Номер 279, страница 61 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Окружность и круг. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 279, страница 61.

Условие.

279. Начертите окружность с центром $O$ и проведите её диаметр, который обозначьте $AC$. Проведите ещё один диаметр, который обозначьте $BD$, так, чтобы угол $AOB$ был прямой. Проведите хорды $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Выскажите гипотезу, какой вид имеет четырёхугольник $ABCD$. Проверьте свою гипотезу с помощью линейки и транспортира.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи выполним все шаги последовательно.

Начертите окружность с центром O и проведите её диаметр, который обозначьте AC. Проведите ещё один диаметр, который обозначьте BD, так, чтобы угол AOB был прямой. Проведите хорды AB, BC, CD и AD.

1. С помощью циркуля чертим окружность с центром в точке $O$.
2. С помощью линейки проводим через центр $O$ прямую линию до пересечения с окружностью в двух точках. Обозначаем эти точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ — диаметр.
3. С помощью транспортира или угольника строим угол $\angle AOB = 90^\circ$. Продлеваем луч $BO$ до пересечения с окружностью в точке $D$. Отрезок $BD$ — второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$.
4. Соединяем последовательно точки $A, B, C$ и $D$ отрезками. Эти отрезки являются хордами $AB, BC, CD$ и $AD$, которые образуют четырёхугольник $ABCD$.

Выскажите гипотезу, какой вид имеет четырёхугольник ABCD.

При взгляде на полученный чертёж можно предположить, что все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны, а все его углы — прямые.
Ответ: Гипотеза: четырёхугольник $ABCD$ является квадратом.

Проверьте свою гипотезу с помощью линейки и транспортира.

1. Проверка с помощью измерительных инструментов.
• Берём линейку и измеряем длины всех четырёх сторон: $AB, BC, CD$ и $AD$. В результате измерений убеждаемся, что все стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$. Это свойство ромба.
• Берём транспортир и измеряем величину каждого угла четырёхугольника: $\angle DAB, \angle ABC, \angle BCD, \angle CDA$. Измерения показывают, что все углы равны $90^\circ$.
• Вывод: так как у четырёхугольника $ABCD$ все стороны равны и все углы прямые, он является квадратом. Гипотеза подтверждена.

2. Геометрическое доказательство гипотезы.
Рассмотрим полученный четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности с центром $O$.
• Так как $AC$ и $BD$ — диаметры одной окружности, они равны: $AC = BD$.
• Диагонали пересекаются в центре $O$ и делятся этой точкой пополам, так как $OA = OC = OB = OD$ (все они являются радиусами).
• По условию построения, угол между диаметрами $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.
• Четырёхугольник, у которого диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

Другой способ доказательства:
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$.
• Эти треугольники являются равнобедренными, так как их боковые стороны — радиусы окружности ($OA=OB=OC=OD=r$).
• Углы при вершине $O$ у этих треугольников равны $90^\circ$ ($\angle AOB = 90^\circ$ по условию; $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 90^\circ$ как смежный; $\angle COD = \angle AOB = 90^\circ$ и $\angle DOA = \angle BOC = 90^\circ$ как вертикальные).
• Следовательно, все четыре треугольника равны по двум сторонам (катетам) и углу между ними.
• Из равенства треугольников следует равенство их оснований (гипотенуз), которые являются сторонами четырёхугольника: $AB=BC=CD=DA$. Таким образом, $ABCD$ — ромб.
• Так как, например, $\triangle AOB$ — равнобедренный и прямоугольный, то углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$. Аналогично, из $\triangle AOD$ имеем $\angle OAD = 45^\circ$.
• Угол четырёхугольника $\angle DAB = \angle OAB + \angle OAD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
• Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом.

Ответ: Проверка с помощью линейки и транспортира, а также строгое геометрическое доказательство подтверждают, что четырёхугольник $ABCD$ является квадратом.