Страница 193 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

968. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее можно привести к знаменателю, равному степени числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.13 = \frac{13}{100}$, $0.025 = \frac{25}{1000}$.

Разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$. Соответственно, разложение любой степени числа 10, то есть $10^n$, будет состоять только из простых множителей 2 и 5. Например, $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Из этого следует правило: несократимую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если ее знаменатель $q$ раскладывается на простые множители, содержащие только 2 и 5.

Следовательно, несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя на простые множители присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5. При делении числителя на такой знаменатель получается бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{12}$. Она несократима. Разложим ее знаменатель на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной: $\frac{7}{12} = 0.58333... = 0.58(3)$.

В то же время, дробь $\frac{9}{40}$ является несократимой, а ее знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении есть только множители 2 и 5. Поэтому эта дробь разлагается в конечную десятичную: $\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{225}{1000} = 0.225$.

Ответ: Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение ее знаменателя на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

стол в конечную десятичную дробь.

Каким способом любую обыкновенную дробь можно разложить в десятичную?

Чтобы любую обыкновенную дробь преобразовать в десятичную, необходимо выполнить деление ее числителя на знаменатель. Дробная черта в записи обыкновенной дроби, такой как $\frac{m}{n}$, по своей сути и означает операцию деления $m \div n$. Деление, как правило, выполняется "в столбик".

В результате такого деления всегда получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Случай 1: Конечная десятичная дробь
Такая дробь получается, если в процессе деления числителя на знаменатель на одном из шагов остаток становится равным нулю.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{7}{20}$ в десятичную.
Для этого разделим 7 на 20: $7 \div 20 = 0.35$.
Процесс деления завершается, и результатом является конечная десятичная дробь.

Случай 2: Бесконечная периодическая десятичная дробь
Если в процессе деления остаток никогда не становится равным нулю, то частное будет представлять собой бесконечную десятичную дробь, в которой одна или несколько цифр после запятой будут бесконечно повторяться. Такая повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби, и при записи ее заключают в скобки.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{2}{9}$.
Разделим 2 на 9: $2 \div 9 = 0.222... = 0.(2)$.
Цифра 2 бесконечно повторяется и является периодом этой дроби.

Этот метод деления числителя на знаменатель является универсальным и подходит для преобразования абсолютно любой обыкновенной дроби в десятичную.

Ответ: Чтобы разложить любую обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель этой дроби на ее знаменатель.

970. Какие десятичные дроби можно получить при делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель?

При делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель в результате можно получить десятичную дробь одного из двух видов: конечную или бесконечную периодическую.

1. Конечные десятичные дроби

Такая дробь получается, если процесс деления заканчивается, то есть на одном из шагов остаток становится равным нулю. Это происходит в том случае, когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби после разложения на простые множители содержит только множители 2 и 5.

Примеры:

• Дробь $\frac{1}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. При делении 1 на 4 получаем $0.25$.

• Дробь $\frac{3}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. При делении 3 на 8 получаем $0.375$.

• Дробь $\frac{7}{20}$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$. При делении 7 на 20 получаем $0.35$.

2. Бесконечные периодические десятичные дроби

Такая дробь получается, если процесс деления не заканчивается, но остатки начинают циклически повторяться. Это приводит к тому, что в частном появляется бесконечно повторяющаяся группа цифр, называемая периодом. Это происходит тогда, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Примеры:

• Дробь $\frac{1}{3}$. Знаменатель 3 – простое число. При делении 1 на 3 получаем $0.333...$ , что записывается как $0.(3)$. Период – цифра 3.

• Дробь $\frac{5}{6}$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. При делении 5 на 6 получаем $0.8333...$, что записывается как $0.8(3)$. Это смешанная периодическая дробь с периодом 3.

• Дробь $\frac{4}{7}$. Знаменатель 7 – простое число. При делении 4 на 7 получаем $0.571428571428...$, что записывается как $0.(571428)$. Период – группа цифр 571428.

Таким образом, любая обыкновенная дробь (рациональное число) может быть представлена в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: При делении числителя обыкновенной дроби на её знаменатель можно получить либо конечную десятичную дробь, либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

971. Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или в бесконечную? Приведите примеры.

Чтобы определить, в какую десятичную дробь преобразуется обыкновенная дробь, нужно выполнить два шага:

1. Привести обыкновенную дробь к несократимому виду (сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель).

2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители и проанализировать их:

- Если разложение знаменателя содержит только простые множители 2 и 5 (в любой комбинации и степени), то дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

- Если в разложении знаменателя присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Ответ: Дробь будет конечной, если после сокращения в разложении ее знаменателя на простые множители есть только числа 2 и 5. В противном случае дробь будет бесконечной.

Примеры конечных десятичных дробей:

а) Дробь $\frac{7}{40}$. Она несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.
Проверка: $\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0.175$.

б) Дробь $\frac{21}{60}$. Сначала сократим дробь на 3: $\frac{21}{60} = \frac{7}{20}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 20. Разложим его на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. В разложении только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.
Проверка: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0.35$.

Примеры бесконечных десятичных дробей:

а) Дробь $\frac{5}{12}$. Она несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3. Следовательно, дробь бесконечная.
Проверка: $5 \div 12 = 0.41666... = 0.41(6)$.

б) Дробь $\frac{4}{11}$. Она несократимая. Знаменатель 11 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.
Проверка: $4 \div 11 = 0.363636... = 0.(36)$.

Ответ: Конечные: $\frac{7}{40} = 0.175$; $\frac{21}{60} = 0.35$. Бесконечные: $\frac{5}{12} = 0.41(6)$; $\frac{4}{11} = 0.(36)$.