Номер 282, страница 62 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Окружность и круг. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 282, страница 62.

Условие.

282. 1) Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на 2 см. Сколько существует таких точек?

2) Начертите отрезок $CD$, длина которого равна 3 см 5 мм. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на 2 см 5 мм, а от точки $D$ на 3 см. Сколько существует таких точек?

Решение.

Решение 2.

1)

Чтобы найти точку, которая удалена от каждого из концов отрезка $AB$ на одинаковое расстояние, нужно использовать метод геометрических мест точек. Множество всех точек, удаленных от точки $A$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 2$ см. Аналогично, множество всех точек, удаленных от точки $B$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 2$ см.

Искомые точки будут являться точками пересечения этих двух окружностей. Длина отрезка $AB$ равна 3 см — это расстояние между центрами окружностей. Для того чтобы две окружности пересекались в двух точках, расстояние между их центрами $d$ должно быть больше разности их радиусов и меньше их суммы: $|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$.

Подставим наши значения:

$|2 \text{ см} - 2 \text{ см}| < 3 \text{ см} < 2 \text{ см} + 2 \text{ см}$

$0 \text{ см} < 3 \text{ см} < 4 \text{ см}$

Неравенство верно, следовательно, окружности пересекаются в двух точках. Эти две точки и будут искомыми, так как каждая из них принадлежит обеим окружностям и, значит, удалена от точек $A$ и $B$ на 2 см.

Ответ: существует 2 такие точки.

2)

В этом случае мы также ищем точки пересечения двух окружностей. Длина отрезка $CD$ равна $3 \text{ см } 5 \text{ мм} = 3.5 \text{ см}$.

Первая окружность имеет центр в точке $C$ и радиус $R_C = 2 \text{ см } 5 \text{ мм} = 2.5 \text{ см}$.

Вторая окружность имеет центр в точке $D$ и радиус $R_D = 3 \text{ см}$.

Расстояние между центрами окружностей $d$ равно длине отрезка $CD$, то есть $d = 3.5$ см. Проверим условие пересечения двух окружностей: $|R_C - R_D| < d < R_C + R_D$.

Вычислим разность и сумму радиусов:

Разность: $|2.5 \text{ см} - 3 \text{ см}| = |-0.5 \text{ см}| = 0.5 \text{ см}$.

Сумма: $2.5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5.5 \text{ см}$.

Подставим значения в неравенство:

$0.5 \text{ см} < 3.5 \text{ см} < 5.5 \text{ см}$

Неравенство верно, значит, окружности пересекаются в двух точках. Каждая из этих точек будет удалена от точки $C$ на 2.5 см и от точки $D$ на 3 см.

Ответ: существует 2 такие точки.