Номер 80, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Действия с натуральными числами. Глава 1. Натуральные числа - номер 80, страница 13.

Условие.

80. Четверо одноклассников одновременно стартовали в забеге на 200 м.
Через 12 с после начала забега никто ещё не финишировал, а все его участники суммарно пробежали 288 м. Когда победитель забега финишировал, другим трём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме 32 м. За какое время победитель пробежал всю дистанцию? (Скорость каждого участника забега постоянна на всей дистанции.)

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорости четырех одноклассников равны $v_1$, $v_2$, $v_3$ и $v_4$. Длина дистанции $D = 200$ м. Пусть $v_1$ — скорость победителя. По условию, скорости всех участников постоянны на всей дистанции.

Шаг 1: Нахождение суммарной скорости участников

По условию, через 12 секунд после начала забега все участники суммарно пробежали 288 м. Расстояние, пройденное каждым участником за это время, равно произведению его скорости на время. Суммарное расстояние можно записать как:

$v_1 \cdot 12 + v_2 \cdot 12 + v_3 \cdot 12 + v_4 \cdot 12 = 288$

Вынесем время (12 с) за скобки:

$(v_1 + v_2 + v_3 + v_4) \cdot 12 = 288$

Отсюда мы можем найти сумму скоростей всех четырех бегунов:

$V_{сумм} = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = \frac{288}{12} = 24$ м/с.

Шаг 2: Анализ ситуации в момент финиша победителя

Пусть $t_{поб}$ — это время, за которое победитель пробежал всю дистанцию. В этот момент он преодолел 200 м. Его скорость можно выразить как $v_1 = \frac{D}{t_{поб}} = \frac{200}{t_{поб}}$.

Когда победитель финишировал, остальным трем участникам до финиша оставалось пробежать в сумме 32 м. Это означает, что суммарное расстояние, которое они пробежали к этому моменту, равно разнице между суммарной длиной их дистанций и оставшимся расстоянием:

$S_{2,3,4} = (D + D + D) - 32 = 3 \cdot 200 - 32 = 600 - 32 = 568$ м.

Это расстояние трое участников пробежали за время $t_{поб}$. Таким образом, мы можем составить второе уравнение:

$(v_2 + v_3 + v_4) \cdot t_{поб} = 568$

Шаг 3: Решение системы уравнений и нахождение времени победителя

Из первого шага мы знаем, что $v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 24$. Отсюда можно выразить сумму скоростей трех остальных бегунов через скорость победителя:

$v_2 + v_3 + v_4 = 24 - v_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение из второго шага:

$(24 - v_1) \cdot t_{поб} = 568$

Мы также знаем, что $v_1 = \frac{200}{t_{поб}}$. Подставим это в последнее уравнение:

$(24 - \frac{200}{t_{поб}}) \cdot t_{поб} = 568$

Раскроем скобки, чтобы решить уравнение относительно $t_{поб}$:

$24 \cdot t_{поб} - \frac{200}{t_{поб}} \cdot t_{поб} = 568$

$24 \cdot t_{поб} - 200 = 568$

Перенесем 200 в правую часть уравнения:

$24 \cdot t_{поб} = 568 + 200$

$24 \cdot t_{поб} = 768$

Наконец, находим время победителя:

$t_{поб} = \frac{768}{24} = 32$ с.

Ответ: Победитель пробежал всю дистанцию за 32 секунды.