Страница 10 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

52. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа:

1) $12***$ и $14***$;

2) $**24$ и $*42$.

1) Для того чтобы сравнить числа $12***$ и $14***$, необходимо проанализировать их структуру. Оба числа являются пятизначными, так как в их записи используется пять знаков (цифры и звёздочки). Сравнение чисел с одинаковым количеством разрядов выполняется поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда.

Первый разряд (десятки тысяч) у обоих чисел одинаков и равен $1$.

Переходим к следующему разряду — разряду тысяч. У первого числа в этом разряде стоит цифра $2$, а у второго — цифра $4$.

Поскольку $2 < 4$, то первое число ($12***$) всегда будет меньше второго числа ($14***$), независимо от того, какие цифры заменяют звёздочки. Например, максимальное возможное значение первого числа — $12999$, а минимальное возможное значение второго числа — $14000$. Так как $12999 < 14000$, то и в общем случае $12*** < 14***$.

Ответ: $12*** < 14***$.

2) Сравним числа $**24$ и $*42$.

В первую очередь определим количество разрядов в каждом числе. Число $**24$ содержит четыре знака, следовательно, оно является четырёхзначным. Число $*42$ содержит три знака, следовательно, оно является трёхзначным.

При сравнении натуральных чисел то число, в котором больше разрядов, всегда больше. Любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного числа.

Наименьшее возможное значение для числа $**24$ равно $1024$ (так как число не может начинаться с нуля), а наибольшее возможное значение для числа $*42$ равно $942$.

Так как $1024 > 942$, то число $**24$ всегда будет больше числа $*42$.

Ответ: $**24 > *42$.

53. Сравните:

1) 2796 м и 3 км;

2) 4 кг 85 г и 4210 г;

3) 7 м и 685 см;

4) 54 ц 48 кг и 5 т 448 кг;

5) 9 мин и 600 с;

6) 2 ч 20 мин и 220 мин.

1) Для того чтобы сравнить 2796 м и 3 км, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем километры в метры. Мы знаем, что в одном километре содержится 1000 метров.
$3 \text{ км} = 3 \cdot 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$.
Теперь сравним полученные значения: $2796 \text{ м}$ и $3000 \text{ м}$.
Поскольку $2796 < 3000$, то $2796 \text{ м} < 3 \text{ км}$.
Ответ: $2796 \text{ м} < 3 \text{ км}$.

2) Для сравнения 4 кг 85 г и 4210 г, приведем обе величины к граммам. Мы знаем, что в одном килограмме 1000 граммов.
$4 \text{ кг } 85 \text{ г} = 4 \cdot 1000 \text{ г} + 85 \text{ г} = 4000 \text{ г} + 85 \text{ г} = 4085 \text{ г}$.
Теперь сравним $4085 \text{ г}$ и $4210 \text{ г}$.
Поскольку $4085 < 4210$, то $4 \text{ кг } 85 \text{ г} < 4210 \text{ г}$.
Ответ: $4 \text{ кг } 85 \text{ г} < 4210 \text{ г}$.

3) Для сравнения 7 м и 685 см, приведем метры к сантиметрам. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров.
$7 \text{ м} = 7 \cdot 100 \text{ см} = 700 \text{ см}$.
Теперь сравним $700 \text{ см}$ и $685 \text{ см}$.
Поскольку $700 > 685$, то $7 \text{ м} > 685 \text{ см}$.
Ответ: $7 \text{ м} > 685 \text{ см}$.

4) Для сравнения 54 ц 48 кг и 5 т 448 кг, приведем обе величины к килограммам. Мы знаем, что в одном центнере 100 килограммов, а в одной тонне 1000 килограммов.
$54 \text{ ц } 48 \text{ кг} = 54 \cdot 100 \text{ кг} + 48 \text{ кг} = 5400 \text{ кг} + 48 \text{ кг} = 5448 \text{ кг}$.
$5 \text{ т } 448 \text{ кг} = 5 \cdot 1000 \text{ кг} + 448 \text{ кг} = 5000 \text{ кг} + 448 \text{ кг} = 5448 \text{ кг}$.
Теперь сравним полученные значения: $5448 \text{ кг}$ и $5448 \text{ кг}$.
Поскольку $5448 = 5448$, то $54 \text{ ц } 48 \text{ кг} = 5 \text{ т } 448 \text{ кг}$.
Ответ: $54 \text{ ц } 48 \text{ кг} = 5 \text{ т } 448 \text{ кг}$.

5) Для сравнения 9 мин и 600 с, приведем минуты к секундам. Мы знаем, что в одной минуте 60 секунд.
$9 \text{ мин} = 9 \cdot 60 \text{ с} = 540 \text{ с}$.
Теперь сравним $540 \text{ с}$ и $600 \text{ с}$.
Поскольку $540 < 600$, то $9 \text{ мин} < 600 \text{ с}$.
Ответ: $9 \text{ мин} < 600 \text{ с}$.

6) Для сравнения 2 ч 20 мин и 220 мин, приведем часы и минуты к минутам. Мы знаем, что в одном часе 60 минут.
$2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2 \cdot 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 140 \text{ мин}$.
Теперь сравним $140 \text{ мин}$ и $220 \text{ мин}$.
Поскольку $140 < 220$, то $2 \text{ ч } 20 \text{ мин} < 220 \text{ мин}$.
Ответ: $2 \text{ ч } 20 \text{ мин} < 220 \text{ мин}$.

54. Сравните:

1) $9 \text{ см}$ и $3 \text{ дм}$;

2) $5 \text{ км } 64 \text{ м}$ и $5125 \text{ м}$;

3) $6 \text{ ц}$ и $587 \text{ кг}$;

4) $80 \text{ с}$ и $1 \text{ мин } 30 \text{ с}.`

1) Чтобы сравнить 9 см и 3 дм, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Известно, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Следовательно, $3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$. Теперь сравним полученные значения: 9 см и 30 см. Поскольку $9 < 30$, то $9 \text{ см} < 30 \text{ см}$, а значит $9 \text{ см} < 3 \text{ дм}$. Ответ: $9 \text{ см} < 3 \text{ дм}$.

2) Чтобы сравнить 5 км 64 м и 5125 м, приведем обе величины к метрам. Известно, что в одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Тогда $5 \text{ км } 64 \text{ м} = 5 \times 1000 \text{ м} + 64 \text{ м} = 5000 \text{ м} + 64 \text{ м} = 5064 \text{ м}$. Теперь сравним 5064 м и 5125 м. Поскольку $5064 < 5125$, то $5064 \text{ м} < 5125 \text{ м}$, а значит $5 \text{ км } 64 \text{ м} < 5125 \text{ м}$. Ответ: $5 \text{ км } 64 \text{ м} < 5125 \text{ м}$.

3) Чтобы сравнить 6 ц и 587 кг, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем центнеры (ц) в килограммы (кг). Известно, что в одном центнере 100 килограммов: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. Следовательно, $6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$. Теперь сравним 600 кг и 587 кг. Поскольку $600 > 587$, то $600 \text{ кг} > 587 \text{ кг}$, а значит $6 \text{ ц} > 587 \text{ кг}$. Ответ: $6 \text{ ц} > 587 \text{ кг}$.

4) Чтобы сравнить 80 с и 1 мин 30 с, приведем обе величины к секундам (с). Известно, что в одной минуте 60 секунд: $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$. Тогда $1 \text{ мин } 30 \text{ с} = 1 \times 60 \text{ с} + 30 \text{ с} = 60 \text{ с} + 30 \text{ с} = 90 \text{ с}$. Теперь сравним 80 с и 90 с. Поскольку $80 < 90$, то $80 \text{ с} < 90 \text{ с}$, а значит $80 \text{ с} < 1 \text{ мин } 30 \text{ с}$. Ответ: $80 \text{ с} < 1 \text{ мин } 30 \text{ с}$.

55. В кинотеатре есть два зрительных зала. В таблице приведены данные о количестве посетителей кинотеатра в течение трёх месяцев.

1) Сколько зрителей посетили оба зала кинотеатра в мае?

2) Сколько зрителей посетили зал № 1 в течение данных трёх месяцев?

3) Сколько зрителей посетили зал № 2 в июне?

4) На сколько больше зрителей посетило зал № 2 в мае, чем в апреле?

1) Сколько зрителей посетили оба зала кинотеатра в мае?
Чтобы найти общее количество зрителей в мае, нужно сложить количество зрителей в зале № 1 и в зале № 2 за этот месяц.
Из таблицы видно, что в мае зал № 1 посетило 9200 человек, а зал № 2 — 11600 человек.
$9200 + 11600 = 20800$ (зрителей).
Ответ: 20800

2) Сколько зрителей посетили зал № 1 в течение данных трёх месяцев?
Чтобы найти общее количество зрителей в зале № 1 за три месяца, нужно сложить количество посетителей за апрель, май и июнь.
Из таблицы:
Апрель: 8800 зрителей.
Май: 9200 зрителей.
Июнь: 9150 зрителей.
$8800 + 9200 + 9150 = 27150$ (зрителей).
Ответ: 27150

3) Сколько зрителей посетили зал № 2 в июне?
В таблице указано общее количество зрителей за июнь (Итого) — 18970 человек, и количество зрителей в зале № 1 за июнь — 9150 человек.
Чтобы найти количество зрителей в зале № 2 в июне, нужно из общего числа зрителей за июнь вычесть число зрителей в зале № 1.
$18970 - 9150 = 9820$ (зрителей).
Ответ: 9820

4) На сколько больше зрителей посетило зал № 2 в мае, чем в апреле?
Сначала найдём, сколько зрителей посетило зал № 2 в апреле. В таблице указано общее количество зрителей в зале № 2 за три месяца (Всего) — 31820 человек. Мы знаем количество зрителей в мае (11600) и, из предыдущего пункта, в июне (9820).
Вычтем из общего количества посетителей зала № 2 число зрителей за май и июнь, чтобы найти, сколько их было в апреле:
$31820 - 11600 - 9820 = 10400$ (зрителей) в апреле.
Теперь сравним количество зрителей в зале № 2 в мае (11600) и в апреле (10400). Для этого вычтем из большего числа меньшее:
$11600 - 10400 = 1200$ (зрителей).
Ответ: 1200

56. В таблице приведены размеры выручки магазина канцтоваров от продажи тетрадей, ручек и карандашей в течение трёх месяцев.

1) На какую сумму были проданы тетради за данные три месяца?

2) На какую сумму были проданы карандаши в августе?

3) На сколько рублей больше магазин выручил от продажи ручек, чем карандашей, в течение данных трёх месяцев?

4) На сколько рублей меньше магазин выручил от продажи карандашей в июле, чем в сентябре?

5) Сколько рублей составила общая выручка магазина от продажи указанных товаров за данные три месяца?

1) На какую сумму были проданы тетради за данные три месяца?

Чтобы найти общую выручку от продажи тетрадей за три месяца, необходимо сложить выручку за каждый из трёх месяцев: июль, август и сентябрь.

$36450 + 102820 + 93640 = 232910$ (р.)

Ответ: 232 910 рублей.

2) На какую сумму были проданы карандаши в августе?

Из таблицы известно, что общая выручка за август составила 300 000 рублей. Чтобы найти выручку от продажи карандашей в этом месяце, нужно из общей суммы вычесть выручку от продажи тетрадей и ручек в августе.

$300000 - (102820 + 134700) = 300000 - 237520 = 62480$ (р.)

Ответ: 62 480 рублей.

3) На сколько рублей больше магазин выручил от продажи ручек, чем карандашей, в течение данных трёх месяцев?

Сначала найдём общую выручку от продажи ручек за три месяца:

$40160 + 134700 + 106950 = 281810$ (р.)

Общая выручка от продажи карандашей за три месяца указана в таблице и составляет 123 530 р. Теперь найдём разницу между выручкой от продажи ручек и карандашей:

$281810 - 123530 = 158280$ (р.)

Ответ: на 158 280 рублей.

4) На сколько рублей меньше магазин выручил от продажи карандашей в июле, чем в сентябре?

Сначала нужно найти выручку от продажи карандашей в сентябре. Мы знаем общую выручку от карандашей (123 530 р.), выручку за июль (28 480 р.) и выручку за август (62 480 р., найдено в пункте 2).

Выручка за сентябрь: $123530 - 28480 - 62480 = 32570$ (р.)

Теперь найдём, на сколько выручка в июле меньше, чем в сентябре:

$32570 - 28480 = 4090$ (р.)

Ответ: на 4 090 рублей.

5) Сколько рублей составила общая выручка магазина от продажи указанных товаров за данные три месяца?

Для нахождения общей выручки сложим итоговые суммы по каждому виду товара за три месяца:

• Тетради: 232 910 р. (из пункта 1)
• Ручки: 281 810 р. (из пункта 3)
• Карандаши: 123 530 р. (из таблицы)

Общая сумма:

$232910 + 281810 + 123530 = 638250$ (р.)

Ответ: 638 250 рублей.