Страница 15 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число стоит в конце цепочки вычислений?

Цепочка вычислений начинается с числа 14.

Далее последовательно применяются следующие операции:

$\cdot 3$

$+18$

$\cdot 5$

$-125$

1. Чтобы найти число, которое стоит в конце цепочки, необходимо последовательно выполнить все указанные математические операции, начиная с числа 14.

1. Первое действие – умножение. Умножим начальное число 14 на 3:

$14 \cdot 3 = 42$

2. Второе действие – сложение. К результату первого действия (42) прибавим 18:

$42 + 18 = 60$

3. Третье действие – умножение. Полученное число 60 умножим на 5:

$60 \cdot 5 = 300$

4. Четвертое и последнее действие – вычитание. Из числа 300 вычтем 125:

$300 - 125 = 175$

Таким образом, в конце цепочки вычислений стоит число 175.

Ответ: 175

2. Сумма номеров трёх соседних домов, стоящих на одной стороне улицы, равна 30. Какие номера имеют эти дома?

Поскольку дома расположены на одной стороне улицы и являются соседними, их номера представляют собой три последовательных четных или нечетных числа. Разница между номерами таких домов всегда равна 2.

Для решения задачи удобнее всего обозначить номер среднего дома за $x$. Тогда номер предыдущего дома будет $x - 2$, а номер следующего — $x + 2$.

Согласно условию, сумма номеров этих трёх домов равна 30. Составим и решим уравнение:

$(x - 2) + x + (x + 2) = 30$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Заметим, что $-2$ и $+2$ взаимно уничтожаются:

$x + x + x - 2 + 2 = 30$

$3x = 30$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{30}{3}$

$x = 10$

Итак, мы нашли номер среднего дома — он равен 10. Теперь найдём номера двух других домов:

Номер первого дома: $x - 2 = 10 - 2 = 8$.

Номер третьего дома: $x + 2 = 10 + 2 = 12$.

Таким образом, искомые номера домов — 8, 10 и 12. Проверим правильность решения: $8 + 10 + 12 = 30$. Условие выполнено.

Ответ: 8, 10, 12.

3. Укажите среди данных произведений наибольшее:

1) $239 \cdot 4 \cdot 25$;

2) $239 \cdot 20 \cdot 4$;

3) $10 \cdot 239 \cdot 10$;

4) $239 \cdot 10 \cdot 12$.

Для того чтобы найти наибольшее из данных произведений, мы можем вычислить каждое из них или сравнить их, не производя полных вычислений. Заметим, что число 239 является общим множителем во всех четырёх выражениях. Поскольку 239 — положительное число, наибольшим будет то произведение, в котором произведение остальных множителей является наибольшим.

1) 239 ⋅ 4 ⋅ 25

Вычислим произведение остальных множителей: $4 \cdot 25 = 100$.
Таким образом, всё произведение равно $239 \cdot 100 = 23900$.

2) 239 ⋅ 20 ⋅ 4

Вычислим произведение остальных множителей: $20 \cdot 4 = 80$.
Таким образом, всё произведение равно $239 \cdot 80 = 19120$.

3) 10 ⋅ 239 ⋅ 10

Используя переместительное свойство умножения, перегруппируем множители: $239 \cdot 10 \cdot 10$.
Вычислим произведение остальных множителей: $10 \cdot 10 = 100$.
Таким образом, всё произведение равно $239 \cdot 100 = 23900$.

4) 239 ⋅ 10 ⋅ 12

Вычислим произведение остальных множителей: $10 \cdot 12 = 120$.
Таким образом, всё произведение равно $239 \cdot 120 = 28680$.

Теперь сравним полученные результаты:

• 1) 23900
• 2) 19120
• 3) 23900
• 4) 28680

Сравнивая числа 100, 80, 100 и 120 (произведения множителей, отличных от 239), мы видим, что 120 — наибольшее. Следовательно, произведение в пункте 4 является наибольшим.

Ответ: 4) $239 \cdot 10 \cdot 12$.

4. Дима купил 8 тетрадей, а Петя – 5 таких же тетрадей, заплатив за них на 240 р. меньше, чем Дима. Сколько стоит одна тетрадь?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем, на сколько тетрадей Дима купил больше, чем Петя.
$8 - 5 = 3$ (тетради)
Разница составляет 3 тетради.

2. В условии сказано, что Петя заплатил на 240 рублей меньше. Эта разница в стоимости соответствует стоимости тех 3 тетрадей, которые Дима купил дополнительно. Таким образом, 3 тетради стоят 240 рублей.

3. Теперь мы можем найти стоимость одной тетради. Для этого нужно общую разницу в стоимости разделить на разницу в количестве тетрадей.
$240 \div 3 = 80$ (рублей)

Ответ: 80 рублей.

5. Расставьте вместо звёздочек знаки «+» и «-» так, чтобы запись $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$ стала верным равенством.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» или «-» вместо звёздочек так, чтобы получилось верное равенство. Мы можем решить эту задачу методом подбора или с помощью алгебраического подхода. Воспользуемся вторым методом.

Пусть $S_{+}$ — это сумма всех чисел, перед которыми мы поставим знак «+», а $S_{-}$ — это сумма модулей всех чисел, перед которыми мы поставим знак «-». Первое число, 20, всегда положительное и входит в $S_{+}$.

Заданное равенство можно записать в виде:

$S_{+} - S_{-} = 50$

Сумма всех чисел в выражении, независимо от знаков, постоянна:

$S_{+} + S_{-} = 20 + 30 + 10 + 80 + 70 = 210$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} S_{+} - S_{-} = 50 \\ S_{+} + S_{-} = 210 \end{cases} $

Сложив эти два уравнения, мы найдем $S_{+}$:

$(S_{+} - S_{-}) + (S_{+} + S_{-}) = 50 + 210$

$2S_{+} = 260$

$S_{+} = 130$

Теперь найдем $S_{-}$, подставив значение $S_{+}$ во второе уравнение:

$130 + S_{-} = 210$

$S_{-} = 210 - 130 = 80$

Итак, нам нужно разбить числа {20, 30, 10, 80, 70} на две группы: сумма чисел со знаком «+» должна быть 130, а сумма чисел со знаком «-» (по модулю) должна быть 80. Поскольку 20 всегда положительно, нам нужно найти среди чисел {30, 10, 80, 70} такие, которые в сумме с 20 дадут 130. Это означает, что их собственная сумма должна быть $130 - 20 = 110$.

Есть два способа получить 110 из чисел {30, 10, 80, 70}, что дает нам два решения.

Вариант 1

Находим комбинацию для суммы 110: $30 + 80 = 110$.

Значит, числа 30 и 80 будут со знаком «+». Группа положительных чисел: {20, 30, 80}. Их сумма: $20 + 30 + 80 = 130$.

Оставшиеся числа {10, 70} будут со знаком «-». Проверяем их сумму: $10 + 70 = 80$.

Оба условия выполнены. Расставляем знаки:

$20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$

Проверка: $50 - 10 + 80 - 70 = 40 + 80 - 70 = 120 - 70 = 50$. Равенство верно.

Ответ: $20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$

Вариант 2

Находим другую комбинацию для суммы 110: $30 + 10 + 70 = 110$.

Значит, числа 30, 10 и 70 будут со знаком «+». Группа положительных чисел: {20, 30, 10, 70}. Их сумма: $20 + 30 + 10 + 70 = 130$.

Оставшееся число {80} будет со знаком «-». Его модуль равен 80.

Оба условия выполнены. Расставляем знаки:

$20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$

Проверка: $50 + 10 - 80 + 70 = 60 - 80 + 70 = -20 + 70 = 50$. Равенство верно.

Ответ: $20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$

81. Найдите значение числового выражения:

1) $56 + 42 : 14 - 7;$

2) $(56 + 42) : (14 - 7);$

3) $(56 + 42) : 14 - 7;$

4) $56 + 42 : (14 - 7).$

1) 56 + 42 : 14 – 7

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются деление и умножение, а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо).

1. Первым действием выполним деление: $42 : 14 = 3$.

2. Теперь выражение примет вид: $56 + 3 - 7$.

3. Выполним сложение: $56 + 3 = 59$.

4. Выполним вычитание: $59 - 7 = 52$.

Полное решение: $56 + 42 : 14 - 7 = 56 + 3 - 7 = 52$.

Ответ: 52

2) (56 + 42) : (14 – 7)

В этом выражении сначала выполняются действия в скобках, а затем деление.

1. Выполним действие в первой скобке (сложение): $56 + 42 = 98$.

2. Выполним действие во второй скобке (вычитание): $14 - 7 = 7$.

3. Теперь разделим результат первого действия на результат второго: $98 : 7 = 14$.

Полное решение: $(56 + 42) : (14 - 7) = 98 : 7 = 14$.

Ответ: 14

3) (56 + 42) : 14 – 7

Порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. Выполним действие в скобках: $56 + 42 = 98$.

2. Выражение примет вид: $98 : 14 - 7$.

3. Выполним деление: $98 : 14 = 7$.

4. Выполним вычитание: $7 - 7 = 0$.

Полное решение: $(56 + 42) : 14 - 7 = 98 : 14 - 7 = 7 - 7 = 0$.

Ответ: 0

4) 56 + 42 : (14 – 7)

Порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение.

1. Выполним действие в скобках: $14 - 7 = 7$.

2. Выражение примет вид: $56 + 42 : 7$.

3. Выполним деление: $42 : 7 = 6$.

4. Выполним сложение: $56 + 6 = 62$.

Полное решение: $56 + 42 : (14 - 7) = 56 + 42 : 7 = 56 + 6 = 62$.

Ответ: 62

82. Вычислите:

1) $362 \cdot 205 - 29016;$

2) $32775 : (7005 - 6910).$

1) $362 \cdot 205 - 29 016$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Первым действием выполним умножение:

$362 \cdot 205 = 74 210$

2. Вторым действием выполним вычитание, используя результат первого действия:

$74 210 - 29 016 = 45 194$

Ответ: 45 194

2) $32 775 : (7005 - 6910)$

В этом примере, согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем деление.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках:

$7005 - 6910 = 95$

2. Вторым действием разделим $32 775$ на результат, полученный в скобках:

$32 775 : 95 = 345$

Ответ: 345

83. Найдите значение числового выражения:

1) $37 \cdot 15 - 2525 : 25;$

2) $(18 + 27 \cdot 12) : (290 - 119).$

1) $37 \cdot 15 - 2525 : 25$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

Первое действие — умножение:

$37 \cdot 15 = 555$

Второе действие — деление:

$2525 : 25 = 101$

Третье действие — вычитание результатов первых двух действий:

$555 - 101 = 454$

Ответ: 454

2) $(18 + 27 \cdot 12) : (290 - 119)$

В этом выражении сначала выполняются действия в скобках. Внутри первых скобок сначала выполняется умножение, а затем сложение. После вычисления значений в обеих скобках выполняется деление.

Первое действие (в первой скобке) — умножение:

$27 \cdot 12 = 324$

Второе действие (в первой скобке) — сложение:

$18 + 324 = 342$

Третье действие (во второй скобке) — вычитание:

$290 - 119 = 171$

Четвертое действие — деление результатов, полученных в скобках:

$342 : 171 = 2$

Ответ: 2

84. Укажите порядок действий и найдите значение числового выражения:

1) $45^2 - 16^2$;

2) $5 \cdot 14^2$;

3) $(3^4 \cdot 5 - 181) : 2^5$.

1) $45^2 - 16^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возводим в квадрат число 45: $45^2 = 45 \cdot 45 = 2025$.
2. Возводим в квадрат число 16: $16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.
3. Находим разность полученных результатов: $2025 - 256 = 1769$.

Ответ: 1769

2) $5 \cdot 14^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Возводим в квадрат число 14: $14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.
2. Умножаем результат на 5: $5 \cdot 196 = 980$.

Ответ: 980

3) $(3^4 \cdot 5 - 181) : 2^5$

Порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем возведение в степень вне скобок, и в последнюю очередь — деление. Внутри скобок приоритет у возведения в степень, затем у умножения и вычитания.

1. Вычисляем степень в скобках: $3^4 = 81$.
2. Выполняем умножение в скобках: $81 \cdot 5 = 405$.
3. Выполняем вычитание в скобках, завершая вычисления в них: $405 - 181 = 224$.
4. Вычисляем степень делителя: $2^5 = 32$.
5. Выполняем деление: $224 : 32 = 7$.

Ответ: 7

85. Вычислите:

1) $18^2 \cdot 9 - 6^3 : 12;$

2) $(4^3 - 7^2) \cdot 36.$

1) $18^2 : 9 - 6^3 : 12$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется возведение в степень, затем деление и в конце — вычитание.

1. Возведем числа в степень:

$18^2 = 18 \cdot 18 = 324$

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

2. Теперь выражение выглядит так:

$324 : 9 - 216 : 12$

3. Выполним деление слева направо:

$324 : 9 = 36$

$216 : 12 = 18$

4. Выполним вычитание:

$36 - 18 = 18$

Ответ: 18

2) $(4^3 - 7^2) \cdot 36$

В этом примере сначала выполняются действия в скобках (возведение в степень, затем вычитание), а после этого — умножение.

1. Выполним действия в скобках. Сначала возведение в степень:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$64 - 49 = 15$

3. Подставим полученное значение в выражение и выполним умножение:

$15 \cdot 36 = 540$

Ответ: 540

86. Найдите значение выражения:

1) $374 + x$, если $x = 268$;

2) $y / 27 + 33$, если $y = 729$;

3) $84n - m$, если $n = 5$, $m = 355$;

4) $5a^3 + 1$, если $a = 4$.

1) Чтобы найти значение выражения $374 + x$ при $x = 268$, подставим значение $x$ в выражение:
$374 + 268 = 642$
Ответ: 642

2) Чтобы найти значение выражения $y : 27 + 33$ при $y = 729$, подставим значение $y$ в выражение и выполним действия в правильном порядке (сначала деление, затем сложение):
$729 : 27 + 33 = 27 + 33 = 60$
Ответ: 60

3) Чтобы найти значение выражения $84n - m$ при $n = 5$ и $m = 355$, подставим значения переменных в выражение. Выражение $84n$ означает $84 \cdot n$. Сначала выполним умножение, затем вычитание:
$84 \cdot 5 - 355 = 420 - 355 = 65$
Ответ: 65

4) Чтобы найти значение выражения $5a^3 + 1$ при $a = 4$, подставим значение $a$ в выражение. Выражение $5a^3$ означает $5 \cdot a^3$. Сначала возведем в степень, затем умножим и в конце сложим:
$5 \cdot 4^3 + 1 = 5 \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) + 1 = 5 \cdot 64 + 1 = 320 + 1 = 321$
Ответ: 321

87. Найдите значение выражения:

1) $b \cdot 72 + c$, если $b = 4$, $c = 112$;

2) $2a^3 + 586$, если $a = 10$.

1) Для нахождения значения выражения $b \cdot 72 + c$, необходимо подставить в него заданные значения переменных $b = 4$ и $c = 112$.

Подставляем значения в выражение:

$4 \cdot 72 + 112$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Выполняем умножение:

$4 \cdot 72 = 288$

2. Выполняем сложение:

$288 + 112 = 400$

Ответ: 400

2) Для нахождения значения выражения $2a^3 + 586$, необходимо подставить в него заданное значение переменной $a = 10$.

Подставляем значение в выражение:

$2 \cdot 10^3 + 586$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение, а после — сложение.

1. Возводим число 10 в третью степень:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

2. Выполняем умножение:

$2 \cdot 1000 = 2000$

3. Выполняем сложение:

$2000 + 586 = 2586$

Ответ: 2586

88. Мальвина купила 8 конфет по $a$ сольдо и $b$ пирожных по 65 сольдо, заплатив за конфеты меньше, чем за пирожные. На сколько меньше заплатила Мальвина за конфеты, чем за пирожные? Вычислите значение полученного выражения при $a = 14, b = 4$.

На сколько меньше заплатила Мальвина за конфеты, чем за пирожные?

1. Определим стоимость всех купленных конфет. Мальвина купила 8 конфет, и каждая стоит $a$ сольдо. Общая стоимость конфет равна произведению количества на цену: $8 \cdot a = 8a$ (сольдо).

2. Определим стоимость всех купленных пирожных. Мальвина купила $b$ пирожных по цене 65 сольдо за каждое. Общая стоимость пирожных составляет: $b \cdot 65 = 65b$ (сольдо).

3. Согласно условию, за конфеты заплатили меньше, чем за пирожные. Чтобы найти разницу, нужно из большей суммы (стоимости пирожных) вычесть меньшую (стоимость конфет).

Таким образом, искомое выражение: $65b - 8a$.

Ответ: $65b - 8a$.

Вычислите значение полученного выражения при $a = 14, b = 4$.

Подставим указанные значения $a = 14$ и $b = 4$ в составленное ранее выражение $65b - 8a$:

$65 \cdot 4 - 8 \cdot 14$

Выполним вычисления по действиям:

1) $65 \cdot 4 = 260$

2) $8 \cdot 14 = 112$

3) $260 - 112 = 148$

Следовательно, Мальвина заплатила за конфеты на 148 сольдо меньше, чем за пирожные.

Ответ: 148.