Страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

299. Сколько квадратных дециметров картона необходимо для изготовления открытой коробки, длина которой равна 40 см, ширина – 30 см, а высота – 20 см? Каков объём этой коробки?

Сколько квадратных дециметров картона необходимо для изготовления открытой коробки, длина которой равна 40 см, ширина — 30 см, а высота — 20 см?

Для решения задачи сначала переведем все размеры коробки из сантиметров (см) в дециметры (дм), так как площадь требуется найти в квадратных дециметрах. Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, получаем:
Длина: $l = 40 \text{ см} = 4 \text{ дм}$
Ширина: $w = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}$
Высота: $h = 20 \text{ см} = 2 \text{ дм}$

Так как коробка открытая, у нее нет верхней крышки. Площадь необходимого картона ($S$) будет равна сумме площади дна ($S_{дна}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

1. Находим площадь дна, которая вычисляется как произведение длины на ширину:
$S_{дна} = l \times w = 4 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} = 12 \text{ дм}^2$.

2. Находим площадь боковой поверхности. Она состоит из двух стенок размером $l \times h$ и двух стенок размером $w \times h$:
$S_{бок} = 2 \times (l \times h) + 2 \times (w \times h) = 2 \times (4 \text{ дм} \times 2 \text{ дм}) + 2 \times (3 \text{ дм} \times 2 \text{ дм}) = 16 \text{ дм}^2 + 12 \text{ дм}^2 = 28 \text{ дм}^2$.

3. Складываем площади дна и боковой поверхности, чтобы найти общую площадь картона:
$S = S_{дна} + S_{бок} = 12 \text{ дм}^2 + 28 \text{ дм}^2 = 40 \text{ дм}^2$.

Ответ: 40 дм².

Каков объём этой коробки?

Объём ($V$) коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле $V = l \times w \times h$. Подставим значения размеров коробки в дециметрах:
$V = 4 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^3$.

Для справки, объём коробки в кубических сантиметрах равен: $V = 40 \text{ см} \times 30 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 24000 \text{ см}^3$.

Ответ: 24 дм³.

300. Сколько кубиков с ребром 10 см необходимо, чтобы сложить прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 5 дм, 6 дм и 7 дм?

Чтобы найти количество кубиков, необходимое для построения прямоугольного параллелепипеда, можно вычислить объемы обеих фигур и разделить объем параллелепипеда на объем одного кубика. Для этого все измерения должны быть в одинаковых единицах.

1. Приведение измерений к единой единице.
Ребро кубика дано в сантиметрах (см), а измерения параллелепипеда — в дециметрах (дм). Переведем все размеры в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Длина параллелепипеда: $a = 5 \text{ дм} = 5 \times 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
Ширина параллелепипеда: $b = 6 \text{ дм} = 6 \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
Высота параллелепипеда: $c = 7 \text{ дм} = 7 \times 10 \text{ см} = 70 \text{ см}$.
Ребро кубика: $l = 10 \text{ см}$.

2. Вычисление объемов.
Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_{п}$) вычисляется по формуле $V_{п} = a \times b \times c$.
$V_{п} = 50 \text{ см} \times 60 \text{ см} \times 70 \text{ см} = 210000 \text{ см}^3$.
Объем одного кубика ($V_{к}$) вычисляется по формуле $V_{к} = l^3$.
$V_{к} = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

3. Нахождение количества кубиков.
Чтобы найти, сколько кубиков поместится в параллелепипед, разделим его объем на объем одного кубика.
Количество кубиков $N = \frac{V_{п}}{V_{к}} = \frac{210000 \text{ см}^3}{1000 \text{ см}^3} = 210$.

Также можно было рассчитать, сколько кубиков укладывается вдоль каждой стороны:

• Вдоль длины: $50 \text{ см} / 10 \text{ см} = 5$ кубиков.
• Вдоль ширины: $60 \text{ см} / 10 \text{ см} = 6$ кубиков.
• Вдоль высоты: $70 \text{ см} / 10 \text{ см} = 7$ кубиков.

Общее количество кубиков: $5 \times 6 \times 7 = 210$.

Ответ: 210.

301. Прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 2 м, 3 м и 4 м, разрезали на кубики объёмом $1 \text{ дм}^3$ каждый. Чему будет равна высота полученного параллелепипеда, если эти кубики поставить друг на друга?

Для решения задачи сначала найдем объем исходного прямоугольного параллелепипеда. Его измерения равны 2 м, 3 м и 4 м. Объем $V$ вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим значения:

$V = 2 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} = 24 \text{ м}^3$

Далее, нам нужно узнать, сколько кубиков объемом 1 дм³ поместится в этом параллелепипеде. Для этого переведем объем параллелепипеда в кубические дециметры. Мы знаем, что в 1 метре 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, в 1 кубическом метре содержится:

$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$

Теперь переведем объем параллелепипеда в дм³:

$V = 24 \text{ м}^3 = 24 \cdot 1000 \text{ дм}^3 = 24000 \text{ дм}^3$

Поскольку объем каждого кубика равен 1 дм³, общее количество кубиков, на которые разрезали параллелепипед, равно его объему в кубических дециметрах:

Количество кубиков = $\frac{24000 \text{ дм}^3}{1 \text{ дм}^3} = 24000$ штук.

Теперь найдем высоту полученного параллелепипеда, если все эти кубики поставить друг на друга. Сначала определим высоту (длину ребра) одного кубика. Так как его объем равен 1 дм³, его ребро равно:

$a_{кубика} = \sqrt[3]{1 \text{ дм}^3} = 1 \text{ дм}$

Когда мы ставим 24000 кубиков друг на друга, мы получаем новый параллелепипед (башню) с основанием 1 дм × 1 дм и высотой, равной сумме высот всех кубиков. Высота этой башни будет равна:

$H = 24000 \cdot 1 \text{ дм} = 24000 \text{ дм}$

Для наглядности можно перевести эту высоту в метры и километры:

$24000 \text{ дм} = 2400 \text{ м} = 2.4 \text{ км}$

Ответ: 24000 дм (или 2400 м, или 2,4 км).

302. Найдите массу железной плиты, изображённой на рисунке 90, если масса $1 \text{ дм}^3$ железа составляет $7,9 \text{ кг}$ (размеры даны в дециметрах).

Рис. 90

Для того чтобы найти массу железной плиты, необходимо сначала вычислить её объём. Масса ($M$) вычисляется по формуле $M = V \times \rho$, где $V$ — объём, а $\rho$ — плотность (в данном случае, масса 1 дм³ железа).

Объём плиты можно рассчитать, умножив площадь её поперечного сечения ($S$) на её глубину ($L$).

Из рисунка видно, что размеры плиты следующие:

• Общая длина: $8$ дм
• Глубина (ширина): $L = 6$ дм
• Общая высота: $2$ дм

Поперечное сечение плиты имеет форму прямоугольника с вырезом. Мы можем найти его площадь, вычев из площади большого прямоугольника площадь выреза.

Высота выреза на чертеже не указана. В таких задачах, если нет дополнительных уточнений, можно предположить, что вырез сделан до половины высоты. Таким образом, принимаем высоту выреза равной $2 \div 2 = 1$ дм.

Размеры выреза: ширина $2$ дм и высота $1$ дм.

Площадь большого прямоугольника (без учёта выреза): $S_{большой} = 8 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} = 16$ дм².

Площадь выреза: $S_{вырез} = 2 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 2$ дм².

Площадь поперечного сечения плиты:

$S = S_{большой} - S_{вырез} = 16 - 2 = 14$ дм².

Теперь вычислим объём плиты:

$V = S \times L = 14 \text{ дм}^2 \times 6 \text{ дм} = 84$ дм³.

По условию, масса 1 дм³ железа составляет $7,9$ кг, то есть плотность $\rho = 7,9$ кг/дм³.

Найдём массу плиты:

$M = V \times \rho = 84 \text{ дм}^3 \times 7,9 \text{ кг/дм}^3 = 663,6$ кг.

Ответ: 663,6 кг.

303. Найдите массу деревянной детали (рис. 91), сделанной из дуба, если масса $1 \text{ дм}^3$ дуба составляет 700 г (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 91

Для нахождения массы деревянной детали необходимо сначала вычислить её объём. Деталь представляет собой L-образную призму. Объём такой фигуры можно найти, разбив её на два прямоугольных параллелепипеда.

1. Разобьем деталь на два параллелепипеда. Первый, верхний, имеет размеры 20 см, 20 см и 30 см. Его объём $V_1$ составляет:
$V_1 = 20 \text{ см} \times 20 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 12000 \text{ см}^3$

2. Второй, нижний, параллелепипед имеет размеры 60 см, 10 см и 30 см. Его объём $V_2$ составляет:
$V_2 = 60 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 18000 \text{ см}^3$

3. Общий объём детали $V$ равен сумме объёмов этих двух частей:
$V = V_1 + V_2 = 12000 \text{ см}^3 + 18000 \text{ см}^3 = 30000 \text{ см}^3$

4. По условию задачи, масса 1 $дм^3$ дуба составляет 700 г. Для расчёта массы необходимо перевести объём детали из кубических сантиметров ($см^3$) в кубические дециметры ($дм^3$).
Так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^3 = 10^3 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$V = \frac{30000 \text{ см}^3}{1000 \text{ см}^3/\text{дм}^3} = 30 \text{ дм}^3$

5. Теперь, зная объём, можно вычислить массу детали ($m$):
$m = 30 \text{ дм}^3 \times 700 \frac{\text{г}}{\text{дм}^3} = 21000 \text{ г}$

Полученное значение можно также выразить в килограммах: $21000 \text{ г} = 21 \text{ кг}$.

Ответ: 21000 г.

304. Пирамида имеет 1001 грань. Сколько:

1) сторон имеет основание пирамиды;

2) рёбер имеет эта пирамида?

1) сторон имеет основание пирамиды;

Пусть $n$ – это количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Общее количество граней пирамиды состоит из одной грани основания и $n$ боковых граней (по одной для каждой стороны основания). Таким образом, общее число граней равно $n + 1$. Согласно условию, у пирамиды 1001 грань. Составим уравнение:
$n + 1 = 1001$
Чтобы найти $n$, вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$n = 1001 - 1$
$n = 1000$
Следовательно, основание пирамиды имеет 1000 сторон.
Ответ: 1000.

2) рёбер имеет эта пирамида?

Количество рёбер пирамиды также зависит от числа сторон её основания ($n$). У пирамиды есть $n$ рёбер в основании (это стороны многоугольника) и $n$ боковых рёбер, которые соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Общее количество рёбер вычисляется по формуле $2n$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $n = 1000$. Подставим это значение в формулу:
Количество рёбер = $2 \times n = 2 \times 1000 = 2000$
Таким образом, у этой пирамиды 2000 рёбер.
Ответ: 2000.

305. Основанием пирамиды является двадцатиугольник. Найдите количество граней пирамиды и количество её рёбер.

Давайте решим эту задачу по частям, определив сначала количество граней, а затем количество рёбер пирамиды, основанием которой является двадцатиугольник.

Количество граней пирамиды

Грани пирамиды состоят из основания и боковых граней.
1. Основание у пирамиды одно. В данном случае это двадцатиугольник.
2. Боковые грани представляют собой треугольники, каждая из которых соединяет одну из сторон основания с вершиной пирамиды. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника в основании.
Поскольку основанием является двадцатиугольник, у него 20 сторон. Следовательно, у пирамиды 20 боковых граней.
Общее количество граней — это сумма основания и боковых граней.
Если $n$ — это количество сторон многоугольника в основании, то общее число граней $G$ равно:
$G = 1 (\text{основание}) + n (\text{боковые грани}) = n + 1$
Подставим наше значение $n = 20$:
$G = 20 + 1 = 21$
Ответ: у пирамиды 21 грань.

Количество рёбер пирамиды

Рёбра пирамиды состоят из рёбер основания и боковых рёбер.
1. Рёбра основания — это стороны многоугольника в основании. У двадцатиугольника 20 сторон, следовательно, 20 рёбер основания.
2. Боковые рёбра соединяют каждую вершину основания с вершиной пирамиды. Так как у двадцатиугольника 20 вершин, то и боковых рёбер тоже 20.
Общее количество рёбер — это сумма рёбер основания и боковых рёбер.
Если $n$ — это количество сторон многоугольника в основании, то общее число рёбер $R$ равно:
$R = n (\text{рёбра основания}) + n (\text{боковые рёбра}) = 2n$
Подставим наше значение $n = 20$:
$R = 2 \times 20 = 40$
Ответ: у пирамиды 40 рёбер.

306. На рисунке 92 изображены куб и его развёртка. Сколько точек находится на задней грани куба?

Рис. 92

Для решения этой задачи необходимо определить, какое количество точек находится на грани куба, противоположной к передней грани, используя данную развёртку.

1. На изображении куба мы видим его переднюю грань, на которой находится 1 точка. Задняя грань куба является противоположной к передней.

2. Чтобы узнать, какая грань противоположна грани с 1 точкой, необходимо проанализировать развёртку. В развёртке куба грани, являющиеся противоположными, можно определить, мысленно свернув её. Если принять за основу центральный горизонтальный ряд граней [6][3][2][5], то при сворачивании его в "трубу" грань с 3 точками окажется напротив грани с 5 точками, а грань с 6 точками — напротив грани с 2 точками. Оставшиеся две грани (с 1 и 4 точками), которые прикреплены сверху и снизу к грани с 2 точками, станут "крышкой" и "дном" и, следовательно, будут противоположны друг другу.

Таким образом, мы получаем следующие пары противоположных граней:

• 1 и 4
• 2 и 6
• 3 и 5

3. Теперь вернёмся к изображению куба. Его передняя грань имеет 1 точку. Исходя из установленных нами пар, грань, противоположная грани с 1 точкой, — это грань с 4 точками.

Следовательно, на задней грани куба находится 4 точки.

Примечание: Важно заметить, что сам рисунок куба содержит ошибку и противоречит развёртке. Согласно развёртке, грани с 1 и 4 точками должны быть на противоположных сторонах куба, однако на рисунке они показаны как смежные (имеющие общее ребро). В подобных задачах принято считать данные развёртки определяющими, а рисунок куба — лишь иллюстрацией, указывающей на расположение передней грани.

Ответ: 4