Страница 61 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

272. Начертите произвольный отрезок $AB$. Постройте окружность так, чтобы этот отрезок был её диаметром.

Чтобы построить окружность, для которой отрезок $AB$ является диаметром, нужно сначала найти центр этой окружности, а затем определить её радиус. Центр окружности будет совпадать с серединой её диаметра $AB$, а радиус будет равен половине длины диаметра.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Находим середину отрезка $AB$. Для этого используется метод построения серединного перпендикуляра:

   • Устанавливаем иглу циркуля в точку $A$ и чертим дугу окружности радиусом $R$, который больше половины длины отрезка $AB$. Дуга должна проходить выше и ниже отрезка.

   • Не меняя раствора циркуля (сохраняя тот же радиус $R$), устанавливаем иглу в точку $B$ и чертим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовем их $C$ и $D$).

   • С помощью линейки соединяем точки пересечения дуг $C$ и $D$ прямой линией.

   • Точка, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, является его серединой. Обозначим эту точку как $O$. Эта точка будет центром нашей окружности.

2. Чертим окружность.

   • Устанавливаем иглу циркуля в найденный центр — точку $O$.

   • Задаем радиус окружности, установив грифель циркуля в точку $A$ (или $B$). Длина отрезка $OA$ (или $OB$) является радиусом $r$ будущей окружности, причем $r = \frac{1}{2}AB$.

   • Проводим окружность. Она пройдет через обе точки, $A$ и $B$, а отрезок $AB$ будет её диаметром.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти середину отрезка $AB$ (точка $O$), которая будет центром окружности. Затем, с помощью циркуля, построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OB$).

273. Найдите периметр четырёхугольника $O_1AO_2B$ (рис. 73), если радиусы окружностей равны 5 см и 3 см.

Рис. 73

Периметр четырехугольника $O_1AO_2B$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = O_1A + AO_2 + O_2B + BO_1$.

По условию задачи, точки A и B являются точками пересечения двух окружностей. Центр первой окружности — точка $O_1$, а ее радиус $R_1 = 5$ см. Центр второй окружности — точка $O_2$, а ее радиус $R_2 = 3$ см.

Так как точки A и B лежат на первой окружности (с центром $O_1$), то отрезки, соединяющие центр $O_1$ с этими точками, являются радиусами. Следовательно, их длины равны радиусу этой окружности:
$O_1A = R_1 = 5$ см
$BO_1 = R_1 = 5$ см

Аналогично, так как точки A и B лежат и на второй окружности (с центром $O_2$), то отрезки, соединяющие центр $O_2$ с этими точками, также являются радиусами. Их длины равны радиусу второй окружности:
$AO_2 = R_2 = 3$ см
$O_2B = R_2 = 3$ см

Теперь мы можем найти периметр четырехугольника $O_1AO_2B$, сложив длины всех его сторон:
$P = O_1A + AO_2 + O_2B + BO_1 = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 16 \text{ см}$.
Также можно было воспользоваться формулой периметра для данного типа четырехугольника (дельтоида):
$P = 2 \cdot (R_1 + R_2) = 2 \cdot (5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}$.
Ответ: 16 см.

274. Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку А. Найдите на окружности точки, удалённые от точки А на 4 см.

Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку А.

Для построения окружности сначала найдем её радиус. Радиус $r$ равен половине диаметра $D$: $r = D / 2 = 7 / 2 = 3.5$ см.

С помощью циркуля и линейки начертим окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3,5 см. На этой окружности произвольно выберем и отметим точку $A$.

Найдите на окружности точки, удалённые от точки А на 4 см.

Искомые точки должны одновременно лежать на построенной окружности и находиться на расстоянии 4 см от точки $A$.

Множество всех точек, находящихся на расстоянии 4 см от точки $A$, образует окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R=4$ см. Следовательно, искомые точки являются точками пересечения двух окружностей: исходной (центр $O$, радиус 3,5 см) и вспомогательной (центр $A$, радиус 4 см).

Чтобы найти эти точки, установим раствор циркуля на 4 см, поставим острие в точку $A$ и проведем дугу, пересекающую исходную окружность. Мы получим две точки пересечения, которые и являются решением.

Ответ: Искомые точки — это две точки пересечения исходной окружности и окружности с центром в точке $A$ и радиусом 4 см.

275. Начертите окружность с центром $O$ и радиусом 3 см. Отметьте на окружности точки $A$ и $B$ такие, что $AB = 3 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника $AOB$.

Согласно условию, нам дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 3$ см. На этой окружности расположены точки $A$ и $B$. Мы должны найти периметр треугольника $AOB$.

Сторонами треугольника $AOB$ являются отрезки $OA$, $OB$ и $AB$.

1. Отрезок $OA$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $A$, лежащей на окружности. По определению, длина этого отрезка равна радиусу окружности.
$OA = R = 3$ см.

2. Аналогично, отрезок $OB$ соединяет центр $O$ с точкой $B$ на окружности, поэтому его длина также равна радиусу.
$OB = R = 3$ см.

3. Длина стороны $AB$ задана в условии задачи.
$AB = 3$ см.

Мы видим, что все три стороны треугольника $AOB$ имеют одинаковую длину: $OA = OB = AB = 3$ см. Это означает, что треугольник $AOB$ является равносторонним.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон.
$P_{AOB} = OA + OB + AB$
$P_{AOB} = 3 + 3 + 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

276. Начертите окружность и отметьте на ней три точки A, B и C. Сколько дуг при этом образовалось?

Для решения задачи начертим окружность и отметим на ней три различные точки: $A$, $B$ и $C$.

Дуга окружности — это часть окружности, заключенная между двумя ее точками. Каждая пара точек на окружности определяет две дуги (если точки не диаметрально противоположны, то одна дуга называется меньшей, а другая — большей).

Из трех заданных точек $A$, $B$ и $C$ можно составить 3 уникальные пары точек, которые будут являться концами дуг:

• Пара $(A, B)$
• Пара $(B, C)$
• Пара $(C, A)$

Рассмотрим, сколько дуг образует каждая пара:

1. Пара точек $A$ и $B$ образует две дуги: одну, которая не содержит точку $C$, и другую (большую), которая проходит через точку $C$.
2. Пара точек $B$ и $C$ также образует две дуги: одну, не содержащую точку $A$, и другую (большую), проходящую через точку $A$.
3. Пара точек $C$ и $A$ образует две дуги: одну, не содержащую точку $B$, и другую (большую), проходящую через точку $B$.

Таким образом, у нас есть 3 пары точек, и каждая пара образует по 2 дуги. Чтобы найти общее количество дуг, нужно умножить количество пар на количество дуг, образуемых каждой парой:

$3 \text{ пары} \times 2 \text{ дуги} = 6 \text{ дуг}$

Ответ: 6.

277. Начертите окружность и треугольник так, чтобы стороны треугольника были хордами окружности.

Для того чтобы стороны треугольника являлись хордами окружности, необходимо, чтобы все три вершины этого треугольника лежали на этой окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около треугольника.

Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Если стороны треугольника $ABC$ ($AB$, $BC$ и $AC$) являются хордами, то это означает, что концы каждого отрезка-стороны лежат на окружности. Следовательно, все вершины треугольника — точки $A$, $B$ и $C$ — должны лежать на окружности.

Чтобы выполнить построение, следуйте шагам:

1. Начертите окружность произвольного радиуса с центром в точке $O$.
2. Отметьте на окружности три любые различные точки. Назовем их $A$, $B$ и $C$.
3. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками.

В результате вы получите треугольник $ABC$, вершины которого лежат на окружности. Каждая его сторона ($AB$, $BC$, $AC$) соединяет две точки на окружности, а значит, является ее хордой. Это и есть искомый чертеж.

Ответ: Необходимо начертить окружность, а затем внутри нее построить треугольник так, чтобы все его три вершины находились на линии окружности. Стороны такого треугольника автоматически станут хордами данной окружности.

278. Начертите окружность, проведите её диаметр $AB$. Отметьте на окружности точки $C$ и $D$ и соедините каждую из них с концами диаметра $AB$. Выскажите гипотезу, чему равна величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$. Проверьте свою гипотезу с помощью транспортира.

Для выполнения задания последовательно осуществим все требуемые действия.

Построение

1. С помощью циркуля начертим окружность с произвольным центром O.
2. Проведем прямую через центр O. Точки пересечения прямой с окружностью обозначим A и B. Отрезок AB является диаметром окружности.
3. Выберем на окружности две произвольные точки C и D, не совпадающие с A и B.
4. Соединим отрезками точку C с точками A и B, а также точку D с точками A и B. В результате получатся треугольники ACB и ADB.

Гипотеза

Визуально оценивая углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$, можно предположить, что они являются прямыми. Таким образом, гипотеза заключается в следующем: величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ равна $90^{\circ}$.

Проверка гипотезы

Для проверки гипотезы можно использовать два подхода: практический (измерение) и теоретический (доказательство).

Практическая проверка:
Приложив транспортир к вершине C, совмещая одну из сторон угла (например, AC) с нулевой отметкой, можно увидеть, что вторая сторона (BC) проходит через отметку $90^{\circ}$. Аналогичное измерение угла $\angle ADB$ также покажет, что его величина равна $90^{\circ}$. Это подтверждает нашу гипотезу.

Теоретическое доказательство:
Гипотеза является следствием фундаментального свойства вписанных углов в окружности.
Теорема о вписанном угле: Вписанный угол (угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её) равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
В нашем случае углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$ — вписанные. Оба угла опираются на диаметр AB. Диаметр делит окружность на две полуокружности. Так как полная окружность составляет $360^{\circ}$, то дуга каждой полуокружности равна $360^{\circ} / 2 = 180^{\circ}$.
Следовательно, для угла $\angle ACB$, который опирается на дугу $AB$, его величина равна:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$
Точно так же для угла $\angle ADB$, который опирается на другую дугу $AB$:
$\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$
Таким образом, гипотеза полностью доказана: любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым.

Ответ: Гипотеза: величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ равна $90^{\circ}$.

279. Начертите окружность с центром $O$ и проведите её диаметр, который обозначьте $AC$. Проведите ещё один диаметр, который обозначьте $BD$, так, чтобы угол $AOB$ был прямой. Проведите хорды $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Выскажите гипотезу, какой вид имеет четырёхугольник $ABCD$. Проверьте свою гипотезу с помощью линейки и транспортира.

Для решения задачи выполним все шаги последовательно.

Начертите окружность с центром O и проведите её диаметр, который обозначьте AC. Проведите ещё один диаметр, который обозначьте BD, так, чтобы угол AOB был прямой. Проведите хорды AB, BC, CD и AD.

1. С помощью циркуля чертим окружность с центром в точке $O$.
2. С помощью линейки проводим через центр $O$ прямую линию до пересечения с окружностью в двух точках. Обозначаем эти точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ — диаметр.
3. С помощью транспортира или угольника строим угол $\angle AOB = 90^\circ$. Продлеваем луч $BO$ до пересечения с окружностью в точке $D$. Отрезок $BD$ — второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$.
4. Соединяем последовательно точки $A, B, C$ и $D$ отрезками. Эти отрезки являются хордами $AB, BC, CD$ и $AD$, которые образуют четырёхугольник $ABCD$.

Выскажите гипотезу, какой вид имеет четырёхугольник ABCD.

При взгляде на полученный чертёж можно предположить, что все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны, а все его углы — прямые.
Ответ: Гипотеза: четырёхугольник $ABCD$ является квадратом.

Проверьте свою гипотезу с помощью линейки и транспортира.

1. Проверка с помощью измерительных инструментов.
• Берём линейку и измеряем длины всех четырёх сторон: $AB, BC, CD$ и $AD$. В результате измерений убеждаемся, что все стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$. Это свойство ромба.
• Берём транспортир и измеряем величину каждого угла четырёхугольника: $\angle DAB, \angle ABC, \angle BCD, \angle CDA$. Измерения показывают, что все углы равны $90^\circ$.
• Вывод: так как у четырёхугольника $ABCD$ все стороны равны и все углы прямые, он является квадратом. Гипотеза подтверждена.

2. Геометрическое доказательство гипотезы.
Рассмотрим полученный четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности с центром $O$.
• Так как $AC$ и $BD$ — диаметры одной окружности, они равны: $AC = BD$.
• Диагонали пересекаются в центре $O$ и делятся этой точкой пополам, так как $OA = OC = OB = OD$ (все они являются радиусами).
• По условию построения, угол между диаметрами $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.
• Четырёхугольник, у которого диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

Другой способ доказательства:
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$.
• Эти треугольники являются равнобедренными, так как их боковые стороны — радиусы окружности ($OA=OB=OC=OD=r$).
• Углы при вершине $O$ у этих треугольников равны $90^\circ$ ($\angle AOB = 90^\circ$ по условию; $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 90^\circ$ как смежный; $\angle COD = \angle AOB = 90^\circ$ и $\angle DOA = \angle BOC = 90^\circ$ как вертикальные).
• Следовательно, все четыре треугольника равны по двум сторонам (катетам) и углу между ними.
• Из равенства треугольников следует равенство их оснований (гипотенуз), которые являются сторонами четырёхугольника: $AB=BC=CD=DA$. Таким образом, $ABCD$ — ромб.
• Так как, например, $\triangle AOB$ — равнобедренный и прямоугольный, то углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$. Аналогично, из $\triangle AOD$ имеем $\angle OAD = 45^\circ$.
• Угол четырёхугольника $\angle DAB = \angle OAB + \angle OAD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
• Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом.

Ответ: Проверка с помощью линейки и транспортира, а также строгое геометрическое доказательство подтверждают, что четырёхугольник $ABCD$ является квадратом.

280. Начертите произвольный треугольник. Проведите три окружности так, чтобы стороны треугольника были их диаметрами.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность шагов построения с помощью циркуля и линейки (или их аналогов в графическом редакторе).

1. Начертите произвольный треугольник. Обозначим его вершины буквами $A$, $B$ и $C$. Соответственно, его стороны — это отрезки $AB$, $BC$ и $AC$.

2. Постройте окружность на стороне $AB$. Эта сторона будет служить диаметром первой окружности.

   • Найдите середину отрезка $AB$. Эту точку можно найти, построив серединный перпендикуляр, или измерив длину отрезка и разделив ее пополам. Обозначим эту точку как $O_1$. Она будет центром окружности.
   • Радиус этой окружности $R_1$ будет равен половине длины стороны $AB$, то есть $R_1 = O_1A = O_1B$.
   • Установите острие циркуля в точку $O_1$, а грифель — в точку $A$ (или $B$) и проведите окружность.

3. Постройте окружность на стороне $BC$. Аналогично, сторона $BC$ будет диаметром второй окружности.

   • Найдите середину $O_2$ стороны $BC$. Это будет центр второй окружности.
   • Радиус $R_2$ будет равен $O_2B = O_2C$.
   • Проведите окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R_2$.

4. Постройте окружность на стороне $AC$. Сторона $AC$ будет диаметром третьей окружности.

   • Найдите середину $O_3$ стороны $AC$. Это будет центр третьей окружности.
   • Радиус $R_3$ будет равен $O_3A = O_3C$.
   • Проведите окружность с центром в $O_3$ и радиусом $R_3$.

В результате этих построений получится исходный треугольник и три окружности, построенные на его сторонах как на диаметрах. Примерный результат показан на рисунке ниже.

Ответ: Чтобы провести три окружности так, чтобы стороны треугольника были их диаметрами, необходимо для каждой стороны треугольника найти ее середину, которая будет центром соответствующей окружности, и провести окружность, радиус которой равен половине длины этой стороны.