Страница 59 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как расположены точки окружности относительно её центра?

По определению, окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром.

Это означает, что каждая точка, лежащая на окружности, находится на одном и том же расстоянии от её центра. Это постоянное расстояние называется радиусом окружности.

Если обозначить центр окружности буквой $O$, радиус буквой $R$, а любую точку на окружности буквой $M$, то расстояние между точками $O$ и $M$ (длина отрезка $OM$) всегда будет равно радиусу $R$.

Для любой точки $M$, принадлежащей окружности, выполняется равенство:

$|OM| = R$

Таким образом, все точки окружности лежат на одинаковом расстоянии от её центра.

Ответ: Все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии от её центра. Это расстояние равно радиусу окружности.

2. Какой отрезок называют радиусом окружности?

Радиусом окружности называют отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности.

Длину этого отрезка также называют радиусом. Обычно радиус обозначают латинской буквой $r$ или $R$. Все радиусы одной окружности равны между собой.

Ответ: Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

3. Какой отрезок называют хордой окружности?

В геометрии хордой окружности называют отрезок, который соединяет две произвольные точки, лежащие на этой окружности. Иными словами, концы хорды всегда принадлежат окружности.

Частным случаем хорды является диаметр. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой для данной окружности.

Ответ: Хордой окружности называют отрезок, соединяющий две любые точки этой окружности.

4. Какую хорду называют диаметром окружности?

4. Диаметром окружности называют хорду, которая проходит через её центр. Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Таким образом, диаметр соединяет две точки на окружности и при этом обязательно проходит через её центр. Диаметр является самой длинной хордой окружности. Его длина, обозначаемая как $d$, равна двум радиусам $r$: $d = 2r$.
Ответ: Хорду, которая проходит через центр окружности.

5. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?

Связь между диаметром и радиусом окружности является прямой и фундаментальной в геометрии. Чтобы ее понять, необходимо рассмотреть определения этих понятий.

Радиус (обычно обозначается как $r$) — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности.

Диаметр (обычно обозначается как $d$) — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр.

Исходя из определений, можно увидеть, что диаметр фактически состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой линии по разные стороны от центра. Поэтому длина диаметра всегда ровно в два раза больше длины радиуса.

Эта зависимость выражается следующими математическими формулами:
1. Диаметр равен удвоенному радиусу: $d = 2 \cdot r$.
2. Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2}$.

Например, если радиус окружности равен 5 см, то её диаметр будет $2 \cdot 5 = 10$ см. И наоборот, если диаметр окружности равен 20 м, то её радиус будет $\frac{20}{2} = 10$ м.

Ответ: Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса ($d = 2r$), а радиус, в свою очередь, равен половине диаметра ($r = \frac{d}{2}$).

6. Как называют части, на которые две точки делят окружность?

Части, на которые две точки делят окружность, называются дугами окружности или просто дугами.

Представим, что на окружности есть две точки, А и В. Они разбивают всю линию окружности на два участка. Каждый из этих участков и является дугой.

• Если отрезок, соединяющий эти две точки, проходит через центр окружности (то есть является диаметром), то окружность делится на две равные дуги, которые называются полуокружностями.
• Если отрезок, соединяющий точки, не является диаметром, то одна дуга будет короче другой. Их называют соответственно меньшей дугой и большей дугой.

Ответ: дуги.

7. Как называют окружность и часть плоскости, которую она ограничивает?

В геометрии существует четкое различие между понятиями окружности и круга.

Окружность — это замкнутая кривая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. То есть, окружность — это только граница, линия.

Круг — это геометрическая фигура, которая включает в себя саму окружность и всю часть плоскости, находящуюся внутри этой окружности (то есть все точки, расстояние от которых до центра не превышает радиус).

Таким образом, совокупность окружности и части плоскости, которую она ограничивает, называется кругом.

Ответ: Круг.

8. Как называют части, на которые два радиуса делят круг?

Части, на которые два радиуса делят круг, называются круговыми секторами (или просто секторами).

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, которые соединяют концы этой дуги с центром круга. Когда мы проводим два радиуса, они всегда делят круг на два сектора.

В центре круга эти два радиуса образуют два центральных угла, которые в сумме всегда дают $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Каждый из этих углов определяет свой сектор. Например, если один сектор имеет центральный угол $90^\circ$ (четверть круга), то второй, дополняющий его сектор, будет иметь центральный угол $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Простой пример из жизни — это кусок круглого пирога или пиццы, отрезанный от центра. И сам кусок, и оставшаяся часть являются круговыми секторами.

Ответ: круговые секторы.

9. Какую фигуру называют полукругом?

Полукругом называется геометрическая фигура, которая представляет собой ровно половину круга. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Любой диаметр (отрезок, проходящий через центр круга и соединяющий две точки на его окружности) делит круг на две равные части.

Каждая из этих частей и является полукругом. Таким образом, границами полукруга служат диаметр и дуга, составляющая половину окружности (полуокружность).

Ответ: Полукругом называют половину круга, то есть фигуру, ограниченную диаметром этого круга и полуокружностью.

1. Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9;

2) делится нацело на 9 и на 2;

3) делится нацело на 9 и на 5.

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел.

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9;

Вспомним признаки делимости на 3 и на 9:

• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Таким образом, нам нужно найти трёхзначное число, сумма цифр которого делится на 3, но не делится на 9. Примерами таких сумм могут быть 3, 6, 12, 15, 21, 24.
Возьмём, к примеру, сумму цифр, равную 6. Подберём трёхзначное число, цифры которого в сумме дают 6. Например, число 123.
Проверим его:

• Сумма цифр: $1 + 2 + 3 = 6$.
• $6$ делится на 3 ($6 : 3 = 2$), значит, и 123 делится на 3.
• $6$ не делится на 9, значит, и 123 не делится на 9.

Число 123 удовлетворяет условию.

Ответ: 123.

2) делится нацело на 9 и на 2;

Вспомним признаки делимости на 9 и на 2:

• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Число делится на 2, если оно чётное (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8).

Нам нужно найти чётное трёхзначное число, сумма цифр которого делится на 9. Возможные суммы цифр: 9, 18, 27.
Возьмём сумму цифр, равную 9. Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Пусть последняя цифра будет 8.
Тогда первые две цифры в сумме с 8 должны давать 9. Сумма первых двух цифр равна $9 - 8 = 1$.
Поскольку число трёхзначное, первая цифра не может быть нулём. Значит, первая цифра — 1, а вторая — 0. Получаем число 108.
Проверим его:

• Сумма цифр: $1 + 0 + 8 = 9$. $9$ делится на 9, значит, 108 делится на 9.
• Число оканчивается на 8, значит, оно чётное и делится на 2.

Число 108 удовлетворяет условию.

Ответ: 108.

3) делится нацело на 9 и на 5.

Вспомним признаки делимости на 9 и на 5:

• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Нам нужно найти трёхзначное число, оканчивающееся на 0 или 5, сумма цифр которого делится на 9.
Возьмём число, оканчивающееся на 5. Пусть сумма его цифр равна 9.
Тогда сумма первых двух цифр должна быть равна $9 - 5 = 4$.
Подберём такие цифры, помня, что первая не может быть нулём. Например, 1 и 3. Получаем число 135.
Проверим его:

• Сумма цифр: $1 + 3 + 5 = 9$. $9$ делится на 9, значит, 135 делится на 9.
• Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.

Число 135 удовлетворяет условию.

Ответ: 135.

2. Турист должен преодолеть маршрут длиной 21 км. После того как он шёл 4 ч с одной и той же скоростью, ему осталось пройти 1 км. С какой скоростью шёл турист?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала определим, какое расстояние турист уже прошел. Известно, что общая длина маршрута — 21 км, а осталось пройти 1 км. Чтобы найти пройденное расстояние, нужно из общей длины вычесть оставшуюся.

Пройденное расстояние = Общая длина маршрута - Оставшееся расстояние

$21 \text{ км} - 1 \text{ км} = 20 \text{ км}$

Таким образом, турист прошел 20 км.

2. Теперь мы можем найти скорость туриста. Известно, что он прошел 20 км за 4 часа. Скорость ($v$) можно найти, разделив расстояние ($S$) на время ($t$) по формуле:

$v = S / t$

Подставим наши значения в формулу:

$v = 20 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: 5 км/ч

3. Назовите все простые значения $x$, при которых будет верным неравенство $40 < x < 50$.

Чтобы найти все простые значения $x$, удовлетворяющие неравенству $40 < x < 50$, необходимо выполнить два шага:

1. Выписать все целые числа, которые находятся в интервале от 40 до 50 (не включая сами эти числа).

Целые числа, большие 40 и меньшие 50, это: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

2. Из этого списка выбрать только простые числа. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Проверим каждое число из списка:

• 41 — является простым числом, так как делится только на 1 и 41.
• 42 — является четным числом, поэтому делится на 2. Не является простым.
• 43 — является простым числом, так как делится только на 1 и 43.
• 44 — является четным числом, делится на 2. Не является простым.
• 45 — оканчивается на 5, поэтому делится на 5. Не является простым.
• 46 — является четным числом, делится на 2. Не является простым.
• 47 — является простым числом, так как делится только на 1 и 47.
• 48 — является четным числом, делится на 2. Не является простым.
• 49 — делится на 7, так как $49 = 7 \cdot 7$. Не является простым.

Таким образом, простыми значениями $x$, при которых неравенство будет верным, являются числа 41, 43 и 47.

Ответ: 41, 43, 47.

4. Является ли данное разложение на множители разложением на простые множители:

1) $120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$;

2) $567 = 7 \cdot 9^2$;

3) $180 = 3 \cdot 6 \cdot 10$?

Разложением на простые множители называется представление числа в виде произведения только простых чисел. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.). Числа, имеющие больше двух делителей, называются составными (например, 4, 6, 9, 10).

Проанализируем каждое из предложенных разложений.

1) $120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

В этом произведении числа 2, 3 и 5 являются простыми. Однако число 4 является составным, поскольку оно делится на 2 ($4 = 2 \cdot 2$). Так как в разложении присутствует составное число, данное разложение не является разложением на простые множители.

Ответ: нет.

2) $567 = 7 \cdot 9^2$

Это разложение можно записать как $567 = 7 \cdot 9 \cdot 9$. В этом произведении число 7 является простым, но число 9 — составное, так как оно делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$). Следовательно, это разложение не является разложением на простые множители.

Ответ: нет.

3) $180 = 3 \cdot 6 \cdot 10$

В этом произведении число 3 является простым. Однако числа 6 и 10 являются составными, так как $6 = 2 \cdot 3$ и $10 = 2 \cdot 5$. Поскольку в разложении есть составные числа, оно не является разложением на простые множители.

Ответ: нет.