Страница 6 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Прочитайте неравенство:

1) $156 < 172$;

2) $402 > 396$;

3) $14 < 23 < 27$;

4) $121 < 122 < 123$.

1) Данное неравенство $156 < 172$ является строгим. Знак "$<$" читается как "меньше". Первое число (156) читается в именительном падеже, а второе (172) — в родительном. Таким образом, полное прочтение звучит так: сто пятьдесят шесть меньше ста семидесяти двух.

Ответ: сто пятьдесят шесть меньше ста семидесяти двух.

2) Неравенство $402 > 396$ является строгим. Знак "$>$" читается как "больше". Первое число (402) стоит в именительном падеже, а второе (396) — в родительном. Полное прочтение: четыреста два больше трёхсот девяноста шести.

Ответ: четыреста два больше трёхсот девяноста шести.

3) Запись $14 < 23 < 27$ представляет собой двойное неравенство. Оно показывает, что число 23 находится в интервале между 14 и 27. Читать его удобнее всего, начиная со среднего числа: "число двадцать три больше четырнадцати, но меньше двадцати семи". Другой возможный вариант — это дословное прочтение слева направо: "четырнадцать меньше двадцати трёх, а двадцать три меньше двадцати семи".

Ответ: число двадцать три больше четырнадцати, но меньше двадцати семи.

4) Запись $121 < 122 < 123$ — это также двойное неравенство, которое показывает, что число 122 заключено между числами 121 и 123. Наиболее распространенный способ прочтения таких неравенств — начиная со среднего числа: "число сто двадцать два больше ста двадцати одного, но меньше ста двадцати трёх". Также возможно и последовательное прочтение: "сто двадцать один меньше ста двадцати двух, а сто двадцать два меньше ста двадцати трёх".

Ответ: число сто двадцать два больше ста двадцати одного, но меньше ста двадцати трёх.

2. Запишите в виде неравенства утверждение:

1) $7 < 12$;

2) $92 > 43$;

3) $15 < 19 < 21$;

4) $80 < 84 < 90$.

1) Утверждение "7 меньше 12" означает, что число 7 стоит на числовой прямой левее, чем число 12. Для записи этого отношения используется знак "меньше" (<).
Таким образом, утверждение в виде неравенства будет выглядеть так: $7 < 12$.
Ответ: $7 < 12$.

2) Утверждение "92 больше 43" означает, что число 92 стоит на числовой прямой правее, чем число 43. Для записи этого отношения используется знак "больше" (>).
Таким образом, утверждение в виде неравенства будет выглядеть так: $92 > 43$.
Ответ: $92 > 43$.

3) Утверждение "19 больше 15, но меньше 21" представляет собой двойное неравенство. Оно объединяет два условия:
1. 19 больше 15, что записывается как $19 > 15$ (или, что то же самое, $15 < 19$).
2. 19 меньше 21, что записывается как $19 < 21$.
Объединив эти два неравенства, получаем: $15 < 19 < 21$.
Ответ: $15 < 19 < 21$.

4) Утверждение "84 меньше 90, но больше 80" также является двойным неравенством. Оно объединяет два условия:
1. 84 меньше 90, что записывается как $84 < 90$.
2. 84 больше 80, что записывается как $84 > 80$ (или, что то же самое, $80 < 84$).
Объединив эти два неравенства, получаем: $80 < 84 < 90$.
Ответ: $80 < 84 < 90$.

3. Запишите в виде двойного неравенства утверждение:

1) $43 < a < 44$;

2) $255 < b < 260$.

1) Нам даны два утверждения в виде неравенств: $43 < a$ и $44 > a$. Первое неравенство $43 < a$ говорит о том, что число $a$ больше 43. Второе неравенство $44 > a$ можно переписать в более привычном виде как $a < 44$, что означает, что число $a$ меньше 44. Чтобы объединить эти два условия в одно двойное неравенство, мы должны показать, что $a$ находится между 43 и 44. Для этого мы записываем меньшее число слева, большее справа, а переменную $a$ между ними, сохраняя знаки неравенства.
Ответ: $43 < a < 44$

2) Нам даны два неравенства: $260 > b$ и $b > 255$. Первое неравенство $260 > b$ эквивалентно неравенству $b < 260$, то есть число $b$ меньше 260. Второе неравенство $b > 255$ говорит о том, что число $b$ больше 255. Совмещая эти два условия, мы получаем, что число $b$ одновременно больше 255 и меньше 260. Это записывается в виде двойного неравенства, где числа расположены в порядке возрастания.
Ответ: $255 < b < 260$

4. Сравните числа:

1) 10 211 и 9999;

2) 12 963 и 12 876;

3) 4 605 006 и 464 354;

4) 2 543 876 и 3 543 880.

1) Для сравнения чисел 10 211 и 9999 необходимо сначала определить количество цифр в каждом из них. Число 10 211 состоит из 5 цифр, а число 9999 — из 4 цифр. Из двух натуральных чисел больше то, в котором больше цифр. Следовательно, 10 211 больше, чем 9999.
Ответ: $10211 > 9999$.

2) Оба числа, 12 963 и 12 876, являются пятизначными. Для их сравнения будем поразрядно сравнивать цифры слева направо, начиная со старшего разряда.
- Цифры в разряде десятков тысяч одинаковы: $1=1$.
- Цифры в разряде тысяч одинаковы: $2=2$.
- Цифры в разряде сотен различаются: у первого числа это 9, а у второго — 8.
Так как $9 > 8$, то и число 12 963 больше числа 12 876.
Ответ: $12963 > 12876$.

3) Сравним числа 4 605 006 и 464 354. Число 4 605 006 состоит из 7 цифр (семизначное), а число 464 354 состоит из 6 цифр (шестизначное). Число, в котором больше цифр, является большим. Таким образом, 4 605 006 больше, чем 464 354.
Ответ: $4605006 > 464354$.

4) Оба числа, 2 543 876 и 3 543 880, являются семизначными. Сравним их поразрядно, начиная со старшего разряда (миллионов). У первого числа в разряде миллионов стоит цифра 2, а у второго — цифра 3. Поскольку $2 < 3$, первое число меньше второго, независимо от остальных цифр.
Ответ: $2543876 < 3543880$.

5. Сравните числа:

1) 8463 и 84 111;

2) 57 004 и 56 986;

3) 101 003 и 101 020;

4) 1 000 009 и 1 001 000.

1) 8463 и 84 111

Для сравнения двух натуральных чисел сначала определяем количество цифр в каждом из них. Число, в котором больше цифр, является большим.

В числе 8463 содержится 4 цифры.

В числе 84 111 содержится 5 цифр.

Поскольку количество цифр в числе 84 111 больше, чем в числе 8463 ($5 > 4$), то число 84 111 больше.

Ответ: $8463 < 84111$.

2) 57 004 и 56 986

Оба числа, 57 004 и 56 986, являются пятизначными, то есть имеют одинаковое количество цифр. В этом случае мы сравниваем цифры в одинаковых разрядах, начиная со старшего (слева направо).

Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч: $5 = 5$.

Так как первые цифры равны, переходим к следующему разряду – разряду тысяч. Сравниваем цифры в этом разряде: $7$ и $6$.

Поскольку $7 > 6$, то число 57 004 больше, чем число 56 986.

Ответ: $57004 > 56986$.

3) 101 003 и 101 020

Оба числа имеют по шесть цифр. Начнем их поразрядное сравнение слева направо.

Цифры в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч и тысяч совпадают: первые три цифры у обоих чисел — 101.

Сравниваем цифры в разряде сотен: $0 = 0$.

Сравниваем цифры в разряде десятков: $0$ и $2$.

Так как $0 < 2$, то число 101 003 меньше, чем число 101 020.

Ответ: $101003 < 101020$.

4) 1 000 009 и 1 001 000

Оба числа являются семизначными. Проведем поразрядное сравнение слева направо.

Сравниваем цифры в разряде миллионов: $1 = 1$.

Сравниваем цифры в разряде сотен тысяч: $0 = 0$.

Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч: $0 = 0$.

Сравниваем цифры в разряде тысяч: $0$ и $1$.

Поскольку $0 < 1$, то число 1 000 009 меньше, чем число 1 001 000.

Ответ: $1000009 < 1001000$.

6. В таблице приведены длины некоторых рек России. Запишите названия этих рек в порядке уменьшения их длин.

Для того чтобы записать названия рек в порядке уменьшения их длин, необходимо сравнить числовые значения длин, представленные в таблице, и расположить их от самого большого к самому маленькому.

Выпишем названия рек и их длины из таблицы:

• Волга — 3530 км
• Дон — 1870 км
• Енисей — 3487 км
• Печора — 1809 км
• Кама — 1805 км
• Лена — 4400 км
• Ока — 1500 км
• Обь — 3660 км

Теперь сравним эти числа и расположим их в порядке убывания:

$4400 > 3660 > 3530 > 3487 > 1870 > 1809 > 1805 > 1500$

Сопоставим каждой длине соответствующее название реки:

1. Лена (4400 км)
2. Обь (3660 км)
3. Волга (3530 км)
4. Енисей (3487 км)
5. Дон (1870 км)
6. Печора (1809 км)
7. Кама (1805 км)
8. Ока (1500 км)

Ответ: Лена, Обь, Волга, Енисей, Дон, Печора, Кама, Ока.

7. (Домашняя практическая работа) Расположите в порядке возрастания числа 18 010 У, 17 490 У, 18 350 В, 18 305 О, 18 008 Т, 17 409 К, 18 035 З. Буквы, соответствующие данным числам, образуют фамилию выдающегося русского полководца. Найдите в Интернете сведения об этом полководце, в каких войнах он участвовал.

Расшифровка фамилии полководца

Первая часть задачи состоит в том, чтобы расположить предложенные числа в порядке возрастания и из соответствующих им букв составить фамилию.

Исходные данные:
18 010 – У
17 490 – У
18 350 – В
18 305 – О
18 008 – Т
17 409 – К
18 035 – З

Сравниваем числа и расставляем их от наименьшего к наибольшему:

1. Самые маленькие числа — те, что начинаются с 17. Сравниваем 17 409 и 17 490.
$17 409 < 17 490$. Первые две буквы: К, У.

2. Далее идут числа, начинающиеся с 18. Сначала выберем те, у которых в разряде сотен 0: 18 008, 18 010, 18 035.
$18 008 < 18 010 < 18 035$. Следующие три буквы: Т, У, З.

3. Остались числа 18 305 и 18 350.
$18 305 < 18 350$. Последние две буквы: О, В.

Сопоставим отсортированные числа с их буквами:
17 409 → К
17 490 → У
18 008 → Т
18 010 → У
18 035 → З
18 305 → О
18 350 → В

Соединив буквы в этом порядке, получаем фамилию.
Ответ: КУТУЗОВ.

Сведения о полководце и войнах с его участием

Зашифрованная фамилия – Кутузов, Михаил Илларионович (1745–1813). Это выдающийся русский полководец, государственный деятель и дипломат, генерал-фельдмаршал, главнокомандующий русской армией во время Отечественной войны 1812 года.

М. И. Кутузов принимал участие в следующих войнах и военных кампаниях:

• Русско-польская война (война с Барской конфедерацией, 1768—1772): В начале своей военной карьеры участвовал в боевых действиях на территории Польши.
• Русско-турецкие войны (1768—1774 и 1787—1791): В этих войнах Кутузов проявил себя как храбрый и талантливый офицер. Он получил два тяжелых ранения в голову, одно из которых привело к потере правого глаза. Отличился при штурме крепости Измаил под командованием А. В. Суворова.
• Война третьей коалиции (1805): Командуя русской армией в союзе с австрийцами против Наполеона, совершил знаменитый марш-манёвр, чтобы спасти армию от окружения. Несмотря на поражение в битве при Аустерлице, его действия получили высокую оценку.
• Русско-турецкая война (1806—1812): В 1811 году был назначен главнокомандующим Молдавской армией. Его решительные действия привели к разгрому турок и заключению выгодного для России Бухарестского мирного договора, что обезопасило южные границы страны перед войной с Наполеоном.
• Отечественная война 1812 года: Является ключевой фигурой этой войны. Будучи назначенным главнокомандующим, дал генеральное сражение при Бородино. Принял стратегически важное решение об оставлении Москвы для сохранения армии. Впоследствии организовал контрнаступление, которое привело к практически полному уничтожению армии Наполеона. За победу в войне был удостоен титула светлейшего князя Смоленского.

Ответ: Выдающийся русский полководец – Михаил Илларионович Кутузов. Он участвовал в русско-польских войнах, двух русско-турецких войнах и Наполеоновских войнах, включая Отечественную войну 1812 года.

8. Прочитайте данное равенство и объясните, до какого разряда выполнено округление:

1) $3675 \approx 3680;$

2) $3675 \approx 3700;$

3) $16451 \approx 16000;$

4) $16451 \approx 20000.$

Чтобы определить, до какого разряда выполнено округление, нужно посмотреть на получившееся число. Разряд последней значащей цифры (не нуля) слева и будет разрядом, до которого округлили. Затем нужно проверить правильность округления по общим правилам:

• Если цифра, следующая за разрядом, до которого округляют, равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в этом разряде оставляют без изменений, а все последующие заменяют нулями.
• Если цифра, следующая за разрядом, до которого округляют, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в этом разряде увеличивают на 1, а все последующие заменяют нулями.

Равенство читается так: «три тысячи шестьсот семьдесят пять приблизительно равно трём тысячам шестистам восьмидесяти». В округлённом числе $3680$ последняя цифра, отличная от нуля, — это $8$. Она стоит в разряде десятков. Следовательно, округление выполнено до десятков. Проверим: чтобы округлить $3675$ до десятков, смотрим на следующую цифру — в разряде единиц стоит $5$. По правилу округления, цифру в разряде десятков ($7$) нужно увеличить на единицу ($7+1=8$), а цифру в разряде единиц заменить нулём. Получаем $3680$. Округление выполнено верно.
Ответ: округление выполнено до разряда десятков.

Равенство читается так: «три тысячи шестьсот семьдесят пять приблизительно равно трём тысячам семистам». В округлённом числе $3700$ последняя цифра, отличная от нуля, — это $7$. Она стоит в разряде сотен. Следовательно, округление выполнено до сотен. Проверим: чтобы округлить $3675$ до сотен, смотрим на следующую цифру — в разряде десятков стоит $7$. По правилу округления, цифру в разряде сотен ($6$) нужно увеличить на единицу ($6+1=7$), а все последующие цифры (десятки и единицы) заменить нулями. Получаем $3700$. Округление выполнено верно.
Ответ: округление выполнено до разряда сотен.

Равенство читается так: «шестнадцать тысяч четыреста пятьдесят один приблизительно равно шестнадцати тысячам». В округлённом числе $16 000$ последняя цифра, отличная от нуля, — это $6$. Она стоит в разряде тысяч (единиц тысяч). Следовательно, округление выполнено до тысяч. Проверим: чтобы округлить $16 451$ до тысяч, смотрим на следующую цифру — в разряде сотен стоит $4$. По правилу округления, цифру в разряде тысяч ($6$) нужно оставить без изменений, а все последующие цифры (сотни, десятки и единицы) заменить нулями. Получаем $16 000$. Округление выполнено верно.
Ответ: округление выполнено до разряда тысяч.

Равенство читается так: «шестнадцать тысяч четыреста пятьдесят один приблизительно равно двадцати тысячам». В округлённом числе $20 000$ последняя цифра, отличная от нуля, — это $2$. Она стоит в разряде десятков тысяч. Следовательно, округление выполнено до десятков тысяч. Проверим: чтобы округлить $16 451$ до десятков тысяч, смотрим на следующую цифру — в разряде тысяч стоит $6$. По правилу округления, цифру в разряде десятков тысяч ($1$) нужно увеличить на единицу ($1+1=2$), а все последующие цифры заменить нулями. Получаем $20 000$. Округление выполнено верно.
Ответ: округление выполнено до разряда десятков тысяч.

9. Округлите:

1) до десятков: 6713; 2385; 16 051; 849;

2) до тысяч: 7348; 11 209; 6643; 240 812;

3) до наивысшего разряда данного числа: 926; 8619; 12 764; 2 405 113.

1) до десятков: 6713; 2385; 16 051; 849;

Чтобы округлить число до десятков, необходимо посмотреть на цифру в разряде единиц (справа от разряда десятков). Если эта цифра от 0 до 4, то цифру в разряде десятков оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем на 0. Если в разряде единиц стоит цифра от 5 до 9, то цифру в разряде десятков увеличиваем на единицу, а цифру в разряде единиц заменяем на 0.

• 6713: в разряде единиц стоит 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону (оставляем разряд десятков без изменений). Получаем $6713 \approx 6710$.

• 2385: в разряде единиц стоит 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону (увеличиваем разряд десятков на 1). $8+1=9$. Получаем $2385 \approx 2390$.

• 16 051: в разряде единиц стоит 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $16051 \approx 16050$.

• 849: в разряде единиц стоит 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. $4+1=5$. Получаем $849 \approx 850$.

Ответ: 6710; 2390; 16 050; 850.

2) до тысяч: 7348; 11 209; 6643; 240 812;

Чтобы округлить число до тысяч, необходимо посмотреть на цифру в разряде сотен. Если эта цифра от 0 до 4, то цифру в разряде тысяч оставляем без изменений. Если цифра от 5 до 9, то цифру в разряде тысяч увеличиваем на единицу. Все последующие разряды (сотни, десятки, единицы) заменяем на нули.

• 7348: в разряде сотен стоит 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $7348 \approx 7000$.

• 11 209: в разряде сотен стоит 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $11209 \approx 11000$.

• 6643: в разряде сотен стоит 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону. $6+1=7$. Получаем $6643 \approx 7000$.

• 240 812: в разряде сотен стоит 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону. $240+1=241$. Получаем $240812 \approx 241000$.

Ответ: 7000; 11 000; 7000; 241 000.

3) до наивысшего разряда данного числа: 926; 8619; 12 764; 2 405 113.

Наивысший разряд числа — это разряд его первой слева цифры, отличной от нуля. Для округления до наивысшего разряда нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от него, и применить стандартное правило округления.

• 926: наивысший разряд — сотни (цифра 9). Справа от него стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $926 \approx 900$.

• 8619: наивысший разряд — тысячи (цифра 8). Справа от него стоит цифра 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону. $8+1=9$. Получаем $8619 \approx 9000$.

• 12 764: наивысший разряд — десятки тысяч (цифра 1). Справа от него стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $12764 \approx 10000$.

• 2 405 113: наивысший разряд — миллионы (цифра 2). Справа от него стоит цифра 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $2405113 \approx 2000000$.

Ответ: 900; 9000; 10 000; 2 000 000.