Страница 53 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

243. Точка $E$ — середина стороны $AD$ квадрата $ABCD$ (рис. 47). Площадь треугольника $AOE$ равна $6\text{ см}^2$. Найдите площадь:

1) треугольника $AOD$;

2) треугольника $BAD$;

3) квадрата $ABCD$.

Рис. 47

По условию задачи, ABCD — это квадрат, точка E — середина стороны AD, а площадь треугольника AOE равна 6 см². Точка O — точка пересечения диагоналей квадрата.

1) площадь треугольника AOD

Рассмотрим треугольник AOD. Отрезок OE соединяет вершину O с серединой стороны AD (точкой E). По определению, OE является медианой треугольника AOD.

Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями (равновеликих). Следовательно, площадь треугольника AOE равна площади треугольника DOE.

$S_{AOE} = S_{DOE} = 6 \text{ см}^2$

Площадь треугольника AOD равна сумме площадей треугольников AOE и DOE:

$S_{AOD} = S_{AOE} + S_{DOE} = 6 + 6 = 12 \text{ см}^2$

Ответ: 12 см²

2) площадь треугольника BAD

Диагонали квадрата делят его на четыре равных по площади прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Следовательно, $S_{AOD} = S_{AOB} = 12 \text{ см}^2$.

Треугольник BAD состоит из двух треугольников: $\triangle AOD$ и $\triangle AOB$. Его площадь равна сумме их площадей:

$S_{BAD} = S_{AOD} + S_{AOB} = 12 + 12 = 24 \text{ см}^2$

Ответ: 24 см²

3) площадь квадрата ABCD

Площадь квадрата ABCD равна сумме площадей четырех треугольников, на которые его делят диагонали:

$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$

Так как площади этих треугольников равны, то:

$S_{ABCD} = 4 \times S_{AOD} = 4 \times 12 = 48 \text{ см}^2$

Также можно найти площадь квадрата, удвоив площадь треугольника BAD, так как диагональ BD делит квадрат на два равных треугольника:

$S_{ABCD} = 2 \times S_{BAD} = 2 \times 24 = 48 \text{ см}^2$

Ответ: 48 см²

244. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник ABC и укажите его вид, если:

1) две его стороны равны 2 см 5 мм и 5 см, а угол между ними — $130^\circ$;

2) две его стороны равны по 3 см 5 мм, а угол между ними — $54^\circ$;

3) сторона $AB$ равна 4 см, а углы $CAB$ и $CBA$ соответственно равны $30^\circ$ и $70^\circ$;

4) сторона $AB$ равна 3 см, а углы $CAB$ и $CBA$ соответственно равны $100^\circ$ и $20^\circ$;

5) сторона $BC$ равна 5 см 5 мм, а углы $ABC$ и $BCA$ равны по $45^\circ$;

6) сторона $AC$ равна 5 см, а углы $BAC$ и $BCA$ равны по $60^\circ$.

1) Сначала построим одну из сторон, например, отрезок $AB$ длиной 5 см. Затем с помощью транспортира отложим от точки $A$ угол, равный $130^\circ$. На луче, который образует этот угол, отложим отрезок $AC$ длиной 2 см 5 мм (2,5 см). Соединим точки $B$ и $C$. Получившийся треугольник $ABC$ имеет угол $130^\circ$, который больше $90^\circ$, следовательно, он тупоугольный. Стороны у него равны 5 см, 2,5 см и третья сторона, которая не будет равна ни одной из них. Следовательно, он разносторонний.
Ответ: тупоугольный, разносторонний.

2) Построим отрезок $AB$ длиной 3 см 5 мм (3,5 см). От точки $A$ с помощью транспортира отложим угол $54^\circ$. На полученном луче отложим отрезок $AC$ длиной 3,5 см. Соединим точки $B$ и $C$. В треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AB = AC = 3,5$ см), значит, он равнобедренный. Углы при основании $BC$ будут равны: $(180^\circ - 54^\circ) / 2 = 126^\circ / 2 = 63^\circ$. Все углы ($54^\circ, 63^\circ, 63^\circ$) меньше $90^\circ$, следовательно, треугольник остроугольный.
Ответ: остроугольный, равнобедренный.

3) С помощью линейки построим сторону $AB$ длиной 4 см. От точки $A$ отложим угол $CAB$, равный $30^\circ$, и проведем луч. От точки $B$ отложим угол $CBA$, равный $70^\circ$, и проведем луч. Точка пересечения лучей будет вершиной $C$. Найдем третий угол треугольника: $180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Все углы ($30^\circ, 70^\circ, 80^\circ$) острые, значит, треугольник остроугольный. Так как все углы разные, то и все стороны будут разными. Следовательно, он разносторонний.
Ответ: остроугольный, разносторонний.

4) Построим сторону $AB$ длиной 3 см. От точки $A$ отложим угол $CAB$, равный $100^\circ$, и проведем луч. От точки $B$ отложим угол $CBA$, равный $20^\circ$, и проведем луч. Точка их пересечения будет вершиной $C$. Угол $A$ равен $100^\circ$, что больше $90^\circ$, значит, треугольник тупоугольный. Третий угол равен $180^\circ - (100^\circ + 20^\circ) = 60^\circ$. Все углы ($100^\circ, 20^\circ, 60^\circ$) разные, следовательно, все стороны разные. Треугольник разносторонний.
Ответ: тупоугольный, разносторонний.

5) Построим сторону $BC$ длиной 5 см 5 мм (5,5 см). От точки $B$ отложим угол $ABC$, равный $45^\circ$. От точки $C$ отложим угол $BCA$, равный $45^\circ$. Точка пересечения лучей будет вершиной $A$. Два угла треугольника равны ($ \angle B = \angle C = 45^\circ$), значит, треугольник равнобедренный. Найдем третий угол: $180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как один из углов равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный, равнобедренный.

6) Построим сторону $AC$ длиной 5 см. От точки $A$ отложим угол $BAC$, равный $60^\circ$. От точки $C$ отложим угол $BCA$, равный $60^\circ$. Точка пересечения лучей будет вершиной $B$. Найдем третий угол: $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Все три угла равны $60^\circ$, значит, треугольник является равносторонним. Так как все углы меньше $90^\circ$, он также является остроугольным.
Ответ: остроугольный, равносторонний.

245. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник ABC и укажите его вид, если:

1) две стороны равны 3 см и 4 см, а угол между ними – $90^\circ$;

2) две стороны равны по 4 см и 5 мм, а угол между ними – $60^\circ$;

3) сторона $AB$ равна 6 см, а углы $CAB$ и $CBA$ равны соответственно $90^\circ$ и $45^\circ$;

4) сторона $BC$ равна 5 см, а углы $ABC$ и $ACB$ равны по $35^\circ$.

Рис. 48

1) две стороны равны 3 см и 4 см, а угол между ними — 90°

Построение:

1. С помощью линейки строим отрезок AB длиной 3 см.
2. От вершины A с помощью транспортира откладываем угол, равный 90°.
3. По построенной стороне угла откладываем отрезок AC длиной 4 см.
4. Соединяем точки B и C. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

По построению угол $\angle A = 90^\circ$, следовательно, треугольник ABC — прямоугольный. Найдем длину третьей стороны (гипотенузы) BC по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Длины сторон треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Так как все стороны имеют разную длину, треугольник является разносторонним.

Ответ: Прямоугольный разносторонний треугольник.

2) две стороны равны по 4 см 5 мм, а угол между ними — 60°

Построение:

1. Переведем 4 см 5 мм в сантиметры: 4,5 см.
2. С помощью линейки строим отрезок AB длиной 4,5 см.
3. От вершины A с помощью транспортира откладываем угол, равный 60°.
4. По построенной стороне угла откладываем отрезок AC длиной 4,5 см.
5. Соединяем точки B и C. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

По построению две стороны равны ($AB = AC = 4,5$ см), следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем углы B и C: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. Так как все три угла треугольника равны по 60°, он является равносторонним. Все его стороны равны 4,5 см. Также он является остроугольным, так как все углы острые.

Ответ: Равносторонний треугольник.

3) сторона AB равна 6 см, а углы CAB и CBA равны соответственно 90° и 45°

Построение:

1. С помощью линейки строим отрезок AB длиной 6 см.
2. От вершины A с помощью транспортира откладываем угол $\angle CAB$, равный 90°, и проводим луч.
3. От вершины B с помощью транспортира откладываем угол $\angle CBA$, равный 45°, и проводим луч.
4. Точка пересечения двух лучей является вершиной C. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

По условию $\angle A = 90^\circ$, значит, треугольник является прямоугольным. Найдем третий угол C: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Поскольку в треугольнике два угла равны ($\angle B = \angle C = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AC = AB = 6$ см.

Ответ: Прямоугольный равнобедренный треугольник.

4) сторона BC равна 5 см, а углы ABC и ACB равны по 35°

Построение:

1. С помощью линейки строим отрезок BC длиной 5 см.
2. От вершины B с помощью транспортира откладываем угол $\angle ABC$, равный 35°, и проводим луч.
3. От вершины C с помощью транспортира откладываем угол $\angle ACB$, равный 35°, и проводим луч.
4. Точка пересечения двух лучей является вершиной A. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

По условию два угла при основании BC равны ($\angle B = \angle C = 35^\circ$), следовательно, треугольник является равнобедренным. Найдем третий угол A: $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Так как один из углов треугольника (угол A) больше 90°, он является тупоугольным.

Ответ: Тупоугольный равнобедренный треугольник.

246. Из листа жести вырезали фигуру, изображённую на рисунке 48 (размеры даны в метрах).

1) Найдите периметр и площадь полученной фигуры.

Рис. 48

2) Сколько краски потребуется для окрашивания фигуры с двух сторон, если расход краски на однослойное покрытие $1 \text{ м}^2$ составляет 200 г. Ответ выразите в килограммах и граммах.

1) Сначала найдем периметр и площадь полученной фигуры.

Нахождение периметра (P).

Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Сложим длины всех горизонтальных и вертикальных отрезков, образующих границу фигуры. Размеры на рисунке даны в метрах.

Сумма длин всех горизонтальных отрезков состоит из двух отрезков по 2 м сверху и двух по 2 м снизу; двух отрезков в верхней и нижней выемках, длина каждого из которых $6 - 2 - 2 = 2$ м; а также четырех отрезков в боковых выемках, длина каждого из которых 1 м. Итого: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 16$ м.

Сумма длин всех вертикальных отрезков состоит из двух отрезков по 2 м слева и двух по 2 м справа; двух отрезков в левой и правой выемках, длина каждого из которых $5 - 2 - 2 = 1$ м; а также четырех отрезков в верхней и нижней выемках, длина каждого из которых 1 м. Итого: $2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14$ м.

Общий периметр фигуры равен: $P = 16\ м + 14\ м = 30\ м$.

Нахождение площади (S).

Площадь фигуры удобно вычислить, вычтя из площади большого внешнего прямоугольника (6 м на 5 м) площади четырех вырезанных по сторонам прямоугольных "выемок".

Площадь внешнего прямоугольника: $S_{внеш} = 6 \times 5 = 30\ м^2$.

Найдем площади выемок:

Площадь верхней выемки: $(6 - 2 - 2) \times 1 = 2 \times 1 = 2\ м^2$.

Площадь нижней выемки: $(6 - 2 - 2) \times 1 = 2 \times 1 = 2\ м^2$.

Площадь левой выемки: $1 \times (5 - 2 - 2) = 1 \times 1 = 1\ м^2$.

Площадь правой выемки: $1 \times (5 - 2 - 2) = 1 \times 1 = 1\ м^2$.

Суммарная площадь всех выемок: $S_{выем} = 2 + 2 + 1 + 1 = 6\ м^2$.

Площадь фигуры: $S = S_{внеш} - S_{выем} = 30\ м^2 - 6\ м^2 = 24\ м^2$.

Ответ: Периметр фигуры 30 м, площадь 24 м².

2) Рассчитаем, сколько краски потребуется для окрашивания фигуры с двух сторон.

Площадь одной стороны фигуры составляет $S = 24\ м^2$. Так как фигуру нужно покрасить с двух сторон, общая площадь поверхности для окраски равна:

$S_{общ} = 2 \times S = 2 \times 24 = 48\ м^2$.

Расход краски составляет 200 г на 1 м². Найдем общую массу необходимой краски:

$Масса = S_{общ} \times 200\ г/м^2 = 48 \times 200 = 9600\ г$.

Выразим ответ в килограммах и граммах. Учитывая, что 1 кг = 1000 г, получаем:

$9600\ г = 9\ кг\ 600\ г$.

Ответ: Потребуется 9 кг 600 г краски.