Номер 235, страница 46 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Прямая. Луч. Отрезок. Угол. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 235, страница 46.

Условие.

235. По кругу записано 7 натуральных чисел. Докажите, что среди этих чисел найдутся два соседних, сумма которых чётна.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Сумма двух натуральных чисел является чётной, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Если числа имеют разную чётность, их сумма нечётна. То есть: Чётное + Чётное = Чётное; Нечётное + Нечётное = Чётное; Чётное + Нечётное = Нечётное.

Предположим противное: что среди 7 чисел, записанных по кругу, нет двух соседних, сумма которых чётна. Это означает, что сумма любой пары соседних чисел нечётна.

Если сумма двух соседних чисел нечётна, то эти числа должны иметь разную чётность. То есть, чётное число должно обязательно стоять рядом с нечётным, и наоборот.

Обозначим числа, записанные по кругу, как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Пусть число $a_1$ — чётное. Тогда, согласно нашему предположению, чётность чисел должна чередоваться: $a_1$ — чётное, значит $a_2$ (его сосед) должно быть нечётным; $a_2$ — нечётное, значит $a_3$ должно быть чётным; $a_3$ — чётное, значит $a_4$ должно быть нечётным, и так далее.

Таким образом, мы получаем следующую последовательность чётностей для чисел от $a_1$ до $a_7$: Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное.

Теперь рассмотрим последнюю пару соседних чисел в круге: $a_7$ и $a_1$. Согласно нашей последовательности, и $a_7$, и $a_1$ являются чётными. Их сумма $a_7 + a_1$ будет суммой двух чётных чисел, а значит, она будет чётной.

Это противоречит нашему исходному предположению о том, что сумма любой пары соседних чисел нечётна.

Если бы мы изначально предположили, что $a_1$ — нечётное, мы бы получили последовательность: Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное, Чётное, Нечётное. В этом случае $a_7$ и $a_1$ оба были бы нечётными, и их сумма $a_7 + a_1$ также была бы чётной (как сумма двух нечётных чисел), что снова привело бы к противоречию.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Значит, по кругу не могут быть расположены 7 чисел так, чтобы сумма любых двух соседних была нечётной. Обязательно найдётся пара соседних чисел с одинаковой чётностью.

Ответ: Утверждение доказано. Среди 7 натуральных чисел, записанных по кругу, обязательно найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.