Страница 66 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Из каких фигур состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда?

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из его граней. По определению, прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, у которой все шесть граней являются прямоугольниками.

Основные свойства поверхности прямоугольного параллелепипеда:

• Она состоит из 6 граней.
• Каждая грань является прямоугольником.
• Противоположные грани равны между собой и параллельны. Таким образом, поверхность состоит из трёх пар одинаковых прямоугольников.

Например, если измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$, то его поверхность будет состоять из:

• двух прямоугольников с размерами $a \times b$;
• двух прямоугольников с размерами $a \times c$;
• двух прямоугольников с размерами $b \times c$.

Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб. У куба все шесть граней — это равные квадраты. Поскольку квадрат является частным случаем прямоугольника (у которого все стороны равны), то можно утверждать, что поверхность куба также состоит из прямоугольников.

Ответ: Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

2. Сколько прямоугольный параллелепипед имеет граней? вершин? рёбер?

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, многогранник, у которого все шесть граней являются прямоугольниками. Чтобы определить количество его элементов, можно их последовательно посчитать.

граней?
Грань — это плоская поверхность, ограничивающая геометрическое тело. Прямоугольный параллелепипед имеет 2 основания (верхнее и нижнее) и 4 боковые грани (передняя, задняя, левая и правая). Таким образом, общее количество граней составляет $2 + 4 = 6$.
Ответ: 6

вершин?
Вершина — это точка, в которой сходятся три ребра (и три грани) параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 4 вершины находятся на верхнем основании и 4 вершины — на нижнем. Всего получается $4 + 4 = 8$ вершин.
Ответ: 8

рёбер?
Ребро — это отрезок, который является общей стороной для двух смежных граней. У прямоугольного параллелепипеда 4 ребра принадлежат верхнему основанию, 4 ребра — нижнему, и ещё 4 боковых ребра соединяют вершины оснований. Суммарно это даёт $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.
Ответ: 12

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников, которая связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$.
Подставим наши значения: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$. Равенство выполняется, значит, подсчёты верны.

3. Каковы названия измерений прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура, ограниченная шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Для полного описания его размеров используются три линейные величины, называемые измерениями.

Эти три измерения соответствуют длинам трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Они взаимно перпендикулярны. Общепринятые названия этих измерений следующие:

• Длина. Обычно так называют наибольший из размеров основания (горизонтальной грани). В формулах её часто обозначают буквой $a$ или $l$.
• Ширина. Это второй размер основания, перпендикулярный длине. В формулах её часто обозначают буквой $b$ или $w$.
• Высота. Это размер, перпендикулярный основанию (то есть и длине, и ширине). В формулах её часто обозначают буквой $c$ или $h$.

Важно понимать, что названия "длина" и "ширина" могут меняться местами в зависимости от того, как расположен параллелепипед. Главное, что это три взаимно перпендикулярных размера, которые полностью определяют фигуру.

Ответ: Названия измерений прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота.

4. Какую фигуру называют кубом?

Кубом (или правильным гексаэдром) называют правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны.

Основные свойства куба:

• Грани: Куб имеет 6 граней, и все они являются равными друг другу квадратами.
• Рёбра: У куба 12 рёбер одинаковой длины.
• Вершины: У куба 8 вершин, в каждой из которых сходятся три ребра и три грани.
• Углы: Все двугранные углы (углы между смежными гранями) прямые, то есть равны $90^\circ$.

Ответ: Куб — это правильный многогранник, ограниченный шестью равными квадратами.

5. Из каких фигур состоит поверхность куба?

Куб — это правильный многогранник, который также называют гексаэдром. Его поверхность образована совокупностью всех его граней.

По определению, куб представляет собой трёхмерную фигуру, у которой все рёбра равны по длине, а все углы между смежными гранями прямые (равны $90^\circ$). Из этих свойств следует, что каждая грань куба является правильным четырёхугольником, то есть квадратом.

Всего у куба шесть граней. Если представить развёртку куба на плоскости, она будет состоять из шести одинаковых квадратов. Таким образом, вся поверхность куба состоит из $6$ равных между собой квадратов.

Ответ: Поверхность куба состоит из шести квадратов.

6. Из каких фигур состоит поверхность пирамиды?

6. Поверхность пирамиды — это совокупность всех плоских фигур (граней), которые ограничивают её объём. Поверхность пирамиды состоит из двух основных частей: основания и боковой поверхности.

1. Основание: В основании пирамиды лежит многоугольник. Этот многоугольник может быть любой формы: треугольник, квадрат, прямоугольник, пятиугольник и так далее. В зависимости от формы основания пирамиды называют, например, треугольной, четырёхугольной, шестиугольной.

2. Боковая поверхность: Боковая поверхность состоит из треугольников, которые называются боковыми гранями. У всех этих треугольников есть одна общая вершина — вершина пирамиды. Количество боковых граней (треугольников) равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании. Например, у четырёхугольной пирамиды в основании лежит четырёхугольник, а боковая поверхность состоит из четырёх треугольников.

Таким образом, можно сделать вывод, что поверхность любой пирамиды состоит из одного многоугольника и нескольких треугольников.

Ответ: Поверхность пирамиды состоит из многоугольника (основания) и треугольников (боковых граней).

7. Какую пирамиду называют треугольной? четырёхугольной?

треугольной

Пирамида называется по виду многоугольника, который лежит в её основании. Таким образом, треугольной пирамидой называют пирамиду, основанием которой является треугольник. Боковыми гранями такой пирамиды являются три треугольника, которые сходятся в одной общей вершине. Поскольку все четыре грани треугольной пирамиды (включая основание) являются треугольниками, её также называют тетраэдром.

Ответ: треугольной называют пирамиду, основанием которой является треугольник.

четырёхугольной

Аналогично, четырёхугольной пирамидой называют пирамиду, в основании которой лежит четырёхугольник. Основанием может быть любой вид четырёхугольника: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция или произвольный четырёхугольник. Боковые грани такой пирамиды — это четыре треугольника, имеющие общую вершину. Всего у четырёхугольной пирамиды 5 граней (одно четырёхугольное основание и четыре треугольные боковые грани), 5 вершин и 8 рёбер.

Ответ: четырёхугольной называют пирамиду, основанием которой является четырёхугольник.

8. Что называют вершиной пирамиды?

Пирамида представляет собой многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, сходящиеся в одной точке.

Вершиной пирамиды называется общая точка, в которой сходятся все боковые грани (которые являются треугольниками). Эта точка не лежит в плоскости основания пирамиды. Все боковые рёбра, соединяющие вершины основания с этой точкой, пересекаются в ней.

Ответ: Вершиной пирамиды называют общую вершину её боковых граней, которая не лежит в плоскости основания.

9. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a$, $b$ и $c$?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты. В условии задачи эти измерения обозначены как $a$, $b$ и $c$.
Чтобы найти объём, необходимо перемножить значения этих трёх измерений. Формула для вычисления объёма имеет следующий вид:
$V = a \cdot b \cdot c$
Здесь $V$ — это объём, а $a, b, c$ — это измерения параллелепипеда.
Ответ: $V = a \cdot b \cdot c$.

10. По какой формуле вычисляют объём куба?

Объём куба вычисляется на основе длины его ребра. Куб — это правильный многогранник, у которого все грани являются квадратами, а значит, все рёбра имеют одинаковую длину.

Общая формула для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда — это произведение его длины, ширины и высоты. Поскольку у куба все эти три измерения равны, мы можем обозначить длину ребра буквой $a$. Тогда объём куба $V$ будет равен произведению длины его ребра на саму себя трижды:

$V = a \times a \times a$

Эту формулу принято записывать в более компактном виде, используя третью степень:

$V = a^3$

В этой формуле $V$ обозначает объём куба, а $a$ — длину его ребра. Таким образом, чтобы найти объём куба, достаточно измерить длину одного его ребра и возвести полученное значение в куб.

Ответ: Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $V$ — объём, а $a$ — длина ребра куба.

1. Станок-автомат штампует 10 деталей за 1 мин. Сколько времени расходуется на изготовление одной детали?

Чтобы найти, сколько времени расходуется на изготовление одной детали, необходимо общее время разделить на количество деталей, изготовленных за это время.

По условию, станок-автомат штампует 10 деталей за 1 минуту. Для удобства расчета переведем время из минут в секунды, зная, что в одной минуте 60 секунд.
$1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$

Теперь разделим общее время в секундах на количество деталей, чтобы найти время на изготовление одной детали:
$\frac{60 \text{ секунд}}{10 \text{ деталей}} = 6 \text{ секунд на деталь}$

Следовательно, на изготовление одной детали станок расходует 6 секунд.
Ответ: 6 секунд.

2. Во сколько раз:

1) 1 кг больше, чем 100 г,

2) 1 м больше, чем 250 мм;

3) 6 т больше, чем 12 ц;

4) 4 ч больше, чем 40 мин?

1) 1 кг больше, чем 100 г

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо привести их к одинаковым единицам измерения, а затем разделить большую величину на меньшую.
Переведем килограммы в граммы. В одном килограмме содержится 1000 граммов: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Теперь выполним деление:
$1000 \text{ г} \div 100 \text{ г} = 10$.
Таким образом, 1 кг больше 100 г в 10 раз.
Ответ: в 10 раз.

2) 1 м больше, чем 250 мм

Приведем обе величины к миллиметрам. В одном метре содержится 1000 миллиметров: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.
Теперь разделим большую величину на меньшую:
$1000 \text{ мм} \div 250 \text{ мм} = 4$.
Таким образом, 1 м больше 250 мм в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.

3) 6 т больше, чем 12 ц

Приведем обе величины к одной единице измерения, например, к центнерам. В одной тонне содержится 10 центнеров: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
Следовательно, 6 тонн равны $6 \times 10 = 60$ центнеров.
Теперь разделим полученное значение на 12 центнеров:
$60 \text{ ц} \div 12 \text{ ц} = 5$.
Таким образом, 6 т больше 12 ц в 5 раз.
Ответ: в 5 раз.

4) 4 ч больше, чем 40 мин

Приведем обе величины к минутам. В одном часе 60 минут: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Следовательно, 4 часа равны $4 \times 60 = 240$ минут.
Теперь разделим 240 минут на 40 минут:
$240 \text{ мин} \div 40 \text{ мин} = 6$.
Таким образом, 4 ч больше 40 мин в 6 раз.
Ответ: в 6 раз.

3. Вычислите значение выражения:

1) $7 \cdot 28 + 7 \cdot 22$;

2) $85 \cdot 216 - 75 \cdot 216$.

1) Для вычисления значения выражения $7 \cdot 28 + 7 \cdot 22$ можно применить распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. Это позволяет вынести общий множитель за скобки и упростить расчёты.
В данном случае общим множителем является число 7. Вынесем его за скобки:
$7 \cdot 28 + 7 \cdot 22 = 7 \cdot (28 + 22)$
Теперь выполним действия в правильном порядке:
1. Вычислим сумму в скобках:
$28 + 22 = 50$
2. Умножим полученный результат на общий множитель:
$7 \cdot 50 = 350$
Ответ: 350

2) Для вычисления значения выражения $85 \cdot 216 - 75 \cdot 216$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.
Общим множителем здесь является число 216. Вынесем его за скобки:
$85 \cdot 216 - 75 \cdot 216 = (85 - 75) \cdot 216$
Теперь выполним действия по порядку:
1. Вычислим разность в скобках:
$85 - 75 = 10$
2. Умножим полученный результат на общий множитель:
$10 \cdot 216 = 2160$
Ответ: 2160

4. Во сколько раз площадь квадрата, сторона которого равна 8 см, больше площади квадрата со стороной 4 см?

Для решения этой задачи необходимо вычислить площадь каждого квадрата, а затем найти их отношение.

1. Сначала найдем площадь первого квадрата, сторона которого равна 8 см. Обозначим его сторону как $a_1$, а площадь как $S_1$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_1 = a_1^2 = 8^2 = 64$ $см^2$.

2. Далее найдем площадь второго квадрата, сторона которого равна 4 см. Обозначим его сторону как $a_2$, а площадь как $S_2$.

$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ $см^2$.

3. Чтобы узнать, во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго, нужно разделить площадь первого квадрата на площадь второго:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{64}{16} = 4$.

Таким образом, площадь квадрата со стороной 8 см в 4 раза больше площади квадрата со стороной 4 см.

Ответ: в 4 раза.

5. Дима разделил число 10 437 на число 49 и получил ответ 214. Когда Катя увидела этот ответ, она сразу сказала, что Дима ошибся. Как она это определила?

Катя смогла определить ошибку Димы, не выполняя полного вычисления, а просто проверив последнюю цифру результата. Этот метод позволяет очень быстро проверить правдоподобность результата умножения или деления.

Чтобы проверить, верно ли равенство $10437 \div 49 = 214$, нужно выполнить обратное действие — умножение. Если Дима прав, то произведение частного и делителя должно быть равно делимому:

$49 \times 214 = 10437$

Теперь посмотрим на последние цифры этих чисел:

• Число 49 оканчивается на цифру 9.
• Число 214 оканчивается на цифру 4.

Чтобы найти последнюю цифру произведения $49 \times 214$, достаточно перемножить их последние цифры:

$9 \times 4 = 36$

Произведение этих чисел должно оканчиваться на ту же цифру, что и число 36, то есть на 6.

Однако исходное число, которое делил Дима, — 10 437 — оканчивается на цифру 7.

Поскольку последняя цифра результата умножения (6) не совпадает с последней цифрой исходного числа (7), Катя сразу поняла, что вычисление неверно.

Для справки, правильный ответ: $10437 \div 49 = 213$. Проверка по последней цифре: $9 \times 3 = 27$, что оканчивается на 7. Это совпадает с последней цифрой числа 10 437.

Ответ: Катя умножила последнюю цифру делителя (9) на последнюю цифру предполагаемого ответа (4). Результат $9 \times 4 = 36$ оканчивается на 6, в то время как делимое число 10 437 оканчивается на 7. Несовпадение последних цифр (6 и 7) указывает на ошибку в вычислениях.

6. Назовите трёхзначное число, кратное 9, первая цифра которого равна 8, а две другие его цифры одинаковые.

Обозначим искомое трёхзначное число. По условию, его первая цифра равна 8, а две другие одинаковы. Пусть эта одинаковая цифра будет $a$. Тогда число можно записать в виде $\overline{8aa}$.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9. Найдём сумму цифр нашего числа: $S = 8 + a + a = 8 + 2a$.

Сумма $S$ должна быть кратна 9. Так как $a$ — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9, поэтому сумма $S$ может находиться в диапазоне от $8 + 2 \cdot 0 = 8$ до $8 + 2 \cdot 9 = 26$.

В промежутке от 8 до 26 есть только одно число, которое делится на 9 — это 18.

Следовательно, сумма цифр нашего числа должна быть равна 18. Составим и решим уравнение:

$8 + 2a = 18$

$2a = 18 - 8$

$2a = 10$

$a = 5$

Таким образом, неизвестная цифра равна 5. Искомое число — 855.

Ответ: 855

Упражнения

Рис. 82

287. На рисунке 82 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDEFMK$, измерения которого различны. Назовите:

1) грани, которым принадлежит вершина $C$;

2) рёбра, равные ребру $BC$;

3) грани, имеющие общее ребро $AE$;

4) грань, равную грани $BFMC$.

1) грани, которым принадлежит вершина C;

Вершина является точкой пересечения рёбер и принадлежит всем граням, которые в этой точке сходятся. В прямоугольном параллелепипеде в каждой вершине сходятся три грани. Вершина C является общей для следующих трёх граней: нижней грани ABCD, задней грани BFMC и правой боковой грани DCKM.
Ответ: ABCD, BFMC, DCKM.

2) рёбра, равные ребру BC;

В прямоугольном параллелепипеде рёбра, параллельные друг другу, равны по длине. Существует три группы по четыре взаимно параллельных и равных ребра. Ребро BC является одним из рёбер, определяющих "ширину" параллелепипеда. Три других ребра, параллельных и равных ребру BC, это: AD (противоположное ребро в нижней грани), EK и FM (соответствующие рёбра в верхней грани).
Ответ: AD, EK, FM.

3) грани, имеющие общее ребро AE;

Каждое ребро прямоугольного параллелепипеда является линией пересечения двух смежных граней. Ребро AE — это вертикальное ребро, которое является общим для передней грани AEKD и левой боковой грани ABEF.
Ответ: AEKD, ABEF.

4) грань, равную грани BFMC.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани попарно равны (конгруэнтны) и параллельны. Грань BFMC является задней гранью параллелепипеда. Противоположной ей является передняя грань, которая образована вершинами A, E, K, D. Следовательно, грань, равная грани BFMC, — это грань AEKD.
Ответ: AEKD.