Номер 79, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Действия с натуральными числами. Глава 1. Натуральные числа - номер 79, страница 13.

Условие.

79. Проверьте, верно ли равенство:

1) $1 + 3 = 2^2$;

2) $1 + 3 + 5 = 3^2$;

3) $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$

Выскажите гипотезу, чему равна сумма первых $n$ нечётных чисел.

Проверьте свою гипотезу для $n = 7$. Обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

Решение.

Решение 2.

1) Проверим равенство $1 + 3 = 2^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 = 4$. Вычислим правую часть: $2^2 = 4$. Поскольку $4 = 4$, равенство является верным. Ответ: верно.

2) Проверим равенство $1 + 3 + 5 = 3^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 + 5 = 9$. Вычислим правую часть: $3^2 = 9$. Поскольку $9 = 9$, равенство является верным. Ответ: верно.

3) Проверим равенство $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Вычислим левую часть: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Вычислим правую часть: $4^2 = 16$. Поскольку $16 = 16$, равенство является верным. Ответ: верно.

Выскажите гипотезу, чему равна сумма первых n нечётных чисел.
Проанализировав приведённые равенства, можно заметить закономерность:
• Сумма первых двух нечётных чисел ($1$ и $3$) равна $2^2$.
• Сумма первых трёх нечётных чисел ($1, 3, 5$) равна $3^2$.
• Сумма первых четырёх нечётных чисел ($1, 3, 5, 7$) равна $4^2$.
Отсюда можно сформулировать гипотезу: сумма первых $n$ нечётных натуральных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.
В виде формулы эта гипотеза выглядит так: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

Проверьте свою гипотезу для n = 7.
Согласно гипотезе, сумма первых 7 нечётных чисел должна быть равна $7^2$.
Найдём первые 7 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Теперь вычислим их сумму прямым сложением: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49$.
По нашей гипотезе, результат должен быть $n^2 = 7^2 = 49$.
Так как результат прямого сложения ($49$) совпадает с результатом, предсказанным гипотезой ($49$), гипотеза подтверждается для случая $n=7$.
Ответ: гипотеза для $n=7$ верна.