Страница 56 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

261. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите площадь четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке 57.

Изображённый на рисунке четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны AD и BC параллельны друг другу. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Исходя из рисунка и условия, что длина стороны одной клетки равна 1 см, определим необходимые величины:

• Длина верхнего основания $a$ (отрезок AD) равна 6 клеткам, следовательно, $a = 6$ см.
• Длина нижнего основания $b$ (отрезок BC) равна 2 клеткам, следовательно, $b = 2$ см.
• Высота трапеции $h$ (перпендикулярное расстояние между основаниями AD и BC) равна 3 клеткам, следовательно, $h = 3$ см.

Подставим найденные значения в формулу площади трапеции:

$S = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{8}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ см².

Ответ: 12 см².

262. Считая, что длина стороны клетки равна 1 см, найдите площадь четырёхугольника $MNKP$, изображённого на рисунке 58.

Рис. 58

Четырёхугольник MNKP, изображённый на рисунке, является трапецией, так как его стороны NK и MP параллельны (они лежат на горизонтальных линиях сетки). Площадь трапеции можно найти по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Определим размеры трапеции по клеткам, считая, что сторона одной клетки равна 1 см:
• Длина верхнего основания $a$ (сторона NK) равна 2 клеткам, то есть $a = 2$ см.
• Длина нижнего основания $b$ (сторона MP) равна 4 клеткам, то есть $b = 4$ см.
• Высота трапеции $h$ (перпендикулярное расстояние между основаниями) равна 3 клеткам, то есть $h = 3$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади:
$S = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см} = \frac{6 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: 9 см².

263. В поход отправились 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему: 1) 16 лет, 2) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Согласно этому принципу, если число объектов (в нашем случае — туристов) превышает число категорий, по которым их можно распределить (в нашем случае — возможные возрасты), то по крайней мере одна категория будет содержать более одного объекта. Иными словами, если туристов больше, чем возможных возрастов, то как минимум двое из них будут одного возраста.

1)

В первом случае возраст туристов может быть любым целым числом в диапазоне от 16 до 35 лет включительно. Найдем количество возможных возрастов в этом диапазоне:

$35 - 16 + 1 = 20$

В поход отправились 20 туристов, и существует 20 возможных вариантов возраста. В этом случае количество туристов равно количеству возможных возрастов. Это означает, что теоретически у каждого туриста может быть свой уникальный возраст (одному 16, другому 17, и так далее до 35). Следовательно, не обязательно, что среди туристов есть одногодки.

Ответ: неверно.

2)

Во втором случае возраст туристов может быть любым целым числом в диапазоне от 17 до 35 лет включительно. Найдем количество возможных возрастов в этом диапазоне:

$35 - 17 + 1 = 19$

В поход отправились 20 туристов, а возможных вариантов возраста всего 19. Поскольку количество туристов ($20$) больше количества возможных возрастов ($19$), то по принципу Дирихле, как минимум двое туристов обязательно будут иметь один и тот же возраст.

Ответ: верно.