Страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

957. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Для того чтобы обыкновенная несократимая дробь разлагалась в конечную десятичную дробь, её знаменатель не должен иметь никаких других простых делителей, кроме 2 и 5. Другими словами, разложение знаменателя на простые множители должно иметь вид $2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ – целые неотрицательные числа.

Это правило объясняется тем, что любая конечная десятичная дробь по определению является дробью, знаменатель которой — это степень числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень десяти, $10^k$, будет иметь вид $(2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Таким образом, чтобы обыкновенную несократимую дробь $\frac{a}{b}$ можно было преобразовать в конечную десятичную, её знаменатель $b$ должен быть делителем некоторой степени числа 10. Это возможно только в том случае, если в разложении знаменателя $b$ на простые множители содержатся только числа 2 и 5.

Приведите примеры

• Дробь $\frac{3}{4}$.
  Знаменатель $4 = 2^2$. В разложении присутствует только простой делитель 2.
  $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$.

• Дробь $\frac{7}{20}$.
  Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только простые делители 2 и 5.
  $\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0.35$.

• Дробь $\frac{11}{125}$.
  Знаменатель $125 = 5^3$. В разложении присутствует только простой делитель 5.
  $\frac{11}{125} = \frac{11 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{88}{1000} = 0.088$.

В качестве контрпримера можно рассмотреть дробь $\frac{5}{12}$. Её знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует простой множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Знаменатель обыкновенной несократимой дроби должен иметь в качестве простых делителей только числа 2 и 5.

958. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную? Приведите примеры.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную двумя основными способами.

Способ 1: Приведение дроби к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д.

Этот способ подходит для дробей, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это возможно, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся только числа 2 и 5. Для преобразования необходимо домножить числитель и знаменатель на такое число (дополнительный множитель), чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 или любая другая степень десяти.

Примеры:

• Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе 100 (то есть $10^2$), нужно домножить его на $5^2 = 25$.
  $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$.
• Преобразуем дробь $\frac{7}{20}$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$. Чтобы получить в знаменателе 100, нужно домножить дробь на 5.
  $\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35$.

Ответ: Один из способов – приведение знаменателя дроби к степени числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.) путем умножения числителя и знаменателя на дополнительный множитель. Например, $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель

Этот способ является универсальным и подходит для любой обыкновенной дроби. Чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно просто разделить ее числитель на знаменатель (например, "в столбик"). В результате может получиться как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь.

Примеры:

• Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$. Разделим 3 на 4 столбиком.
  $3 \div 4 = 0,75$. Получилась конечная десятичная дробь.
• Преобразуем дробь $\frac{2}{3}$. Разделим 2 на 3. При делении мы будем постоянно получать в остатке 2, а в частном – повторяющуюся цифру 6.
  $\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$. Получилась бесконечная периодическая десятичная дробь.
• Преобразуем дробь $\frac{5}{11}$. Разделим 5 на 11. В частном получится повторяющаяся группа цифр 45.
  $\frac{5}{11} = 5 \div 11 = 0,4545... = 0,(45)$. Это также бесконечная периодическая десятичная дробь.

Ответ: Другой, универсальный способ – это деление числителя на знаменатель. В результате получается конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, $\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

959. Какие простые множители содержит знаменатель дроби:

а) $\frac{1}{64}$;

б) $\frac{1}{48}$;

в) $\frac{1}{56}$;

г) $\frac{1}{24}$;

д) $\frac{1}{128}$;

е) $\frac{1}{78}$;

ж) $\frac{1}{256}$;

з) $\frac{1}{625}$;

и) $\frac{1}{10}$;

к) $\frac{1}{100}$;

л) $\frac{1}{1000}$;

м) $\frac{1}{10000}$?

Чтобы найти простые множители, которые содержит знаменатель дроби, необходимо разложить знаменатель на простые множители. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

а) Знаменатель дроби $\frac{1}{64}$ равен 64. Разложим 64 на простые множители:
$64 = 8 \times 8 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^6$.
Знаменатель содержит только один простой множитель — 2.
Ответ: 2.

б) Знаменатель дроби $\frac{1}{48}$ равен 48. Разложим 48 на простые множители:
$48 = 6 \times 8 = (2 \times 3) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^4 \times 3$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

в) Знаменатель дроби $\frac{1}{56}$ равен 56. Разложим 56 на простые множители:
$56 = 7 \times 8 = 7 \times (2 \times 2 \times 2) = 2^3 \times 7$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 7.
Ответ: 2 и 7.

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{24}$ равен 24. Разложим 24 на простые множители:
$24 = 3 \times 8 = 3 \times (2 \times 2 \times 2) = 2^3 \times 3$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

д) Знаменатель дроби $\frac{1}{128}$ равен 128. Разложим 128 на простые множители:
$128 = 2 \times 64 = 2 \times 2^6 = 2^7$.
Знаменатель содержит только один простой множитель — 2.
Ответ: 2.

е) Знаменатель дроби $\frac{1}{78}$ равен 78. Разложим 78 на простые множители:
$78 = 2 \times 39 = 2 \times 3 \times 13$.
Знаменатель содержит простые множители 2, 3 и 13.
Ответ: 2, 3 и 13.

ж) Знаменатель дроби $\frac{1}{256}$ равен 256. Разложим 256 на простые множители:
$256 = 16 \times 16 = (2^4) \times (2^4) = 2^8$.
Знаменатель содержит только один простой множитель — 2.
Ответ: 2.

з) Знаменатель дроби $\frac{1}{625}$ равен 625. Разложим 625 на простые множители:
$625 = 25 \times 25 = (5 \times 5) \times (5 \times 5) = 5^4$.
Знаменатель содержит только один простой множитель — 5.
Ответ: 5.

и) Знаменатель дроби $\frac{1}{10}$ равен 10. Разложим 10 на простые множители:
$10 = 2 \times 5$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 5.
Ответ: 2 и 5.

к) Знаменатель дроби $\frac{1}{100}$ равен 100. Разложим 100 на простые множители:
$100 = 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5^2$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 5.
Ответ: 2 и 5.

л) Знаменатель дроби $\frac{1}{1000}$ равен 1000. Разложим 1000 на простые множители:
$1000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 5.
Ответ: 2 и 5.

м) Знаменатель дроби $\frac{1}{10000}$ равен 10000. Разложим 10000 на простые множители:
$10000 = 100 \times 100 = (2^2 \times 5^2) \times (2^2 \times 5^2) = 2^4 \times 5^4$.
Знаменатель содержит простые множители 2 и 5.
Ответ: 2 и 5.

960. Сократите дробь:

а) $\frac{24}{60}$;

б) $\frac{15}{20}$;

в) $\frac{65}{100}$;

г) $\frac{94}{100}$;

д) $\frac{21}{30}$;

е) $\frac{16}{400}$;

ж) $\frac{8}{100}$;

з) $\frac{8}{1000}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{24}{60}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 24 и знаменателя 60. Наибольший общий делитель для 24 и 60 это 12, так как $24 = 2 \cdot 12$ и $60 = 5 \cdot 12$. Разделим числитель и знаменатель дроби на 12:
$\frac{24}{60} = \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{15}{20}$, найдем НОД для 15 и 20. Оба числа делятся на 5. $15 = 3 \cdot 5$ и $20 = 4 \cdot 5$. НОД(15, 20) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{65}{100}$, найдем НОД для 65 и 100. Оба числа оканчиваются на 5 или 0, значит они делятся на 5. $65 = 13 \cdot 5$ и $100 = 20 \cdot 5$. НОД(65, 100) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{65}{100} = \frac{65 \div 5}{100 \div 5} = \frac{13}{20}$
Ответ: $\frac{13}{20}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{94}{100}$, найдем НОД для 94 и 100. Оба числа чётные, поэтому они делятся на 2. $94 = 47 \cdot 2$ и $100 = 50 \cdot 2$. НОД(94, 100) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{94}{100} = \frac{94 \div 2}{100 \div 2} = \frac{47}{50}$
Ответ: $\frac{47}{50}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{21}{30}$, найдем НОД для 21 и 30. Сумма цифр для 21 (2+1=3) и для 30 (3+0=3) делится на 3, значит и сами числа делятся на 3. $21 = 7 \cdot 3$ и $30 = 10 \cdot 3$. НОД(21, 30) = 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{21}{30} = \frac{21 \div 3}{30 \div 3} = \frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{7}{10}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{16}{400}$, найдем НОД для 16 и 400. Можно сокращать поэтапно, например, на 4. $\frac{16 \div 4}{400 \div 4} = \frac{4}{100}$. Полученную дробь можно сократить еще на 4. $\frac{4 \div 4}{100 \div 4} = \frac{1}{25}$. Общий делитель равен $4 \cdot 4 = 16$. Разделим числитель и знаменатель на 16:
$\frac{16}{400} = \frac{16 \div 16}{400 \div 16} = \frac{1}{25}$
Ответ: $\frac{1}{25}$

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{8}{100}$, найдем НОД для 8 и 100. Оба числа делятся на 4. $8 = 2 \cdot 4$ и $100 = 25 \cdot 4$. НОД(8, 100) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{8}{100} = \frac{8 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2}{25}$
Ответ: $\frac{2}{25}$

з) Чтобы сократить дробь $\frac{8}{1000}$, найдем НОД для 8 и 1000. Оба числа делятся на 8, так как 1000 это $125 \cdot 8$. НОД(8, 1000) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{8}{1000} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125}$
Ответ: $\frac{1}{125}$

961. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:

a) $0,4$;

б) $0,12$;

в) $0,125$;

г) $1,2$;

д) $0,45$;

е) $0,04$;

ж) $1,008$;

з) $0,0018$.

а) Чтобы записать десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной, нужно учесть, что одна цифра после запятой означает знаменатель 10. Таким образом, получаем дробь $\frac{4}{10}$. Для получения несократимой дроби разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который равен 2.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) В десятичной дроби 0,12 две цифры после запятой, поэтому в знаменателе обыкновенной дроби будет 100. Получаем дробь $\frac{12}{100}$. НОД для 12 и 100 равен 4. Сократим дробь:
$0,12 = \frac{12}{100} = \frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$.
Ответ: $\frac{3}{25}$

в) В десятичной дроби 0,125 три цифры после запятой, следовательно, знаменатель равен 1000. Получаем дробь $\frac{125}{1000}$. НОД для 125 и 1000 равен 125. Сократим дробь:
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

г) Запишем 1,2 как неправильную дробь. Одна цифра после запятой означает, что знаменатель будет 10, а в числитель запишем все цифры числа без запятой. Получаем $\frac{12}{10}$. НОД для 12 и 10 равен 2. Сокращаем:
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$

д) В дроби 0,45 две цифры после запятой, поэтому знаменатель — 100. Получаем дробь $\frac{45}{100}$. НОД для 45 и 100 равен 5. Сокращаем:
$0,45 = \frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

е) В дроби 0,04 две цифры после запятой, поэтому знаменатель равен 100. Получаем дробь $\frac{4}{100}$. НОД для 4 и 100 равен 4. Сокращаем:
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{4 \div 4}{100 \div 4} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

ж) Запишем 1,008 как неправильную дробь. Три цифры после запятой означают, что знаменатель будет 1000. Получаем $\frac{1008}{1000}$. НОД для 1008 и 1000 равен 8. Сокращаем дробь:
$1,008 = \frac{1008}{1000} = \frac{1008 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{126}{125}$.
Ответ: $\frac{126}{125}$

з) В дроби 0,0018 четыре цифры после запятой, поэтому знаменатель равен 10000. Получаем дробь $\frac{18}{10000}$. НОД для 18 и 10000 равен 2. Сокращаем:
$0,0018 = \frac{18}{10000} = \frac{18 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{9}{5000}$.
Ответ: $\frac{9}{5000}$

962. Приведите дробь к знаменателю 10, или 100, или 1000:

а) $ \frac{1}{2}; $

б) $ \frac{1}{4}; $

в) $ \frac{3}{5}; $

г) $ \frac{1}{25}; $

д) $ \frac{11}{20}; $

е) $ \frac{9}{8}; $

ж) $ \frac{3}{8}; $

з) $ \frac{7}{40}. $

а) Чтобы привести дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 10, нужно умножить числитель и знаменатель на 5, так как $ 10 : 2 = 5 $.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $.
Ответ: $ \frac{5}{10} $

б) Чтобы привести дробь $ \frac{1}{4} $ к знаменателю 100 (так как 10 не делится на 4 без остатка), нужно умножить числитель и знаменатель на 25, так как $ 100 : 4 = 25 $.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} $.
Ответ: $ \frac{25}{100} $

в) Чтобы привести дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 10, нужно умножить числитель и знаменатель на 2, так как $ 10 : 5 = 2 $.
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $.
Ответ: $ \frac{6}{10} $

г) Чтобы привести дробь $ \frac{1}{25} $ к знаменателю 100, нужно умножить числитель и знаменатель на 4, так как $ 100 : 25 = 4 $.
$ \frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} $.
Ответ: $ \frac{4}{100} $

д) Чтобы привести дробь $ \frac{11}{20} $ к знаменателю 100, нужно умножить числитель и знаменатель на 5, так как $ 100 : 20 = 5 $.
$ \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} $.
Ответ: $ \frac{55}{100} $

е) Чтобы привести дробь $ \frac{9}{8} $ к знаменателю 1000 (так как 10 и 100 не делятся на 8 без остатка), нужно умножить числитель и знаменатель на 125, так как $ 1000 : 8 = 125 $.
$ \frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{1125}{1000} $.
Ответ: $ \frac{1125}{1000} $

ж) Чтобы привести дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 1000, нужно умножить числитель и знаменатель на 125, так как $ 1000 : 8 = 125 $.
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} $.
Ответ: $ \frac{375}{1000} $

з) Чтобы привести дробь $ \frac{7}{40} $ к знаменателю 1000 (так как 100 не делится на 40 без остатка), нужно умножить числитель и знаменатель на 25, так как $ 1000 : 40 = 25 $.
$ \frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} $.
Ответ: $ \frac{175}{1000} $

963. Разложите двумя способами в десятичную дробь:

а) $\frac{1}{4}$;

б) $\frac{4}{5}$;

в) $\frac{24}{15}$;

г) $\frac{15}{24}$.

Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную можно использовать два основных способа: деление числителя на знаменатель или приведение дроби к знаменателю, равному степени числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.), если это возможно.

Способ 1: Деление числителя на знаменатель.
Чтобы преобразовать дробь $ \frac{1}{4} $ в десятичную, разделим 1 на 4. Так как 1 меньше 4, в частном пишем 0, ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 4, получаем 2 в частном и 2 в остатке. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 4, получаем 5 в частном и 0 в остатке. Деление завершено. $ 1 \div 4 = 0.25 $.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10.
Знаменатель дроби равен 4. Чтобы получить в знаменателе 100, нужно умножить 4 на 25. Чтобы значение дроби не изменилось, умножим на 25 и числитель, и знаменатель. $ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0.25 $.

Ответ: 0,25

Способ 1: Деление числителя на знаменатель.
Чтобы преобразовать дробь $ \frac{4}{5} $ в десятичную, разделим 4 на 5. Так как 4 меньше 5, в частном пишем 0, ставим запятую. К 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 5, получаем 8 в частном и 0 в остатке. $ 4 \div 5 = 0.8 $.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10.
Знаменатель дроби равен 5. Чтобы получить в знаменателе 10, нужно умножить 5 на 2. Умножим на 2 и числитель, и знаменатель. $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0.8 $.

Ответ: 0,8

Способ 1: Деление числителя на знаменатель.
Чтобы преобразовать дробь $ \frac{24}{15} $ в десятичную, разделим 24 на 15. Делим 24 на 15, получаем 1 в частном и 9 в остатке. Ставим в частном запятую. К остатку 9 приписываем 0, получаем 90. Делим 90 на 15, получаем 6 в частном и 0 в остатке. $ 24 \div 15 = 1.6 $.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10.
Сначала упростим (сократим) дробь. И числитель 24, и знаменатель 15 делятся на 3. $ \frac{24}{15} = \frac{24 \div 3}{15 \div 3} = \frac{8}{5} $.
Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2. $ \frac{8}{5} = \frac{8 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{16}{10} = 1.6 $.

Ответ: 1,6

Способ 1: Деление числителя на знаменатель.
Чтобы преобразовать дробь $ \frac{15}{24} $ в десятичную, разделим 15 на 24. Так как 15 меньше 24, в частном пишем 0, ставим запятую. К 15 приписываем 0, получаем 150. Делим 150 на 24, получаем 6 в частном и 6 в остатке. К остатку 6 приписываем 0, получаем 60. Делим 60 на 24, получаем 2 в частном и 12 в остатке. К остатку 12 приписываем 0, получаем 120. Делим 120 на 24, получаем 5 и 0 в остатке. $ 15 \div 24 = 0.625 $.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10.
Сначала сократим дробь. И числитель 15, и знаменатель 24 делятся на 3. $ \frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8} $.
Теперь приведем полученную дробь к знаменателю, равному степени 10. Чтобы получить в знаменателе 1000, нужно умножить 8 на 125 ($8 \cdot 125 = 1000$). Умножим на 125 и числитель, и знаменатель. $ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0.625 $.

Ответ: 0,625

Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком (964–966):

964. а) $\frac{7}{5}$;

б) $\frac{3}{16}$;

в) $\frac{48}{15}$;

г) $\frac{3}{2000}$;

д) $\frac{17}{40}$;

е) $\frac{28}{140}$;

ж) $\frac{3}{12}$;

з) $\frac{7}{56}$.

а) Чтобы разложить дробь $ \frac{7}{5} $ в десятичную, необходимо разделить числитель (7) на знаменатель (5) столбиком (уголком).

1. Делим 7 на 5. Получаем 1 в целой части и 2 в остатке ($ 7 - 5 \cdot 1 = 2 $).

2. Ставим запятую после 1 в частном. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20.

3. Делим 20 на 5. Получаем 4 ($ 20 \div 5 = 4 $) без остатка. Записываем 4 после запятой.

Таким образом, $ \frac{7}{5} = 1,4 $.

Ответ: 1,4

б) Чтобы разложить дробь $ \frac{3}{16} $ в десятичную, разделим 3 на 16.

1. Так как 3 меньше 16, в целой части частного пишем 0 и ставим запятую.

2. К 3 приписываем 0, получаем 30. Делим 30 на 16. Получаем 1 и 14 в остатке ($ 30 - 16 \cdot 1 = 14 $).

3. К остатку 14 приписываем 0, получаем 140. Делим 140 на 16. Получаем 8 и 12 в остатке ($ 140 - 16 \cdot 8 = 12 $).

4. К остатку 12 приписываем 0, получаем 120. Делим 120 на 16. Получаем 7 и 8 в остатке ($ 120 - 16 \cdot 7 = 8 $).

5. К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. Делим 80 на 16. Получаем 5 без остатка.

Таким образом, $ \frac{3}{16} = 0,1875 $.

Ответ: 0,1875

в) Чтобы разложить дробь $ \frac{48}{15} $ в десятичную, разделим 48 на 15.

1. Делим 48 на 15. Получаем 3 в целой части и 3 в остатке ($ 48 - 15 \cdot 3 = 3 $).

2. Ставим запятую после 3 в частном. К остатку 3 приписываем 0, получаем 30.

3. Делим 30 на 15. Получаем 2 без остатка.

Таким образом, $ \frac{48}{15} = 3,2 $.

Ответ: 3,2

г) Чтобы разложить дробь $ \frac{3}{2000} $ в десятичную, разделим 3 на 2000.

1. Так как 3 меньше 2000, в целой части пишем 0 и ставим запятую.

2. Приписываем 0, получаем 30. 30 меньше 2000, поэтому в частном после запятой пишем 0.

3. Приписываем еще 0, получаем 300. 300 меньше 2000, поэтому в частном пишем еще один 0.

4. Приписываем еще 0, получаем 3000. Делим 3000 на 2000. Получаем 1 и 1000 в остатке ($ 3000 - 2000 \cdot 1 = 1000 $).

5. К остатку 1000 приписываем 0, получаем 10000. Делим 10000 на 2000. Получаем 5 без остатка.

Таким образом, $ \frac{3}{2000} = 0,0015 $.

Ответ: 0,0015

д) Чтобы разложить дробь $ \frac{17}{40} $ в десятичную, разделим 17 на 40.

1. Так как 17 меньше 40, в целой части пишем 0 и ставим запятую.

2. К 17 приписываем 0, получаем 170. Делим 170 на 40. Получаем 4 и 10 в остатке ($ 170 - 40 \cdot 4 = 10 $).

3. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 40. Получаем 2 и 20 в остатке ($ 100 - 40 \cdot 2 = 20 $).

4. К остатку 20 приписываем 0, получаем 200. Делим 200 на 40. Получаем 5 без остатка.

Таким образом, $ \frac{17}{40} = 0,425 $.

Ответ: 0,425

е) Чтобы разложить дробь $ \frac{28}{140} $ в десятичную, разделим 28 на 140. Для удобства можно предварительно сократить дробь на 28: $ \frac{28 \div 28}{140 \div 28} = \frac{1}{5} $.

Теперь разделим 1 на 5:

1. Так как 1 меньше 5, в целой части пишем 0 и ставим запятую.

2. К 1 приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 5. Получаем 2 без остатка.

Таким образом, $ \frac{28}{140} = \frac{1}{5} = 0,2 $.

Ответ: 0,2

ж) Чтобы разложить дробь $ \frac{3}{12} $ в десятичную, разделим 3 на 12. Предварительно сократим дробь на 3: $ \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $.

Теперь разделим 1 на 4:

1. Так как 1 меньше 4, в целой части пишем 0 и ставим запятую.

2. К 1 приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 4. Получаем 2 и 2 в остатке ($ 10 - 4 \cdot 2 = 2 $).

3. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 4. Получаем 5 без остатка.

Таким образом, $ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25 $.

Ответ: 0,25

з) Чтобы разложить дробь $ \frac{7}{56} $ в десятичную, разделим 7 на 56. Предварительно сократим дробь на 7: $ \frac{7 \div 7}{56 \div 7} = \frac{1}{8} $.

Теперь разделим 1 на 8:

1. Так как 1 меньше 8, в целой части пишем 0 и ставим запятую.

2. К 1 приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 8. Получаем 1 и 2 в остатке ($ 10 - 8 \cdot 1 = 2 $).

3. К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 8. Получаем 2 и 4 в остатке ($ 20 - 8 \cdot 2 = 4 $).

4. К остатку 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 8. Получаем 5 без остатка.

Таким образом, $ \frac{7}{56} = \frac{1}{8} = 0,125 $.

Ответ: 0,125

965. a) $\frac{6}{24}$;

б) $\frac{7}{4}$;

в) $\frac{3}{2}$;

г) $\frac{9}{5}$;

д) $\frac{3}{25}$;

е) $\frac{12}{75}$;

ж) $\frac{17}{200}$;

з) $\frac{123}{20}$.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо числитель разделить на знаменатель. В данном случае можно сначала сократить дробь. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{6}{24} $ на 6:
$ \frac{6}{24} = \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4} $
Теперь приведем дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25 $
Или можно просто разделить 1 на 4, что также даст 0,25.
Ответ: 0,25

б) Чтобы представить дробь $ \frac{7}{4} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{7}{4} = \frac{7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{175}{100} = 1,75 $
Также можно выполнить деление числителя на знаменатель: $ 7 \div 4 = 1,75 $.
Ответ: 1,75

в) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{2} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1,5 $
Ответ: 1,5

г) Чтобы представить дробь $ \frac{9}{5} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{9}{5} = \frac{9 \times 2}{5 \times 2} = \frac{18}{10} = 1,8 $
Ответ: 1,8

д) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{25} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100} = 0,12 $
Ответ: 0,12

е) Сначала сократим дробь $ \frac{12}{75} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$ \frac{12}{75} = \frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25} $
Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{4}{25} = \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = \frac{16}{100} = 0,16 $
Ответ: 0,16

ж) Чтобы представить дробь $ \frac{17}{200} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{17}{200} = \frac{17 \times 5}{200 \times 5} = \frac{85}{1000} = 0,085 $
Ответ: 0,085

з) Чтобы представить дробь $ \frac{123}{20} $ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{123}{20} = \frac{123 \times 5}{20 \times 5} = \frac{615}{100} = 6,15 $
Ответ: 6,15