Номер 5, страница 15 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 2. Числовые и буквенные выражения. Формулы. Глава 1. Натуральные числа - номер 5, страница 15.

Условие.

5. Расставьте вместо звёздочек знаки «+» и «-» так, чтобы запись $20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50$ стала верным равенством.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» или «-» вместо звёздочек так, чтобы получилось верное равенство. Мы можем решить эту задачу методом подбора или с помощью алгебраического подхода. Воспользуемся вторым методом.

Пусть $S_{+}$ — это сумма всех чисел, перед которыми мы поставим знак «+», а $S_{-}$ — это сумма модулей всех чисел, перед которыми мы поставим знак «-». Первое число, 20, всегда положительное и входит в $S_{+}$.

Заданное равенство можно записать в виде:

$S_{+} - S_{-} = 50$

Сумма всех чисел в выражении, независимо от знаков, постоянна:

$S_{+} + S_{-} = 20 + 30 + 10 + 80 + 70 = 210$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} S_{+} - S_{-} = 50 \\ S_{+} + S_{-} = 210 \end{cases} $

Сложив эти два уравнения, мы найдем $S_{+}$:

$(S_{+} - S_{-}) + (S_{+} + S_{-}) = 50 + 210$

$2S_{+} = 260$

$S_{+} = 130$

Теперь найдем $S_{-}$, подставив значение $S_{+}$ во второе уравнение:

$130 + S_{-} = 210$

$S_{-} = 210 - 130 = 80$

Итак, нам нужно разбить числа {20, 30, 10, 80, 70} на две группы: сумма чисел со знаком «+» должна быть 130, а сумма чисел со знаком «-» (по модулю) должна быть 80. Поскольку 20 всегда положительно, нам нужно найти среди чисел {30, 10, 80, 70} такие, которые в сумме с 20 дадут 130. Это означает, что их собственная сумма должна быть $130 - 20 = 110$.

Есть два способа получить 110 из чисел {30, 10, 80, 70}, что дает нам два решения.

Вариант 1

Находим комбинацию для суммы 110: $30 + 80 = 110$.

Значит, числа 30 и 80 будут со знаком «+». Группа положительных чисел: {20, 30, 80}. Их сумма: $20 + 30 + 80 = 130$.

Оставшиеся числа {10, 70} будут со знаком «-». Проверяем их сумму: $10 + 70 = 80$.

Оба условия выполнены. Расставляем знаки:

$20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$

Проверка: $50 - 10 + 80 - 70 = 40 + 80 - 70 = 120 - 70 = 50$. Равенство верно.

Ответ: $20 + 30 - 10 + 80 - 70 = 50$

Вариант 2

Находим другую комбинацию для суммы 110: $30 + 10 + 70 = 110$.

Значит, числа 30, 10 и 70 будут со знаком «+». Группа положительных чисел: {20, 30, 10, 70}. Их сумма: $20 + 30 + 10 + 70 = 130$.

Оставшееся число {80} будет со знаком «-». Его модуль равен 80.

Оба условия выполнены. Расставляем знаки:

$20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$

Проверка: $50 + 10 - 80 + 70 = 60 - 80 + 70 = -20 + 70 = 50$. Равенство верно.

Ответ: $20 + 30 + 10 - 80 + 70 = 50$