Страница 185 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

941. Арбуз весил 20 кг, в нём содержалось 99 % воды. Через несколько дней он немного усох и содержание воды уменьшилось до 98 %. Сколько теперь весит арбуз?

Решение. На первый взгляд кажется, что вес арбуза мало изменился, но это только на первый взгляд! Вес «сухого вещества» в арбузе составлял $100 - 99 = 1(\%)$, или $20 \cdot 0,01 = 0,2$ (кг).

После того как арбуз усох, вес «сухого вещества» составил $100 - 98 = 2(\%)$ от нового веса арбуза. Найдём этот новый вес: $0,2 : 0,02 = 10$ (кг).

Итак, вес арбуза уменьшился вдвое!

Решение.

Ключ к решению этой, на первый взгляд, парадоксальной задачи заключается в том, что при усыхании арбуза испаряется только вода, а масса так называемого «сухого вещества» (мякоть, корка, семечки) остается постоянной.

Шаг 1: Вычислим массу сухого вещества.

Изначально арбуз весил $20$ кг, и содержание воды в нем было $99\%$. Следовательно, процентное содержание сухого вещества составляло:
$100\% - 99\% = 1\%$

Теперь найдем массу этого сухого вещества в килограммах. Она составляет $1\%$ от общего веса:
$m_{сух} = 20 \text{ кг} \times 0.01 = 0.2 \text{ кг}$
Эта масса ($0.2$ кг) не изменится в процессе усыхания.

Шаг 2: Найдем новый вес арбуза.

После того как арбуз усох, содержание воды в нем снизилось до $98\%$. Теперь процентное содержание сухого вещества в арбузе составляет:
$100\% - 98\% = 2\%$

Масса сухого вещества осталась неизменной и равна $0.2$ кг, но теперь эти $0.2$ кг составляют $2\%$ от нового, уменьшенного веса арбуза. Обозначим новый вес арбуза как $X$. Тогда мы можем составить уравнение:
$X \times 0.02 = 0.2 \text{ кг}$

Решим это уравнение, чтобы найти $X$:
$X = \frac{0.2}{0.02} = \frac{20}{2} = 10 \text{ кг}$

Таким образом, новый вес арбуза после усыхания составляет $10$ кг. Несмотря на то, что процент воды изменился незначительно, вес арбуза уменьшился вдвое.

Ответ: $10$ кг.

942. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу $99 \%$ сосны. После рубки сосна будет составлять $98 \%$ всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

Для решения этой задачи необходимо сосредоточиться на количестве деревьев, которые не являются соснами, так как их число не меняется в процессе вырубки. Это постоянная величина, которая поможет нам связать состояние леса до и после вырубки.

Пусть $N_1$ — общее количество деревьев в лесу до вырубки, а $D$ — количество деревьев других пород (не сосен).

1. Начальное состояние леса:

Изначально сосны составляли 99% всех деревьев. Следовательно, деревья других пород составляли $100\% - 99\% = 1\%$ от общего числа деревьев.

$D = 0.01 \cdot N_1$

2. Конечное состояние леса:

После вырубки, в результате которой были срублены только сосны, их доля от нового общего числа деревьев ($N_2$) стала равна 98%. Количество деревьев других пород ($D$) осталось прежним, но теперь они составляют $100\% - 98\% = 2\%$ от нового общего числа деревьев.

$D = 0.02 \cdot N_2$

3. Вычисление:

Так как количество деревьев других пород $D$ не изменилось, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений:

$0.01 \cdot N_1 = 0.02 \cdot N_2$

Теперь мы можем найти соотношение между начальным и конечным количеством деревьев в лесу. Для этого разделим обе части уравнения на 0.01:

$N_1 = 2 \cdot N_2$

Это равенство показывает, что общее количество деревьев до вырубки было в два раза больше, чем после вырубки. Иными словами, после вырубки осталась ровно половина всех деревьев, которые были изначально.

Количество вырубленных деревьев — это разница между начальным и конечным количеством:

$N_{вырубленных} = N_1 - N_2 = N_1 - \frac{N_1}{2} = \frac{1}{2} N_1$

Таким образом, было вырублено количество деревьев, равное половине от первоначального их числа.

Ответ: Леспромхоз может вырубить $\frac{1}{2}$ (половину) леса.