очка
2. Дмитриев Сергей — 181 очко
3. Иванов Максим — 178 очков
4. Петров Семён — 176 очков
5. Вагиев Руслан — 174 очка
6. Александров Яков — 171 очко

Таким образом, первые три места занимают участники с наибольшим количеством очков.

Ответ: первое место — Николаев Олег, второе место — Дмитриев Сергей, третье место — Иванов Максим.

19. Найдите разность и выполните проверку с помощью сложения:

1) $68628 - 54382$;

2) $5000340 - 354786$.

1)

Сначала найдем разность чисел $68\,628$ и $54\,382$. Для этого выполним вычитание в столбик:

 _68628 54382 ------ 14246 

Таким образом, разность равна $14\,246$.

Теперь выполним проверку с помощью сложения. Для этого к полученной разности ($14\,246$) прибавим вычитаемое ($54\,382$). В результате мы должны получить уменьшаемое ($68\,628$).

$14\,246 + 54\,382 = 68\,628$

Проверим сложением в столбик:

 +14246 54382 ------ 68628 

Результат проверки совпал с уменьшаемым, значит, вычитание выполнено верно.

Ответ: $14\,246$.

2)

Найдем разность чисел $5\,000\,340$ и $354\,786$. Выполним вычитание столбиком. В этом случае потребуется заем через несколько разрядов.

 _5000340 354786 -------- 4645554 

Таким образом, разность равна $4\,645\,554$.

Выполним проверку сложением. Сложим полученную разность ($4\,645\,554$) и вычитаемое ($354\,786$).

$4\,645\,554 + 354\,786 = 5\,000\,340$

Проверим сложением в столбик:

 +4645554 354786 -------- 5000340 

Результат проверки совпал с уменьшаемым, значит, вычисления верны.

Ответ: $4\,645\,554$.