Страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

78. На торговой базе мука расфасована в двухкилограммовые, пятикилограммовые и семикилограммовые пакеты. Стоимость двухкилограммового пакета составляет 78 р., пятикилограммового – 180 р. и семикилограммового – 224 р. Требуется приобрести 46 кг муки. Найдите самый выгодный вариант покупки и вычислите её стоимость.

Для того чтобы найти самый выгодный вариант покупки, сначала необходимо определить стоимость одного килограмма муки в каждой из упаковок.

1. Стоимость 1 кг муки в двухкилограммовом пакете составляет $78 \text{ руб.} / 2 \text{ кг} = 39 \text{ руб./кг}$.

2. Стоимость 1 кг муки в пятикилограммовом пакете составляет $180 \text{ руб.} / 5 \text{ кг} = 36 \text{ руб./кг}$.

3. Стоимость 1 кг муки в семикилограммовом пакете составляет $224 \text{ руб.} / 7 \text{ кг} = 32 \text{ руб./кг}$.

Из расчетов следует, что наиболее выгодной является покупка муки в семикилограммовых пакетах, а наименее выгодной — в двухкилограммовых. Чтобы минимизировать общую стоимость, следует использовать максимальное количество самых дешевых (семикилограммовых) пакетов, а оставшийся вес добирать пакетами другого объема.

Требуется купить 46 кг муки. Рассмотрим все возможные комбинации, начиная с максимального количества наиболее выгодных пакетов по 7 кг. Максимальное целое число таких пакетов, которое можно купить: $ \lfloor 46 / 7 \rfloor = 6 $.

Вариант 1: 6 пакетов по 7 кг.
Масса муки в этих пакетах: $6 \times 7 = 42$ кг.
Остается докупить: $46 - 42 = 4$ кг.
Чтобы получить 4 кг, нужно купить 2 пакета по 2 кг.
Стоимость этого варианта: $6 \times 224 + 2 \times 78 = 1344 + 156 = 1500$ рублей.

Вариант 2: 5 пакетов по 7 кг.
Масса муки: $5 \times 7 = 35$ кг.
Остается докупить: $46 - 35 = 11$ кг.
Чтобы получить 11 кг, нужно купить 1 пакет по 5 кг и 3 пакета по 2 кг ($1 \times 5 + 3 \times 2 = 11$).
Стоимость этого варианта: $5 \times 224 + 1 \times 180 + 3 \times 78 = 1120 + 180 + 234 = 1534$ рубля.

Вариант 3: 4 пакета по 7 кг.
Масса муки: $4 \times 7 = 28$ кг.
Остается докупить: $46 - 28 = 18$ кг.
Чтобы получить 18 кг, нужно купить 2 пакета по 5 кг и 4 пакета по 2 кг ($2 \times 5 + 4 \times 2 = 18$).
Стоимость этого варианта: $4 \times 224 + 2 \times 180 + 4 \times 78 = 896 + 360 + 312 = 1568$ рублей.

Вариант 4: 3 пакета по 7 кг.
Масса муки: $3 \times 7 = 21$ кг.
Остается докупить: $46 - 21 = 25$ кг.
Чтобы получить 25 кг, нужно купить 5 пакетов по 5 кг ($5 \times 5 = 25$).
Стоимость этого варианта: $3 \times 224 + 5 \times 180 = 672 + 900 = 1572$ рубля.

Вариант 5: 2 пакета по 7 кг.
Масса муки: $2 \times 7 = 14$ кг.
Остается докупить: $46 - 14 = 32$ кг.
Чтобы получить 32 кг, нужно купить 6 пакетов по 5 кг и 1 пакет по 2 кг ($6 \times 5 + 1 \times 2 = 32$).
Стоимость этого варианта: $2 \times 224 + 6 \times 180 + 1 \times 78 = 448 + 1080 + 78 = 1606$ рублей.

Вариант 6: 1 пакет по 7 кг.
Масса муки: $1 \times 7 = 7$ кг.
Остается докупить: $46 - 7 = 39$ кг.
Чтобы получить 39 кг, нужно купить 7 пакетов по 5 кг и 2 пакета по 2 кг ($7 \times 5 + 2 \times 2 = 39$).
Стоимость этого варианта: $1 \times 224 + 7 \times 180 + 2 \times 78 = 224 + 1260 + 156 = 1640$ рублей.

Вариант 7: 0 пакетов по 7 кг.
Масса муки: 0 кг.
Остается докупить: 46 кг.
Чтобы получить 46 кг, нужно купить 8 пакетов по 5 кг и 3 пакета по 2 кг ($8 \times 5 + 3 \times 2 = 46$).
Стоимость этого варианта: $8 \times 180 + 3 \times 78 = 1440 + 234 = 1674$ рубля.

Сравнив стоимость всех рассмотренных вариантов, мы видим, что наименьшая стоимость составляет 1500 рублей. Она соответствует первому варианту.

Ответ: самый выгодный вариант покупки — это 6 семикилограммовых пакетов и 2 двухкилограммовых пакета. Стоимость такой покупки составит 1500 рублей.

79. Проверьте, верно ли равенство:

1) $1 + 3 = 2^2$;

2) $1 + 3 + 5 = 3^2$;

3) $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$

Выскажите гипотезу, чему равна сумма первых $n$ нечётных чисел.

Проверьте свою гипотезу для $n = 7$. Обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

1) Проверим равенство $1 + 3 = 2^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 = 4$. Вычислим правую часть: $2^2 = 4$. Поскольку $4 = 4$, равенство является верным. Ответ: верно.

2) Проверим равенство $1 + 3 + 5 = 3^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 + 5 = 9$. Вычислим правую часть: $3^2 = 9$. Поскольку $9 = 9$, равенство является верным. Ответ: верно.

3) Проверим равенство $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Вычислим правую часть: $4^2 = 16$. Поскольку $16 = 16$, равенство является верным. Ответ: верно.

Выскажите гипотезу, чему равна сумма первых n нечётных чисел.
Проанализировав приведённые равенства, можно заметить закономерность:
• Сумма первых двух нечётных чисел ($1$ и $3$) равна $2^2$.
• Сумма первых трёх нечётных чисел ($1, 3, 5$) равна $3^2$.
• Сумма первых четырёх нечётных чисел ($1, 3, 5, 7$) равна $4^2$.
Отсюда можно сформулировать гипотезу: сумма первых $n$ нечётных натуральных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.
В виде формулы эта гипотеза выглядит так: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

Проверьте свою гипотезу для n = 7.
Согласно гипотезе, сумма первых 7 нечётных чисел должна быть равна $7^2$.
Найдём первые 7 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Теперь вычислим их сумму прямым сложением: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49$.
По нашей гипотезе, результат должен быть $n^2 = 7^2 = 49$.
Так как результат прямого сложения ($49$) совпадает с результатом, предсказанным гипотезой ($49$), гипотеза подтверждается для случая $n=7$.
Ответ: гипотеза для $n=7$ верна.

80. Четверо одноклассников одновременно стартовали в забеге на 200 м.
Через 12 с после начала забега никто ещё не финишировал, а все его участники суммарно пробежали 288 м. Когда победитель забега финишировал, другим трём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме 32 м. За какое время победитель пробежал всю дистанцию? (Скорость каждого участника забега постоянна на всей дистанции.)

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорости четырех одноклассников равны $v_1$, $v_2$, $v_3$ и $v_4$. Длина дистанции $D = 200$ м. Пусть $v_1$ — скорость победителя. По условию, скорости всех участников постоянны на всей дистанции.

Шаг 1: Нахождение суммарной скорости участников

По условию, через 12 секунд после начала забега все участники суммарно пробежали 288 м. Расстояние, пройденное каждым участником за это время, равно произведению его скорости на время. Суммарное расстояние можно записать как:

$v_1 \cdot 12 + v_2 \cdot 12 + v_3 \cdot 12 + v_4 \cdot 12 = 288$

Вынесем время (12 с) за скобки:

$(v_1 + v_2 + v_3 + v_4) \cdot 12 = 288$

Отсюда мы можем найти сумму скоростей всех четырех бегунов:

$V_{сумм} = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = \frac{288}{12} = 24$ м/с.

Шаг 2: Анализ ситуации в момент финиша победителя

Пусть $t_{поб}$ — это время, за которое победитель пробежал всю дистанцию. В этот момент он преодолел 200 м. Его скорость можно выразить как $v_1 = \frac{D}{t_{поб}} = \frac{200}{t_{поб}}$.

Когда победитель финишировал, остальным трем участникам до финиша оставалось пробежать в сумме 32 м. Это означает, что суммарное расстояние, которое они пробежали к этому моменту, равно разнице между суммарной длиной их дистанций и оставшимся расстоянием:

$S_{2,3,4} = (D + D + D) - 32 = 3 \cdot 200 - 32 = 600 - 32 = 568$ м.

Это расстояние трое участников пробежали за время $t_{поб}$. Таким образом, мы можем составить второе уравнение:

$(v_2 + v_3 + v_4) \cdot t_{поб} = 568$

Шаг 3: Решение системы уравнений и нахождение времени победителя

Из первого шага мы знаем, что $v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 24$. Отсюда можно выразить сумму скоростей трех остальных бегунов через скорость победителя:

$v_2 + v_3 + v_4 = 24 - v_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение из второго шага:

$(24 - v_1) \cdot t_{поб} = 568$

Мы также знаем, что $v_1 = \frac{200}{t_{поб}}$. Подставим это в последнее уравнение:

$(24 - \frac{200}{t_{поб}}) \cdot t_{поб} = 568$

Раскроем скобки, чтобы решить уравнение относительно $t_{поб}$:

$24 \cdot t_{поб} - \frac{200}{t_{поб}} \cdot t_{поб} = 568$

$24 \cdot t_{поб} - 200 = 568$

Перенесем 200 в правую часть уравнения:

$24 \cdot t_{поб} = 568 + 200$

$24 \cdot t_{поб} = 768$

Наконец, находим время победителя:

$t_{поб} = \frac{768}{24} = 32$ с.

Ответ: Победитель пробежал всю дистанцию за 32 секунды.