Страница 9 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

36. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $831 \cdot 18 + 18 \cdot 169$;

2) $58 \cdot 1024 - 58 \cdot 824$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $831 \cdot 18 + 18 \cdot 169$ наиболее удобным способом, воспользуемся распределительным свойством умножения. Общий множитель, число 18, можно вынести за скобки. Это позволяет сначала сложить числа, а затем выполнить умножение.

$831 \cdot 18 + 18 \cdot 169 = 18 \cdot (831 + 169)$

Сначала выполним действие в скобках:

$831 + 169 = 1000$

Теперь умножим полученную сумму на 18:

$18 \cdot 1000 = 18000$

Ответ: 18000

2) Аналогично, для выражения $58 \cdot 1024 - 58 \cdot 824$ применим распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель 58 за скобки. Это упростит вычисления, так как сначала мы выполним вычитание, а затем умножение.

$58 \cdot 1024 - 58 \cdot 824 = 58 \cdot (1024 - 824)$

Выполним вычитание в скобках:

$1024 - 824 = 200$

Теперь умножим 58 на полученную разность:

$58 \cdot 200 = 11600$

Ответ: 11600

37. Раскройте скобки:

1) $3(a + 7);$

2) $9(4 - b);$

3) $15(m + n);$

4) $(p - 8) \cdot 12;$

5) $8(5a + 3b);$

6) $(13m - 14n + 17p) \cdot 5.$

1) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $3(a + 7)$, необходимо использовать распределительный закон умножения. Мы умножаем множитель $3$ на каждое слагаемое внутри скобок: на $a$ и на $7$.
$3(a + 7) = 3 \cdot a + 3 \cdot 7 = 3a + 21$.
Ответ: $3a + 21$.

2) В выражении $9(4 - b)$ мы также применяем распределительный закон. Умножаем $9$ на уменьшаемое $4$ и на вычитаемое $b$, сохраняя знак минус между произведениями.
$9(4 - b) = 9 \cdot 4 - 9 \cdot b = 36 - 9b$.
Ответ: $36 - 9b$.

3) Раскроем скобки в выражении $15(m + n)$, умножив множитель $15$ на каждое слагаемое в скобках, $m$ и $n$.
$15(m + n) = 15 \cdot m + 15 \cdot n = 15m + 15n$.
Ответ: $15m + 15n$.

4) В выражении $(p - 8) \cdot 12$ множитель $12$ стоит после скобок, но правило раскрытия скобок остается тем же. Умножаем каждый член в скобках на $12$.
$(p - 8) \cdot 12 = p \cdot 12 - 8 \cdot 12 = 12p - 96$.
Ответ: $12p - 96$.

5) Чтобы раскрыть скобки в выражении $8(5a + 3b)$, умножаем $8$ на каждый член в скобках: на $5a$ и на $3b$.
$8(5a + 3b) = 8 \cdot 5a + 8 \cdot 3b = 40a + 24b$.
Ответ: $40a + 24b$.

6) В выражении $(13m - 14n + 17p) \cdot 5$ мы умножаем каждый из трех членов в скобках на множитель $5$.
$(13m - 14n + 17p) \cdot 5 = 13m \cdot 5 - 14n \cdot 5 + 17p \cdot 5 = 65m - 70n + 85p$.
Ответ: $65m - 70n + 85p$.

38. Раскройте скобки:

1) $6(b + 9)$;

2) $(c - 2d) \cdot 14$;

3) $10(4a + 5b - 9c)$.

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $6(b + 9)$, необходимо использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Это означает, что нужно умножить число перед скобками на каждый член внутри скобок.
$6(b + 9) = 6 \cdot b + 6 \cdot 9$
Теперь выполним умножение:
$6 \cdot b = 6b$
$6 \cdot 9 = 54$
Сложив результаты, получаем:
$6b + 54$
Ответ: $6b + 54$

2) В выражении $(c - 2d) \cdot 14$ мы применяем то же распределительное свойство умножения, но уже относительно вычитания. Умножим каждый член в скобках на 14.
$(c - 2d) \cdot 14 = c \cdot 14 - 2d \cdot 14$
Выполним умножение для каждого члена:
$c \cdot 14 = 14c$
$2d \cdot 14 = 28d$
Соединив результаты, получаем выражение:
$14c - 28d$
Ответ: $14c - 28d$

3) Для выражения $10(4a + 5b - 9c)$ снова используем распределительное свойство. Умножим 10 на каждый из трех членов, находящихся в скобках.
$10(4a + 5b - 9c) = 10 \cdot 4a + 10 \cdot 5b - 10 \cdot 9c$
Выполним последовательно каждое умножение:
$10 \cdot 4a = 40a$
$10 \cdot 5b = 50b$
$10 \cdot 9c = 90c$
Запишем итоговое выражение, сохраняя знаки:
$40a + 50b - 90c$
Ответ: $40a + 50b - 90c$

39. Упростите выражение:

1) $9a + 7a$;

2) $13y - 2y$;

3) $17k + k$;

4) $23x + 19x + 27x$;

5) $35x - x + 6$;

6) $16p + 4p - 9$.

1) Слагаемые $9a$ и $7a$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Чтобы упростить выражение, нужно сложить их коэффициенты (числовые множители) и результат умножить на общую буквенную часть.
$9a + 7a = (9 + 7)a = 16a$.
Ответ: $16a$

2) Слагаемые $13y$ и $-2y$ являются подобными, так как у них общая буквенная часть $y$. Упростим выражение, выполнив вычитание их коэффициентов.
$13y - 2y = (13 - 2)y = 11y$.
Ответ: $11y$

3) Слагаемые $17k$ и $k$ являются подобными. Коэффициент при слагаемом $k$ подразумевается равным 1. Для упрощения сложим коэффициенты.
$17k + k = 17k + 1k = (17 + 1)k = 18k$.
Ответ: $18k$

4) В выражении $23x + 19x + 27x$ все три слагаемых являются подобными, так как имеют общую буквенную часть $x$. Сложим их коэффициенты.
$23x + 19x + 27x = (23 + 19 + 27)x = (42 + 27)x = 69x$.
Ответ: $69x$

5) В выражении $35x - x + 6$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобными являются $35x$ и $-x$. Слагаемое $6$ является свободным членом (константой) и остается без изменений. Коэффициент при $-x$ равен $-1$.
$35x - x + 6 = (35 - 1)x + 6 = 34x + 6$.
Дальнейшее упрощение невозможно, так как $34x$ и $6$ не являются подобными слагаемыми.
Ответ: $34x + 6$

6) В выражении $16p + 4p - 9$ приведем подобные слагаемые $16p$ и $4p$. Слагаемое $-9$ является свободным членом и при упрощении не изменяется.
$16p + 4p - 9 = (16 + 4)p - 9 = 20p - 9$.
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $20p - 9$

40. Упростите выражение:

1) $32b - 14b$;

2) $27a + a - 18a$;

3) $21c - 7c - 8$.

1) Чтобы упростить выражение $32b - 14b$, необходимо выполнить действие с подобными слагаемыми. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $32b$ и $14b$. Для упрощения вынесем общий множитель $b$ за скобки и выполним вычитание коэффициентов:
$32b - 14b = (32 - 14)b = 18b$.
Ответ: $18b$

2) В выражении $27a + a - 18a$ все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$. Коэффициент у слагаемого $a$ равен 1. Сгруппируем коэффициенты и выполним действия с ними:
$27a + a - 18a = (27 + 1 - 18)a = (28 - 18)a = 10a$.
Ответ: $10a$

3) В выражении $21c - 7c - 8$ подобными слагаемыми являются только те, что содержат переменную $c$, то есть $21c$ и $-7c$. Число $-8$ является свободным членом (константой) и не может быть сложено с другими слагаемыми. Сначала упростим часть выражения с переменной $c$:
$21c - 7c = (21 - 7)c = 14c$.
Затем добавим к результату свободный член. Дальнейшее упрощение невозможно.
$14c - 8$.
Ответ: $14c - 8$

41. Выполните возведение в степень:

1) $7^2$;

2) $4^3$;

3) $2^6$;

4) $19^1$;

5) $1^{21}$;

6) $24^2$.

1) $7^2$

Возведение в степень означает умножение числа на само себя указанное количество раз. В данном случае нужно возвести число 7 во вторую степень, то есть умножить 7 на себя 2 раза.

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

Ответ: 49

2) $4^3$

Необходимо возвести число 4 в третью степень. Это значит, что число 4 нужно умножить на само себя 3 раза.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

3) $2^6$

Нужно возвести число 2 в шестую степень. Это значит, что число 2 нужно умножить на само себя 6 раз.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$

Ответ: 64

4) $19^1$

Согласно свойству степени, любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе.

$19^1 = 19$

Ответ: 19

5) $1^{21}$

Число 1, возведенное в любую натуральную степень, всегда равно 1. Это происходит потому, что при умножении единицы на саму себя результат всегда будет равен единице.

$1^{21} = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{21 \text{ раз}} = 1$

Ответ: 1

6) $24^2$

Необходимо возвести число 24 во вторую степень, то есть умножить 24 на само себя.

$24^2 = 24 \cdot 24 = 576$

Ответ: 576

42. Выполните возведение в степень:

1) $3^4$;

2) $0^7$;

3) $17^2$;

4) $6^3$.

1) Чтобы возвести число 3 в 4-ю степень, необходимо умножить это число само на себя четыре раза. Выполним вычисление:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Ответ: 81

2) Возведение нуля в любую натуральную степень (в данном случае, в 7-ю) всегда дает в результате ноль, так как произведение, в котором хотя бы один из множителей равен нулю, равно нулю.
$0^7 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

3) Чтобы возвести число 17 во 2-ю степень (в квадрат), необходимо умножить это число на само себя.
$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$.
Ответ: 289

4) Чтобы возвести число 6 в 3-ю степень (в куб), необходимо умножить это число само на себя три раза.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

43. Найдите частное и выполните проверку с помощью умножения:

1) $2668 : 58;$

2) $3672 : 34;$

3) $942\;866 : 178.$

1)

Найдем частное от деления $2668$ на $58$. Для этого выполним деление столбиком:

 _2668 | 58 232 |--- --- | 46 _348 348 --- 0

Частное равно $46$.

Теперь выполним проверку с помощью умножения. Умножим полученное частное на делитель:

 ×46 58 --- 368+ 230 ---- 2668

Поскольку $46 \cdot 58 = 2668$, и результат умножения равен исходному делимому, деление выполнено верно.

Ответ: 46.

2)

Найдем частное от деления $3672$ на $34$. Для этого выполним деление столбиком:

 _3672 | 34 34 |--- -- | 108 _27 0 --- _272 272 --- 0

Частное равно $108$.

Теперь выполним проверку с помощью умножения. Умножим полученное частное на делитель:

 ×108 34 ---- 432+ 324 ---- 3672

Поскольку $108 \cdot 34 = 3672$, и результат умножения равен исходному делимому, деление выполнено верно.

Ответ: 108.

3)

Найдем частное от деления $942866$ на $178$. Для этого выполним деление столбиком:

 _942866 | 178 890 |----- --- | 5297 _528 356 --- _1726 1602 ---- _1246 1246 ---- 0

Частное равно $5297$.

Теперь выполним проверку с помощью умножения. Умножим полученное частное на делитель:

 ×5297 178 ----- 42376+ 37079+ 5297 ------ 942866

Поскольку $5297 \cdot 178 = 942866$, и результат умножения равен исходному делимому, деление выполнено верно.

Ответ: 5297.

44. Найдите частное и выполните проверку с помощью умножения:

1) $6565 : 13;$

2) $43036 : 28;$

3) $63344 : 428.$

1) 6565 : 13;

Чтобы найти частное, выполним деление числа 6565 на 13. Это можно сделать столбиком или пошагово:
1. Первое неполное делимое — 65. Делим 65 на 13, получаем 5. Записываем 5 в частное. $5 \times 13 = 65$. Остаток $65 - 65 = 0$.
2. Сносим следующую цифру делимого — 6. Получаем 6. Делим 6 на 13, получаем 0. Записываем 0 в частное. Остаток 6.
3. Сносим последнюю цифру делимого — 5. Получаем 65. Делим 65 на 13, получаем 5. Записываем 5 в частное. $5 \times 13 = 65$. Остаток $65 - 65 = 0$.
Таким образом, частное равно 505.

Теперь выполним проверку с помощью умножения. Умножим полученное частное на делитель:
$505 \times 13$
Для удобства можно разложить 13 на $10 + 3$:
$505 \times (10 + 3) = 505 \times 10 + 505 \times 3 = 5050 + 1515 = 6565$
Результат умножения (6565) совпадает с исходным делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 505.

2) 43 036 : 28;

Выполним деление числа 43 036 на 28 пошагово:
1. Первое неполное делимое — 43. Делим 43 на 28, получаем 1. Записываем 1 в частное. $1 \times 28 = 28$. Остаток $43 - 28 = 15$.
2. Сносим 0. Второе неполное делимое — 150. Делим 150 на 28, получаем 5. Записываем 5 в частное. $5 \times 28 = 140$. Остаток $150 - 140 = 10$.
3. Сносим 3. Третье неполное делимое — 103. Делим 103 на 28, получаем 3. Записываем 3 в частное. $3 \times 28 = 84$. Остаток $103 - 84 = 19$.
4. Сносим 6. Четвертое неполное делимое — 196. Делим 196 на 28, получаем 7. Записываем 7 в частное. $7 \times 28 = 196$. Остаток $196 - 196 = 0$.
Таким образом, частное равно 1537.

Теперь выполним проверку умножением:
$1537 \times 28$
Выполним умножение в столбик:
$1537 \times 8 = 12296$
$1537 \times 20 = 30740$
$12296 + 30740 = 43036$
Результат умножения (43 036) совпадает с исходным делимым, следовательно, деление выполнено правильно.
Ответ: 1537.

3) 63 344 : 428;

Выполним деление числа 63 344 на 428 пошагово:
1. Первое неполное делимое — 633. Делим 633 на 428, получаем 1. Записываем 1 в частное. $1 \times 428 = 428$. Остаток $633 - 428 = 205$.
2. Сносим 4. Второе неполное делимое — 2054. Делим 2054 на 428. Подбираем цифру: $428 \times 4 = 1712$. Записываем 4 в частное. Остаток $2054 - 1712 = 342$.
3. Сносим 4. Третье неполное делимое — 3424. Делим 3424 на 428. Подбираем цифру: $428 \times 8 = 3424$. Записываем 8 в частное. Остаток $3424 - 3424 = 0$.
Таким образом, частное равно 148.

Теперь выполним проверку умножением:
$148 \times 428$
Выполним умножение в столбик:
$148 \times 8 = 1184$
$148 \times 20 = 2960$
$148 \times 400 = 59200$
$1184 + 2960 + 59200 = 63344$
Результат умножения (63 344) совпадает с исходным делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 148.

45. За 6 ч автомобиль проехал 432 км. За какое время он проедет 648 км, если будет двигаться с той же скоростью?

Для того чтобы найти время, за которое автомобиль проедет 648 км, необходимо сначала определить его скорость. По условию, скорость автомобиля постоянна.

1. Найдём скорость автомобиля.

Скорость ($v$) вычисляется по формуле: $v = s / t$, где $s$ – это расстояние, а $t$ – время в пути.

Из условия известно, что автомобиль проехал $s = 432$ км за $t = 6$ ч.

Подставим эти значения в формулу:

$v = 432 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 72 \text{ км/ч}$

2. Найдём время для преодоления 648 км.

Теперь, зная скорость автомобиля ($v = 72$ км/ч), мы можем найти время ($t$), которое потребуется для проезда нового расстояния $s = 648$ км. Для этого воспользуемся той же формулой, выразив из нее время: $t = s / v$.

Подставим известные значения:

$t = 648 \text{ км} / 72 \text{ км/ч} = 9 \text{ ч}$

Ответ: Автомобиль проедет 648 км за 9 часов.

46. Автомобиль проезжает расстояние между двумя городами за $5 \text{ ч}$, двигаясь со скоростью $56 \text{ км/ч}$. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы проехать это расстояние за $4 \text{ ч}$?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия.

1. Найти расстояние между городами. Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$).

$S = v \cdot t$

Подставим известные значения: скорость автомобиля $v_1 = 56$ км/ч, а время в пути $t_1 = 5$ ч.

$S = 56 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 280 \text{ км}$

Таким образом, расстояние между городами составляет 280 км.

2. Найти новую скорость. Теперь, зная расстояние, нужно рассчитать, с какой скоростью ($v_2$) автомобиль должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за новое время $t_2 = 4$ ч. Для этого выразим скорость из формулы расстояния:

$v = S / t$

Подставим известные нам значения расстояния и нового времени:

$v_2 = 280 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 70 \text{ км/ч}$

Ответ: 70 км/ч.

47. В несколько ящиков разложили поровну 48 кг зелёных яблок. Затем в каждый ящик положили по 4 кг красных яблок. После этого в каждом ящике стало 10 кг яблок. Сколько было ящиков?

Для того чтобы найти количество ящиков, сначала определим, сколько килограммов зеленых яблок было в каждом ящике изначально.

1. Известно, что после добавления 4 кг красных яблок в каждом ящике стало 10 кг. Чтобы узнать, сколько зеленых яблок было в каждом ящике, нужно из итоговой массы яблок в одном ящике вычесть массу добавленных красных яблок:

$10 \text{ кг} - 4 \text{ кг} = 6 \text{ кг}$

Таким образом, в каждом ящике было по 6 кг зеленых яблок.

2. Теперь, зная, что всего было 48 кг зеленых яблок и в каждом ящике их было по 6 кг, мы можем найти общее количество ящиков. Для этого разделим общую массу зеленых яблок на массу зеленых яблок в одном ящике:

$48 \text{ кг} \div 6 \text{ кг} = 8$

Следовательно, было 8 ящиков.

Ответ: 8 ящиков.

48. В офис завезли 70 л питьевой воды, налитой поровну в несколько бутылей. После того как из каждой бутыли использовали по 6 л воды, в них осталось по 8 л. Сколько было бутылей?

Для решения задачи сперва найдем, какой объем воды был в каждой бутыли изначально. Известно, что из каждой бутыли использовали 6 л воды и после этого в ней осталось 8 л. Следовательно, первоначальный объем воды в одной бутыли равен сумме использованного и оставшегося объемов.

1) $6 + 8 = 14$ (л) – было в каждой бутыли.

Теперь, зная, что общий объем привезенной воды составляет 70 л, а в каждую бутыль было налито по 14 л, мы можем найти общее количество бутылей. Для этого необходимо общий объем воды разделить на объем одной бутыли.

2) $70 / 14 = 5$ (бутылей).

Ответ: 5 бутылей.

49. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $6247 > 62*5$;

2) $5576 < 5*43?$;

1) В неравенстве $6247 > 62*5$ нужно найти все возможные цифры, которые можно подставить вместо звёздочки.
Сравнение чисел происходит поразрядно, слева направо.
1. Сравниваем разряд тысяч: $6 = 6$.
2. Сравниваем разряд сотен: $2 = 2$.
3. Сравниваем разряд десятков: в левом числе стоит цифра 4, в правом — звёздочка. Чтобы левое число было больше, цифра на месте звёздочки должна быть меньше 4, либо равна 4.
- Если вместо звёздочки поставить цифры $0, 1, 2$ или $3$, то разряд десятков левого числа (4) будет больше разряда десятков правого числа. В этом случае всё неравенство будет верным. Например, $6247 > 6235$.
- Если вместо звёздочки поставить цифру $4$, то разряды десятков сравняются. Тогда нужно сравнить разряды единиц: $7 > 5$. Неравенство $6247 > 6245$ верное.
- Если вместо звёздочки поставить цифру $5$ или больше, то разряд десятков левого числа (4) будет меньше разряда десятков правого числа. В этом случае неравенство будет неверным. Например, $6247 > 6255$ — ложно.
Следовательно, подходят цифры $0, 1, 2, 3, 4$.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) В неравенстве $5576 < 5*43$ нужно найти все возможные цифры, которые можно подставить вместо звёздочки.
Сравнение чисел происходит поразрядно, слева направо.
1. Сравниваем разряд тысяч: $5 = 5$.
2. Сравниваем разряд сотен: в левом числе стоит цифра 5, в правом — звёздочка. Чтобы левое число было меньше, цифра на месте звёздочки должна быть больше 5.
- Если вместо звёздочки поставить цифры $6, 7, 8$ или $9$, то разряд сотен левого числа (5) будет меньше разряда сотен правого числа. В этом случае всё неравенство будет верным. Например, $5576 < 5643$.
- Если вместо звёздочки поставить цифру $5$, то разряды сотен сравняются. Тогда нужно сравнить разряды десятков: $7$ и $4$. Так как $7 > 4$, то число $5576$ больше числа $5543$. Неравенство $5576 < 5543$ — ложно.
- Если вместо звёздочки поставить цифру меньше 5, то левое число будет заведомо больше правого, и неравенство будет неверным. Например, $5576 < 5443$ — ложно.
Следовательно, подходят цифры $6, 7, 8, 9$.
Ответ: 6, 7, 8, 9.

50. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $192* > 1927$;

2) $82*1 < 8242$.

1) В неравенстве $192* > 1927$ сравниваемые числа являются четырёхзначными. При поразрядном сравнении слева направо видим, что цифры в разрядах тысяч, сотен и десятков у обоих чисел совпадают (1, 9 и 2). Чтобы первое число было больше второго, цифра в его разряде единиц (на месте звёздочки) должна быть больше цифры в разряде единиц второго числа, то есть 7.
Таким образом, мы ищем цифры, удовлетворяющие условию $* > 7$.
Этому условию удовлетворяют цифры 8 и 9.
Проверим:
При $*=8$ получаем $1928 > 1927$ (верно).
При $*=9$ получаем $1929 > 1927$ (верно).
Ответ: 8, 9.

2) В неравенстве $82*1 < 8242$ также сравниваются четырёхзначные числа. Цифры в разрядах тысяч и сотен у них совпадают (8 и 2). Дальнейшее сравнение зависит от цифры в разряде десятков.
Чтобы первое число было меньше второго, возможны два случая:
а) Цифра в разряде десятков первого числа (на месте звёздочки) меньше цифры в разряде десятков второго числа, то есть $* < 4$. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 1, 2, 3. В этих случаях неравенство будет верным, так как старшие разряды, которые различаются, определяют результат сравнения.
б) Цифра в разряде десятков первого числа равна цифре в разряде десятков второго числа, то есть $* = 4$. В этом случае неравенство принимает вид $8241 < 8242$. Теперь нужно сравнить цифры в разряде единиц: $1 < 2$. Так как это неравенство верное, то и исходное неравенство при $* = 4$ будет верным.
Если же цифра на месте звёздочки будет больше 4 (т.е. 5, 6, 7, 8 или 9), то первое число станет больше второго (например, $8251 > 8242$), и неравенство не будет выполняться.
Объединив все подходящие цифры из обоих случаев, получаем, что вместо звёздочки можно поставить 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

51. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа:

1) $68\ast\ \ast\ast\ast$ и $67\ast\ \ast\ast\ast$;

2) $96\ast$ и $1\ast\ast\ast$;

3) $5\ast\ast1$ и $5\ast8$.

1) $68* ***$ и $67* ***$

Для сравнения чисел, в которых некоторые цифры заменены звездочками, нужно определить их возможные диапазоны значений. Звездочка (*) может обозначать любую цифру от 0 до 9. Пробел в записи чисел используется для разделения разрядов, поэтому мы сравниваем два шестизначных числа: $68****$ и $67****$.

Сравнение многозначных чисел начинают со старших разрядов (слева направо).
1. Цифра в разряде сотен тысяч у обоих чисел одинакова и равна 6.
2. Цифра в разряде десятков тысяч у первого числа равна 8, а у второго — 7.
Поскольку $8 > 7$, то первое число всегда будет больше второго, независимо от того, какие цифры скрываются за звездочками.
Минимальное значение первого числа — $680000$. Максимальное значение второго числа — $679999$.
Так как $680000 > 679999$, то и любое число вида $68****$ больше любого числа вида $67****$.

Ответ: $68* *** > 67* ***$.

2) $96*$ и $1***$

Первое число, $96*$, является трехзначным. Его значение находится в диапазоне от $960$ до $969$.

Второе число, $1***$, является четырехзначным. Его значение находится в диапазоне от $1000$ до $1999$.

Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного числа. Самое большое трехзначное число — $999$, а самое маленькое четырехзначное — $1000$.
Так как максимальное значение числа $96*$ ($969$) меньше минимального значения числа $1***$ ($1000$), то первое число всегда меньше второго.

Ответ: $96* < 1***$.

3) $5**1$ и $5*8$

Первое число, $5**1$, является четырехзначным. Его значение находится в диапазоне от $5001$ до $5991$.

Второе число, $5*8$, является трехзначным. Его значение находится в диапазоне от $508$ до $598$.

Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного числа.
Даже самое маленькое возможное значение первого числа ($5001$) больше, чем самое большое возможное значение второго числа ($598$).

Ответ: $5**1 > 5*8$.