Страница 54 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

247. Фермер Пётр Трудолюб посадил в теплице огурцы. Длина теплицы равна 16 м, а ширина – 12 м. Сколько килограммов огурцов соберёт фермер в своей теплице, если с $1 \text{ м}^2$ собирают 30 кг огурцов?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти площадь теплицы, а затем рассчитать общий вес урожая, который можно с этой площади собрать.

1. Находим площадь теплицы.

Теплица имеет форму прямоугольника. Площадь прямоугольника $(S)$ вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
По условию задачи:
Длина $a = 16$ м.
Ширина $b = 12$ м.

Подставим значения в формулу:
$S = 16 \text{ м} \times 12 \text{ м} = 192 \text{ м}^2$.
Таким образом, площадь теплицы составляет 192 квадратных метра.

2. Находим общий вес урожая огурцов.

Известно, что с 1 м² собирают 30 кг огурцов. Чтобы узнать, сколько огурцов соберут со всей теплицы, нужно её площадь умножить на урожайность с одного квадратного метра.

Общий урожай = $192 \text{ м}^2 \times 30 \text{ кг/м}^2 = 5760 \text{ кг}$.

Ответ: 5760 кг огурцов соберёт фермер в своей теплице.

248. Поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 1200 м и 400 м, необходимо засеять рожью. На 1 га высевают по 125 кг зерна. Сколько необходимо тонн ржи, чтобы засеять это поле?

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Сначала вычислим площадь поля в квадратных метрах. Поле представляет собой прямоугольник со сторонами 1200 м и 400 м. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его сторон:

$S = 1200 \, \text{м} \times 400 \, \text{м} = 480000 \, \text{м}^2$

2. Далее переведем площадь поля из квадратных метров в гектары (га). Известно, что $1 \, \text{га} = 10000 \, \text{м}^2$.

$S_{\text{га}} = \frac{480000 \, \text{м}^2}{10000 \, \text{м}^2/\text{га}} = 48 \, \text{га}$

3. Теперь рассчитаем общую массу ржи в килограммах, необходимую для засева всего поля. По условию, на 1 гектар высевают 125 кг зерна.

$m_{\text{кг}} = 48 \, \text{га} \times 125 \, \text{кг/га} = 6000 \, \text{кг}$

4. Наконец, переведем полученную массу из килограммов в тонны (т). Мы знаем, что $1 \, \text{т} = 1000 \, \text{кг}$.

$m_{\text{т}} = \frac{6000 \, \text{кг}}{1000 \, \text{кг/т}} = 6 \, \text{т}$

Ответ: 6 тонн.

249. На рисунке 49 изображены фигура и наложенная на неё палетка. Площадь ячейки палетки равна $1 \text{ см}^2$. Найдите площадь данной фигуры.

Рис. 49

Для нахождения площади фигуры, на которую наложена палетка (сетка), используется метод подсчета ячеек. Приближенную площадь можно вычислить, зная площадь одной ячейки, которая по условию составляет 1 см².

Приближенная площадь фигуры ($S$) вычисляется по формуле:

$S \approx (N_{полн} + \frac{N_{неполн}}{2}) \times S_{ячейки}$

где $N_{полн}$ — это число ячеек, целиком находящихся внутри фигуры, $N_{неполн}$ — число ячеек, которые пересекаются границей фигуры (неполные ячейки), а $S_{ячейки}$ — площадь одной ячейки.

Посчитаем количество ячеек (квадратов), которые полностью расположены внутри контура фигуры. Внимательно изучив рисунок, находим 12 таких ячеек.

Таким образом, $N_{полн} = 12$.

Теперь посчитаем ячейки, которые частично покрыты фигурой (через которые проходит ее граница). Их общее количество составляет 15.

Таким образом, $N_{неполн} = 15$.

Подставим полученные значения $N_{полн} = 12$ и $N_{неполн} = 15$ в формулу. Учитывая, что $S_{ячейки} = 1$ см², получаем:

$S \approx (12 + \frac{15}{2}) \times 1 \text{ см}^2$

$S \approx (12 + 7.5) \text{ см}^2$

$S \approx 19.5 \text{ см}^2$

Ответ: 19.5 см².

250. На рисунке 50 изображены фигура и наложенная на неё палетка.Площадь ячейки палетки равна $1 \text{ см}^2$. Найдите площадь данной фигуры.

Рис. 50

Для нахождения приближенной площади фигуры с помощью палетки используется следующий метод: подсчитывается количество целых ячеек, находящихся внутри фигуры, и количество ячеек, которые пересекаются границей фигуры. Площадь фигуры вычисляется как сумма числа целых ячеек и половины числа ячеек, пересеченных границей.

Площадь ($S$) фигуры можно найти по формуле:

$S \approx (n + \frac{k}{2}) \cdot S_{ячейки}$

где $n$ — количество полных ячеек внутри фигуры, $k$ — количество неполных ячеек (которые пересекает контур фигуры), а $S_{ячейки}$ — площадь одной ячейки.

По условию, площадь одной ячейки равна $1 \text{ см}^2$.

1. Посчитаем количество полных ячеек ($n$), которые целиком находятся внутри фигуры. На рисунке видно, что таких ячеек 4.

$n = 4$

2. Посчитаем количество неполных ячеек ($k$), через которые проходит граница фигуры. Таких ячеек 16.

$k = 16$

3. Теперь можем вычислить приближенную площадь фигуры:

$S \approx 4 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

251. Первая сторона треугольника в 2 раза больше второй, которая на 7 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 99 дм.

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим длину второй стороны треугольника через $x$ дм.

Согласно условию, первая сторона в 2 раза больше второй, следовательно, ее длина составляет $2x$ дм.

Вторая сторона на 7 дм меньше третьей. Это означает, что третья сторона на 7 дм больше второй, поэтому ее длина равна $(x + 7)$ дм.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 99 дм. Составим и решим уравнение:

$2x + x + (x + 7) = 99$

Сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$4x + 7 = 99$

Перенесем 7 в правую часть уравнения, изменив знак:

$4x = 99 - 7$

$4x = 92$

Найдем $x$:

$x = \frac{92}{4}$

$x = 23$

Таким образом, длина второй стороны треугольника равна 23 дм.

Теперь найдем длины двух других сторон:

Длина первой стороны: $2x = 2 \cdot 23 = 46$ дм.

Длина третьей стороны: $x + 7 = 23 + 7 = 30$ дм.

Проверим, равен ли периметр 99 дм: $46 + 23 + 30 = 99$ дм. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 46 дм, 23 дм и 30 дм.

252. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше соседней стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 38 см.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна $x$ см.
Поскольку вторая сторона на 3 см больше, ее длина будет $(x + 3)$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон. По условию, периметр равен 38 см.
Составим уравнение на основе этих данных:
$2(x + (x + 3)) = 38$

Решим полученное уравнение:
$2(2x + 3) = 38$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2x + 3 = 19$
Вычтем 3 из обеих частей:
$2x = 19 - 3$
$2x = 16$
Найдем $x$:
$x = 16 / 2$
$x = 8$

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 8 см.
Найдем вторую сторону:
$x + 3 = 8 + 3 = 11$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 11 см.

253. Периметр треугольника $ABC$ равен 27 см (рис. 51), периметр треугольника $ADC$ равен 22 см, а периметр четырёхугольника $ABCD$ – 31 см. Найдите длину отрезка $AC$.

Рис. 51

Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Согласно условию задачи, мы можем записать следующие выражения для периметров:
1. Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$): $AB + BC + AC = 27$ см.
2. Периметр треугольника $ADC$ ($P_{ADC}$): $AD + DC + AC = 22$ см.
3. Периметр четырёхугольника $ABCD$ ($P_{ABCD}$): $AB + BC + CD + AD = 31$ см.

Сложим периметры двух треугольников $ABC$ и $ADC$:
$P_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)$

Сгруппируем слагаемые. Мы видим, что отрезок $AC$ (диагональ) входит в сумму дважды, а остальные стороны образуют периметр четырёхугольника $ABCD$:
$P_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + CD + AD) + 2 \cdot AC$

Теперь мы можем заменить сумму в скобках на известное значение периметра четырёхугольника $P_{ABCD}$:
$P_{ABC} + P_{ADC} = P_{ABCD} + 2 \cdot AC$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:
$27 + 22 = 31 + 2 \cdot AC$
$49 = 31 + 2 \cdot AC$

Теперь найдём длину $AC$ из этого уравнения:
$2 \cdot AC = 49 - 31$
$2 \cdot AC = 18$
$AC = \frac{18}{2}$
$AC = 9$ см.

Ответ: 9 см.

254. Периметр четырёхугольника $ABCD$ равен 42 см (рис. 52), а периметр пятиугольника $ABCDE$ – 64 см. Найдите периметр треугольника $AED$, если $AD = 14$ см.

Рис. 52

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

1. Запишем формулу для периметра четырёхугольника $ABCD$ ($P_{ABCD}$):
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA$
По условию, $P_{ABCD} = 42$ см.

2. Запишем формулу для периметра пятиугольника $ABCDE$ ($P_{ABCDE}$):
$P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + EA$
По условию, $P_{ABCDE} = 64$ см.

3. Нам нужно найти периметр треугольника $AED$ ($P_{AED}$):
$P_{AED} = AE + ED + DA$

4. Сравним периметры пятиугольника и четырёхугольника. Разница между ними заключается в том, что в периметр пятиугольника входят стороны $DE$ и $EA$, а в периметр четырёхугольника — сторона $DA$. Общая часть у них — это сумма длин сторон $AB + BC + CD$.

Вычтем из периметра пятиугольника периметр четырёхугольника:
$P_{ABCDE} - P_{ABCD} = (AB + BC + CD + DE + EA) - (AB + BC + CD + DA)$
$P_{ABCDE} - P_{ABCD} = DE + EA - DA$

5. Подставим известные значения в полученное выражение:
$64 - 42 = DE + EA - 14$
$22 = DE + EA - 14$

6. Из этого уравнения найдём сумму длин сторон $DE$ и $EA$, которые являются двумя из трёх сторон искомого треугольника $AED$:
$DE + EA = 22 + 14$
$DE + EA = 36$ см.

7. Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $AED$, зная сумму двух его сторон ($DE + EA = 36$ см) и длину третьей стороны ($DA = 14$ см):
$P_{AED} = (DE + EA) + DA$
$P_{AED} = 36 + 14 = 50$ см.

Ответ: 50 см.