Номер 278, страница 61 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Окружность и круг. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 278, страница 61.

Условие.

278. Начертите окружность, проведите её диаметр $AB$. Отметьте на окружности точки $C$ и $D$ и соедините каждую из них с концами диаметра $AB$. Выскажите гипотезу, чему равна величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$. Проверьте свою гипотезу с помощью транспортира.

Решение.

Решение 2.

Для выполнения задания последовательно осуществим все требуемые действия.

Построение

1. С помощью циркуля начертим окружность с произвольным центром O.
2. Проведем прямую через центр O. Точки пересечения прямой с окружностью обозначим A и B. Отрезок AB является диаметром окружности.
3. Выберем на окружности две произвольные точки C и D, не совпадающие с A и B.
4. Соединим отрезками точку C с точками A и B, а также точку D с точками A и B. В результате получатся треугольники ACB и ADB.

Гипотеза

Визуально оценивая углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$, можно предположить, что они являются прямыми. Таким образом, гипотеза заключается в следующем: величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ равна $90^{\circ}$.

Проверка гипотезы

Для проверки гипотезы можно использовать два подхода: практический (измерение) и теоретический (доказательство).

Практическая проверка:
Приложив транспортир к вершине C, совмещая одну из сторон угла (например, AC) с нулевой отметкой, можно увидеть, что вторая сторона (BC) проходит через отметку $90^{\circ}$. Аналогичное измерение угла $\angle ADB$ также покажет, что его величина равна $90^{\circ}$. Это подтверждает нашу гипотезу.

Теоретическое доказательство:
Гипотеза является следствием фундаментального свойства вписанных углов в окружности.
Теорема о вписанном угле: Вписанный угол (угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её) равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
В нашем случае углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$ — вписанные. Оба угла опираются на диаметр AB. Диаметр делит окружность на две полуокружности. Так как полная окружность составляет $360^{\circ}$, то дуга каждой полуокружности равна $360^{\circ} / 2 = 180^{\circ}$.
Следовательно, для угла $\angle ACB$, который опирается на дугу $AB$, его величина равна:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$
Точно так же для угла $\angle ADB$, который опирается на другую дугу $AB$:
$\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$
Таким образом, гипотеза полностью доказана: любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым.

Ответ: Гипотеза: величина каждого из углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ равна $90^{\circ}$.